Comparar y ordenar fracciones
Lo que vas a aprender
- Ordenar listas de tres o más fracciones de menor a mayor y de mayor a menor.
- Elegir el criterio más rápido para comparar: igual denominador, igual numerador, comparar con 1/2 o con 1, o denominador común.
- Encontrar una fracción que esté entre otras dos.
- Explicar con palabras el criterio que se usó.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la carrera de observación del colegio, cada equipo recorrió una parte del camino: uno $\tfrac{2}{3}$, otro $\tfrac{3}{4}$ y otro $\tfrac{5}{12}$. ¿Quién va de primero? ¿Quién va de último? Para saberlo hay que ordenar fracciones.
Con dos fracciones ya sabes comparar. Ahora vas a ordenar listas de tres o más. Vas a aprender a elegir el camino más rápido para cada lista, y a encontrar fracciones que están escondidas entre otras dos.
Explicación
Los criterios que ya conoces
En cuarto aprendiste estos criterios para comparar dos fracciones:
- Igual denominador. Los pedazos son del mismo tamaño. Gana la que tiene más pedazos, o sea, el numerador mayor: $\tfrac{5}{8}$ es mayor que $\tfrac{3}{8}$.
- Igual numerador. Se toman los mismos pedazos, pero de distinto tamaño. Entre más partes tenga la unidad, más pequeño es cada pedazo. Por eso $\tfrac{3}{5}$ es mayor que $\tfrac{3}{8}$.
- Comparar con $\tfrac{1}{2}$ o con 1. Si una fracción es menor que la mitad y la otra es mayor, ya está.
Cuidado: el denominador grande no gana
Muchos niños ordenan las fracciones mirando solo el denominador. Piensan que $\tfrac{1}{8}$ es mayor que $\tfrac{1}{6}$ porque 8 es mayor que 6. Es al revés. Si partes una arepa en 8 pedazos, cada pedazo es más pequeño que si la partes en 6. El denominador dice en cuántas partes se partió la unidad, no qué tan grande es la fracción.
Ejemplo resuelto
Igual numerador
Ordena de menor a mayor $\tfrac{3}{8}$, $\tfrac{3}{4}$ y $\tfrac{3}{5}$.
Ver la solución paso a paso
Las tres tienen numerador 3: se toman tres pedazos en cada una. Gana la que tenga los pedazos más grandes, o sea, la de menos partes.
Los octavos son los pedazos más pequeños, porque la unidad está partida en más partes:
$$\frac{3}{8} < \frac{3}{5}$$
Los cuartos son más grandes que los quintos:
$$\frac{3}{5} < \frac{3}{4}$$
Respuesta: $\frac{3}{8} < \frac{3}{5} < \frac{3}{4}$
Cuando ningún criterio sirve: denominador común
En la lista de la carrera, $\tfrac{2}{3}$, $\tfrac{3}{4}$ y $\tfrac{5}{12}$, los numeradores son distintos y los denominadores también. En ese caso se llevan todas a un denominador común, como en la lección anterior. Cuando todas hablan de doceavos, gana la que tiene más doceavos.
La recta del 0 al 1 partida en doceavos. Cinco doceavos queda antes de la mitad; dos tercios es lo mismo que ocho doceavos, y tres cuartos, que nueve doceavos.
Ejemplo resuelto
La carrera de observación
Ordena de mayor a menor $\tfrac{2}{3}$, $\tfrac{3}{4}$ y $\tfrac{5}{12}$.
Ver la solución paso a paso
El 12 está en la tabla del 3 y en la del 4. Pasamos los tercios a doceavos, multiplicando arriba y abajo por 4:
$$\frac{2 \times 4}{3 \times 4}$$
Queda:
$$\frac{8}{12}$$
Pasamos los cuartos a doceavos, multiplicando arriba y abajo por 3:
$$\frac{3 \times 3}{4 \times 3}$$
Queda:
$$\frac{9}{12}$$
Cinco doceavos ya está en doceavos. Ahora comparamos los numeradores: 9, 8 y 5.
$$\frac{9}{12} > \frac{8}{12} > \frac{5}{12}$$
Volvemos a escribir cada fracción como era al principio:
$$\frac{3}{4} > \frac{2}{3} > \frac{5}{12}$$
Respuesta: De mayor a menor: $\tfrac{3}{4}$, $\tfrac{2}{3}$, $\tfrac{5}{12}$. Si las ordenas por el denominador, $\tfrac{5}{12}$ quedaría de primera, y es la menor.
La ranita salta de doceavo en doceavo. Cuenta los saltos hasta 5/12, hasta 2/3 y hasta 3/4: la que necesita más saltos es la mayor.
Ejemplo resuelto
Comparar con la mitad y con 1
Ordena de menor a mayor $\tfrac{5}{8}$, $\tfrac{2}{5}$ y $\tfrac{7}{6}$ sin buscar denominador común.
