Sumar y restar fracciones
Lo que vas a aprender
- Sumar y restar dos fracciones cuando un denominador es múltiplo del otro, cambiando una de ellas por su equivalente.
- Mostrar una suma de fracciones con saltos en la recta numérica.
- Simplificar el resultado de una suma o una resta.
- Resolver problemas de recetas y repartos con sumas y restas de fracciones.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la cocina se suman fracciones todo el tiempo. La receta dice media taza de leche, y después un cuarto de taza más. ¿Cuánta leche lleva en total? En la casa se reparte una arepa, en la tienda se vende un pedazo de cinta, en la huerta se riega una parte del lote.
Sumar medios con medios es fácil. Pero ¿cómo se suman medios con cuartos? Los pedazos no son del mismo tamaño. En esta lección vas a aprender a volverlos iguales, sin cambiar lo que valen. Y vas a conocer dos errores muy comunes para no caer en ellos.
Explicación
Lo que ya sabes: el mismo denominador
Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, los pedazos son del mismo tamaño. El denominador dice de qué tamaño es cada pedazo. El numerador cuenta cuántos pedazos hay. Por eso 2 octavos más 3 octavos son 5 octavos, igual que 2 lápices más 3 lápices son 5 lápices. Se suman los numeradores, y el denominador se queda igual.
Dos errores que hay que evitar
Error 1: sumar todo. Algunos niños dicen que 1/2 + 1/4 es 2/6: suman los de arriba y los de abajo. Pero 2/6 es lo mismo que 1/3, que es menos que 1/2. ¡Juntaste leche y te quedó menos que al principio! Eso no puede ser. Los denominadores nunca se suman.
Error 2: cambiar solo el de abajo. Otros niños escriben 1/4 en lugar de 1/2, para que los dos sean cuartos. Pero un cuarto de arepa no es media arepa: es más pequeño. Si cambias el denominador, tienes que cambiar también el numerador, multiplicando los dos por el mismo número. Mira las tiras.
Tres tiras del mismo largo. Arriba, la unidad partida en medios, con un medio pintado. En el medio, partida en cuartos, con dos cuartos pintados: llegan justo hasta la misma raya, porque 1/2 = 2/4. Abajo, un solo cuarto pintado: se queda corto, porque 1/4 es menos que 1/2.
Cuando un denominador es múltiplo del otro
En 1/2 + 1/4, el 4 es múltiplo del 2, porque 2 × 2 = 4. Cada medio cabe exacto en dos cuartos. Entonces los cuartos sirven como denominador común. Sigue estos pasos:
- Mira los denominadores. Si el mayor es múltiplo del menor, el mayor es el denominador común.
- Cambia la fracción del denominador menor por su equivalente: multiplica el numerador y el denominador por el mismo número.
- Suma o resta los numeradores. El denominador se queda.
- Si se puede, simplifica el resultado.
Ejemplo resuelto
La leche de la torta
Para la torta de cumpleaños, la abuela echa 1/2 taza de leche y después 1/4 de taza más. ¿Cuánta leche echa en total?
Ver la solución paso a paso
Los pedazos no son del mismo tamaño: medios y cuartos. Pero 4 es múltiplo de 2:
$$4 = 2 \times 2$$
Cambiamos 1/2 por su equivalente con denominador 4. Multiplicamos arriba y abajo por 2:
$$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2}{2 \times 2}$$
Escribimos la suma.
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$$
Cambiamos 1/2 por 2/4. Ahora todo son cuartos.
$$\frac{2}{4} + \frac{1}{4}$$
Sumamos los numeradores. El denominador se queda: siguen siendo cuartos.
$$\frac{2 + 1}{4}$$
Este resultado ya no se puede simplificar.
$$\frac{3}{4}$$
¿Y si hubiéramos sumado todo? Saldría 2/6, que es menos que 1/2. Juntando leche no puede quedar menos:
$$\frac{1 + 1}{2 + 4} < \frac{1}{2}$$
Respuesta: Echa 3/4 de taza de leche.
La suma de la torta en la recta partida en cuartos: un salto de 2/4 (que es 1/2) y otro de 1/4. Se llega a 3/4.
Ejemplo resuelto
La limonada de la jarra
En la jarra había 2/3 de litro de limonada, y Juliana se sirvió 1/6 de litro. ¿Cuánta limonada queda?
Ver la solución paso a paso
6 es múltiplo de 3, así que los sextos serán el denominador común:
$$6 = 3 \times 2$$
Escribimos la resta.
$$\frac{2}{3} - \frac{1}{6}$$
Cambiamos 2/3 por su equivalente: arriba y abajo por 2. Cambian las dos cifras, no solo el denominador.
$$\frac{2 \times 2}{3 \times 2} - \frac{1}{6}$$
Ahora son sextos.
$$\frac{4}{6} - \frac{1}{6}$$
Restamos los numeradores.
$$\frac{4 - 1}{6}$$
Queda esto.
$$\frac{3}{6}$$
Simplificamos: el 3 y el 6 se pueden dividir entre 3.
$$\frac{1}{2}$$
Respuesta: Queda 1/2 litro de limonada.
Ejemplo resuelto
La cinta del moño
Para un moño, Daniela usa 3/4 de metro de cinta roja y 5/8 de metro de cinta azul. ¿Cuánta cinta usa en total?
Ver la solución paso a paso
8 es múltiplo de 4:
$$8 = 4 \times 2$$
Escribimos la suma.
$$\frac{3}{4} + \frac{5}{8}$$
Cambiamos 3/4 por octavos: arriba y abajo por 2.
$$\frac{3 \times 2}{4 \times 2} + \frac{5}{8}$$
Ahora son octavos.
$$\frac{6}{8} + \frac{5}{8}$$
Sumamos los numeradores.
$$\frac{11}{8}$$
11/8 es más que 8/8, que es un metro entero. Son un metro y 3/8 de metro más:
$$\frac{8}{8} + \frac{3}{8}$$
Respuesta: Usa 11/8 de metro de cinta: un metro y 3/8 de metro.
Son las dos cintas de Daniela. Junta la roja (3/4) con la azul (5/8): parte los cuartos en octavos y cuenta todos los pedazos.
La cinta del moño en la recta partida en octavos: un salto de 6/8 (que es 3/4) y otro de 5/8. Se llega a 11/8, que pasa del 1.
Ejemplo resuelto
La arepa repartida
Martín se comió 1/3 de una arepa grande y su hermana se comió 1/6. ¿Qué parte de la arepa queda?
Ver la solución paso a paso
Paso 1: lo que se comieron entre los dos. 6 es múltiplo de 3.
$$\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$$
Cambiamos 1/3 por 2/6.
$$\frac{2}{6} + \frac{1}{6}$$
Sumamos.
$$\frac{3}{6}$$
Simplificamos.
$$\frac{1}{2}$$
Paso 2: la arepa entera es 1, que es lo mismo que 2/2. Le quitamos lo que se comieron:
$$1 - \frac{1}{2}$$
Escribimos el 1 como medios.
$$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$$
Restamos.
$$\frac{1}{2}$$
Respuesta: Queda 1/2 arepa.
¿Tiene sentido mi resultado?
Antes de dar la respuesta, haz dos revisiones rápidas.
- En una suma, el resultado tiene que ser mayor que cada fracción que sumaste. Si juntas 1/2 taza con un poco más, tienes más de 1/2 taza.
- En una resta, el resultado tiene que ser menor que la fracción de la que restaste. Si de la jarra sacas limonada, queda menos que antes.
Compara también con la mitad y con el entero. Si sumas dos fracciones que son menores que la mitad, no puedes pasar de 1. Si te da un resultado raro, busca uno de los dos errores: ¿sumaste los denominadores? ¿Cambiaste el denominador sin cambiar el numerador?
Práctica
¿Cuánto es $\frac{1}{5} + \frac{3}{10}$?
10 es múltiplo de 5. 1/5 = 2/10, y 2/10 + 3/10 = 5/10 = 1/2. La opción 4/15 suma los denominadores. La opción 4/10 cambia 1/5 por 1/10 sin cambiar el numerador.
Calcula $\frac{2}{3} + \frac{1}{12}$ y escribe el resultado simplificado.
12 es múltiplo de 3: se multiplica 2/3 arriba y abajo por 4, y queda 8/12. Luego 8/12 + 1/12 = 9/12, que simplificado entre 3 es 3/4.
Calcula $\frac{5}{6} - \frac{1}{3}$ y escribe el resultado simplificado.
1/3 = 2/6. Entonces 5/6 − 2/6 = 3/6, y simplificado entre 3 es 1/2.
¿Verdadero o falso? $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{9}$
Es falso: así se suman los de arriba y los de abajo. 2/9 es menos que 1/3, y una suma no puede quedar menor que uno de sus sumandos. Lo correcto es 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.
Para sumar 2/5 + 3/10, Pablo cambió 2/5 por 2/10. ¿Verdadero o falso? $\frac{2}{5} = \frac{2}{10}$
Es falso. Pablo cambió solo el denominador. Hay que multiplicar arriba y abajo por 2: 2/5 = 4/10. Así la suma da 4/10 + 3/10 = 7/10.
Para la masa de los buñuelos, Lucía usa 1/2 taza de leche y 3/8 de taza de agua. ¿Cuánto líquido usa en total? Escribe la fracción de taza.