Ver la solución paso a paso
La mitad de 5 es dos y medio. Como 2 es menos que eso, dos quintos no llega a la mitad:
$$\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$$
La mitad de 8 es 4. Como 5 es más que 4, cinco octavos pasa de la mitad. Y no llega a 1, porque 5 es menos que 8:
$$\frac{1}{2} < \frac{5}{8} < 1$$
En siete sextos el numerador es mayor que el denominador: pasa del 1.
$$\frac{7}{6} > 1$$
Respuesta: $\frac{2}{5} < \frac{5}{8} < \frac{7}{6}$
Siempre hay otra fracción en medio
Algunos niños creen que entre $\tfrac{2}{5}$ y $\tfrac{3}{5}$ no hay nada, porque 2 y 3 son seguidos. Pero si partes cada quinto en dos, los quintos se vuelven décimos: $\tfrac{2}{5}$ son $\tfrac{4}{10}$ y $\tfrac{3}{5}$ son $\tfrac{6}{10}$. ¡Y ahí aparece $\tfrac{5}{10}$ en medio! Si partes todavía más fino, aparecen más. Entre dos fracciones distintas siempre hay otra.
¿Qué camino elijo?
Antes de hacer cuentas, mira la lista. Hazte estas preguntas en orden:
- ¿Tienen el mismo denominador? Compara los numeradores.
- ¿Tienen el mismo numerador? Gana la de menos partes.
- ¿Unas pasan de la mitad o del 1 y otras no? Sepáralas en grupos.
- Si nada de eso sirve, busca un denominador común.
Al final, revisa el orden que te pidieron. «De menor a mayor» empieza por la más pequeña. «De mayor a menor» empieza por la más grande. Y explica siempre qué criterio usaste: así cualquiera puede comprobar tu respuesta.
Ejemplo resuelto
Una fracción entre dos quintos y tres quintos
Encuentra una fracción que esté entre $\tfrac{2}{5}$ y $\tfrac{3}{5}$.
Ver la solución paso a paso
Partimos cada quinto en dos: multiplicamos arriba y abajo por 2.
$$\frac{2 \times 2}{5 \times 2}$$
Queda:
$$\frac{4}{10}$$
Lo mismo con la otra:
$$\frac{3 \times 2}{5 \times 2}$$
Queda:
$$\frac{6}{10}$$
Entre cuatro décimos y seis décimos está cinco décimos:
$$\frac{4}{10} < \frac{5}{10} < \frac{6}{10}$$
Y cinco décimos, simplificado, es un medio:
$$\frac{2}{5} < \frac{1}{2} < \frac{3}{5}$$
Respuesta: $\tfrac{5}{10}$, que es $\tfrac{1}{2}$, está entre $\tfrac{2}{5}$ y $\tfrac{3}{5}$.
La recta del 0 al 1 partida en décimos. Un medio queda justo entre dos quintos y tres quintos.
Práctica
¿Cuál es mayor: 1/8 o 1/6?
Las dos tienen numerador 1. Un sexto es un pedazo más grande que un octavo, porque la unidad está partida en menos partes. El 8 grande no hace mayor la fracción.
¿Verdadero o falso? $\frac{1}{5} > \frac{1}{3}$
Es falso. Un tercio es más grande que un quinto: si partes una naranja en tres, cada pedazo es más grande que si la partes en cinco.
Ordena de menor a mayor 7/12, 1/4 y 2/3. ¿Qué fracción queda en el medio?
En doceavos: $\tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{12}$ y $\tfrac{2}{3} = \tfrac{8}{12}$. El orden es 3, 7 y 8 doceavos: en el medio queda $\tfrac{7}{12}$.
Ordena las tarjetas de la menor a la mayor. Pasa todas a doceavos antes de decidir y toca «Comprobar».
¿Cuál es la mayor de estas fracciones: 5/6, 7/12, 3/4 y 2/3?
En doceavos son 10, 7, 9 y 8. La mayor es $\tfrac{10}{12}$, que es $\tfrac{5}{6}$. Ojo: $\tfrac{7}{12}$ tiene el denominador más grande y es la menor.
Ordena de mayor a menor 11/12, 5/6 y 3/4. ¿Cuál queda de última?
En doceavos son 11, 10 y 9. De mayor a menor: $\tfrac{11}{12}$, $\tfrac{5}{6}$, $\tfrac{3}{4}$. Otra manera: a cada una le falta un pedazo para el 1, y el que le falta a $\tfrac{3}{4}$ es el más grande.
Ana se comió 3/4 de su chocolatina, Beto 2/3 de la suya y Caro 7/12 de la suya. Las tres chocolatinas son iguales. ¿Qué fracción se comió quien comió menos?
En doceavos: Ana 9, Beto 8 y Caro 7. Caro comió menos: $\tfrac{7}{12}$.
Marca todas las fracciones que son menores que 1/2.
Marca todas las que apliquen.
Una fracción es menor que la mitad cuando el numerador es menos que la mitad del denominador. La mitad de 8 es 4, la de 12 es 6 y la de 5 es dos y medio. Por eso sirven $\tfrac{3}{8}$, $\tfrac{5}{12}$ y $\tfrac{2}{5}$.
Escribe la fracción con denominador 10 que está entre 3/5 y 4/5.
En décimos, $\tfrac{3}{5} = \tfrac{6}{10}$ y $\tfrac{4}{5} = \tfrac{8}{10}$. En medio queda $\tfrac{7}{10}$.
¿Verdadero o falso? Un medio está entre un tercio y dos tercios: $\frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{2}{3}$
Es verdad. En sextos: $\tfrac{2}{6} < \tfrac{3}{6} < \tfrac{4}{6}$. Aunque 1 y 2 son seguidos, entre un tercio y dos tercios hay fracciones.
Para comparar 3/7 y 5/8, ¿cuál es el camino más rápido?
La mitad de 7 es tres y medio, y 3 no llega; la mitad de 8 es 4, y 5 pasa. Entonces $\tfrac{3}{7} < \tfrac{1}{2} < \tfrac{5}{8}$. Mirar solo el numerador acierta aquí por casualidad, pero no sirve siempre.
Tomás dice que entre 2/5 y 3/5 no hay ninguna fracción, porque 2 y 3 son números seguidos. ¿Qué le dirías?
En décimos son $\tfrac{4}{10}$ y $\tfrac{6}{10}$, y en medio está $\tfrac{5}{10}$. En veinteavos aparecen todavía más. Entre dos fracciones distintas siempre hay otra.
Reto
¿Antes o después del 1?
Compara el numerador con el denominador.
Reto
Ordena la carrera de la huerta.
Lleva las tres fracciones a octavos y compara los numeradores.
Reto
Abre el candado de las fracciones.
Cada pista da un dígito.
Cierre
En resumen
Con igual denominador gana el numerador mayor; con igual numerador gana el denominador menor.
Comparar con 1/2 o con 1 resuelve muchos casos sin hacer cuentas.
Cuando ningún criterio sirve, se llevan todas las fracciones a un denominador común y se comparan los numeradores.
Un denominador grande no hace mayor la fracción: dice que los pedazos son más pequeños.
Entre dos fracciones distintas siempre hay otra; se encuentra partiendo más fino.
Vocabulario
- Criterio
Una regla para decidir algo. Para comparar fracciones hay varios criterios, y se elige el más rápido para cada caso.
- Ordenar de menor a mayor
Escribir los números empezando por el más pequeño y terminando por el más grande.
- Denominador común
Un mismo denominador para varias fracciones, que se consigue con fracciones equivalentes.
- Fracción intermedia
Una fracción que queda entre otras dos: es mayor que la primera y menor que la segunda.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee la carrera de observación y pida que cada uno apueste quién va de primero. Anote las apuestas, sobre todo las que eligen 5/12 por el 12.
- Explicación · 15 min — Repaso de los criterios con tiras de papel; el error del denominador grande con una arepa dibujada; denominador común en la recta de doceavos; la fracción entre dos quintos y tres quintos.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; los retos en parejas. En cada comparación, la pareja dice en voz alta qué criterio usó.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe tres fracciones, las ordena y escribe una fracción entre la menor y la del medio.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué 1/8 es menor que 1/6 si 8 es mayor que 6?
- ¿Cuándo conviene comparar con 1/2 en vez de buscar un denominador común?
- ¿Cuántas fracciones hay entre 2/5 y 3/5? ¿Cómo encontrarían otra?
Errores típicos
- Ordenar las fracciones por el denominador: creer que 5/12 es la mayor porque tiene el 12. Pida dibujar dos tiras iguales partidas en 6 y en 12 y comparar el tamaño de un pedazo.
- Ordenar solo por el numerador cuando los denominadores son distintos. Muestre un contraejemplo: 3/8 tiene numerador mayor que 2/3 y es menor.
- Creer que entre dos fracciones seguidas como 2/5 y 3/5 no hay ninguna otra. Pida partir cada quinto en dos en la recta y nombrar la fracción que aparece en medio.
- Cambiar el denominador al buscar el común y dejar igual el numerador. Pida comprobar con la recta que la fracción nueva cae en el mismo punto.
- Invertir el orden pedido (escribir de menor a mayor cuando se pidió de mayor a menor). Pida subrayar en el enunciado por cuál empieza la lista antes de escribirla.
Tarea sugerida
Preguntar en la casa qué fracción del día duerme, estudia y juega cada persona (el día tiene 24 horas, así que cada doceavo son 2 horas y cada sexto, 4 horas: dormir 10 horas es 5/12 del día; redondear cada actividad a un número par de horas), y ordenar esas fracciones de mayor a menor. Escribir el criterio usado.