8 es múltiplo de 2: 1/2 = 4/8. Luego 4/8 + 3/8 = 7/8 de taza.
Ana camina 1/2 km hasta la tienda y después 1/6 km hasta el parque. ¿Cuántos kilómetros camina en total?
1/2 = 3/6, y 3/6 + 1/6 = 4/6, que simplificado es 2/3 de kilómetro. La opción 2/8 suma los denominadores; la opción 2/6 cambia 1/2 por 1/6 sin cambiar el numerador.
De una cinta de 1 metro, Pedro corta 2/5 de metro y luego 3/10 de metro. ¿Cuánta cinta le queda? Escribe la fracción de metro.
Paso 1: lo cortado, 4/10 + 3/10 = 7/10. Paso 2: el metro entero es 10/10, y 10/10 − 7/10 = 3/10 de metro.
Quedaban 11/12 de la torta, y en la merienda se comieron 1/4 de la torta. ¿Qué parte de la torta queda? Escríbela simplificada.
12 es múltiplo de 4: 1/4 = 3/12. Luego 11/12 − 3/12 = 8/12, que simplificado entre 4 es 2/3.
Para calcular 7/8 − 1/4, ¿qué conviene hacer?
Se cambia la fracción del denominador menor, multiplicando arriba y abajo por el mismo número: 1/4 = 2/8. Así 7/8 − 2/8 = 5/8. Las otras opciones cambian el valor de una fracción o restan los denominadores.
Reto
Une cada operación con su resultado simplificado.
Cambia la fracción del denominador menor por su equivalente, opera y simplifica.
Reto
Abre el candado de las fracciones.
Cambia la fracción del denominador menor por su equivalente antes de sumar o restar.
Cierre
En resumen
Para sumar o restar fracciones, los pedazos tienen que ser del mismo tamaño, es decir, tener el mismo denominador.
Si un denominador es múltiplo del otro, se cambia la fracción del denominador menor por su equivalente: 1/2 = 2/4.
Al cambiar el denominador se cambia también el numerador, multiplicando los dos por el mismo número.
Se suman o restan los numeradores; los denominadores nunca se suman: 1/2 + 1/4 no es 2/6.
El resultado se simplifica cuando se puede.
Vocabulario
- Denominador común
Un mismo denominador para dos fracciones, para que sus pedazos sean del mismo tamaño y se puedan sumar o restar.
- Fracción equivalente
Otra fracción que vale lo mismo. Se obtiene multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número: 1/2 = 2/4.
- Múltiplo
Un resultado de la tabla de un número. 8 es múltiplo de 4 porque 4 × 2 = 8.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Escriba 1/2 + 1/4 en el tablero y pida respuestas sin corregir. Si aparece 2/6, pregunte si es más o menos que 1/2.
- Explicación · 15 min — Tiras de papel del mismo largo dobladas en medios y en cuartos para mostrar que 1/2 = 2/4; los cuatro ejemplos en el tablero, con la recta de saltos.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales y retos en parejas. En cada suma, el compañero dice qué fracción se cambió y por cuánto se multiplicó.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante inventa una receta con dos cantidades en fracción (medios y cuartos u octavos) y la suma.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué no se pueden sumar directamente medios con cuartos?
- Si al sumar dos fracciones el resultado es más pequeño que una de ellas, ¿qué pasó?
- Al cambiar 2/3 por sextos, ¿por qué hay que multiplicar también el numerador?
Errores típicos
- Sumar numeradores y denominadores: 1/2 + 1/4 = 2/6. Pida comparar el resultado con cada sumando: una suma de cantidades positivas no puede ser menor que ninguna de ellas. Muestre con tiras que 2/6 es menos que 1/2.
- Cambiar solo el denominador: 1/2 + 1/4 → 1/4 + 1/4. Ponga lado a lado la tira de 1/2 y la de 1/4: no miden igual. Pida escribir el «× 2» arriba y abajo cada vez que se cambie una fracción.
- Cambiar la fracción del denominador mayor en lugar de la del menor (7/8 → 7/4). Pregunte cuál de los dos denominadores cabe exacto en el otro; ese es el que se cambia.
- Dejar el resultado sin simplificar (3/6 en lugar de 1/2) o restar el 1 entero como si fuera 1/2. Pida escribir el 1 como una fracción con el denominador común (2/2, 10/10) antes de restar, y revisar al final si el numerador y el denominador tienen un divisor común.
Tarea sugerida
Buscar una receta en la casa que use medias, cuartas u octavas partes de taza o de libra, y calcular cuánto se usa en total de dos de los ingredientes que se miden igual.