Fracción de una cantidad
Lo que vas a aprender
- Calcular la fracción de una cantidad dividiendo entre el denominador y multiplicando por el numerador.
- Pasar fracciones de hora a minutos y fracciones de kilómetro a metros.
- Resolver problemas de dos pasos en los que se gasta una fracción y se pregunta lo que queda.
- Hallar el total cuando se conoce lo que vale una fracción de él.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
El partido del recreo dura tres cuartos de hora. La mamá de Valentina le dice que puede gastar dos quintos de sus ahorros. La carrera del colegio es de dos quintos de kilómetro. ¿Cuántos minutos, cuántos pesos, cuántos metros son?
Todas esas preguntas piden la fracción de una cantidad. En esta lección vas a aprender a calcularla en dos pasos, a usarla con horas, metros y pesos, y a hacer el camino de vuelta: saber cuánto había en total cuando solo conoces una parte.
Explicación
Qué quiere decir «3/4 de algo»
Una fracción tiene dos números, y cada uno tiene un trabajo distinto.
- El denominador, el de abajo, dice en cuántas partes iguales se reparte el total.
- El numerador, el de arriba, dice cuántas de esas partes se toman.
Por eso la fracción de una cantidad se calcula en dos pasos:
- Divide el total entre el denominador. Así sabes cuánto vale una parte.
- Multiplica ese resultado por el numerador. Así juntas las partes que te piden.
Para 3/4 de 20: primero 20 ÷ 4 = 5, que es lo que vale un cuarto. Después 5 × 3 = 15.
El error de los números al revés
Algunos niños dividen entre el numerador y multiplican por el denominador. Para 3/4 de 12 hacen 12 ÷ 3 = 4 y 4 × 4 = 16. ¡Pero 16 es más que 12! Si la fracción es menor que 1, como 3/4, el resultado tiene que ser menor que el total. Usa esa revisión siempre: te avisa cuando algo salió al revés.
Ejemplo resuelto
Tres cuartos de hora
El partido de microfútbol del recreo dura 3/4 de hora. Una hora tiene 60 minutos. ¿Cuántos minutos dura el partido?
Ver la solución paso a paso
El denominador es 4: partimos la hora en 4 partes iguales.
$$60 \div 4$$
Cada cuarto de hora son 15 minutos.
$$15$$
El numerador es 3: tomamos 3 de esas partes.
$$15 \times 3$$
Multiplicamos.
$$45$$
Revisamos. 3/4 de hora es menos que una hora, así que el resultado tiene que ser menos de 60. Con los números al revés saldrían 80 minutos, más que la hora entera:
$$\left(60 \div 3\right) \times 4 > 60$$
Respuesta: El partido dura 45 minutos.
Una hora en la recta, de 0 a 60 minutos, partida en cuartos de 15 minutos. Tres cuartos de hora llegan a la marca de 45.
Con medidas y con dinero
Para usar una fracción de una medida, piensa primero cuánto vale la unidad entera en la medida que te piden. Una hora son 60 minutos. Un kilómetro son 1000 metros. Un metro son 100 centímetros. Después haces los dos pasos de siempre.
Con dinero pasa algo especial: muchas veces te preguntan lo que queda. Si alguien gasta 2/5 de sus ahorros, el dinero quedó partido en 5 partes iguales. Gastó 2 partes y le quedan 3 partes, o sea 3/5. Puedes restar lo gastado al total, o calcular de una vez los 3/5. Las dos cuentas deben dar lo mismo.
Ejemplo resuelto
Los ahorros de Valentina
Valentina tiene 35 000 pesos ahorrados y gasta 2/5 en un libro. ¿Cuánto dinero le queda?
Ver la solución paso a paso
Paso 1: cuánto cuesta el libro, que es 2/5 de los ahorros. Partimos en 5 partes iguales:
$$35\,000 \div 5$$
Cada quinto vale 7000 pesos.
$$7000$$
El libro son 2 de esas partes:
$$7000 \times 2$$
Multiplicamos.
$$14\,000$$
Paso 2: le quitamos lo gastado a lo que tenía.
$$35\,000 - 14\,000$$
Restamos.
$$21\,000$$
Comprobamos por el otro camino. Gastó 2 de las 5 partes, así que le quedan 3 partes:
$$7000 \times 3 = 21\,000$$
Respuesta: Le quedan 21 000 pesos.
Los ahorros como una tira partida en 5 partes iguales. Las 2 partes pintadas son lo gastado (2/5) y las 3 blancas son lo que queda (3/5). Si sabes cuánto valen las partes pintadas, divides entre 2 para saber lo que vale una parte, y multiplicas por 5 para tener toda la tira.
El camino de vuelta
A veces conoces la parte y te preguntan el total. Entonces se deshacen los dos pasos, al revés:
- Divide la parte que conoces entre el numerador. Así sabes cuánto vale una sola parte.
- Multiplica por el denominador. Así juntas todas las partes del total.
Revisa siempre: el total tiene que ser mayor que la parte que conocías.
Hay una trampa frecuente. Felipe gastó 2/5 de sus ahorros en unos guayos de 12 000 pesos. Para saber cuánto tenía, algunos niños calculan 2/5 de 12 000. Eso da 4800, que es menos que lo que costaron los guayos. No puede ser: con menos dinero que el precio no se compran. Lo que conoces es una parte, no el total. Por eso no se hace el camino de ida, sino el de vuelta. Mira la tira de los ahorros: las 2 partes pintadas son los 12 000 pesos.
Ejemplo resuelto
¿Cuánto tenía ahorrado?
Felipe gastó 2/5 de sus ahorros en unos guayos, y los guayos le costaron 12 000 pesos. ¿Cuánto tenía ahorrado?
Ver la solución paso a paso
Los 12 000 pesos son 2 de las 5 partes. Una sola parte vale:
$$12\,000 \div 2$$
Dividimos.
$$6000$$
El total son las 5 partes:
$$6000 \times 5$$
Multiplicamos.
$$30\,000$$
Comprobamos de ida: 2/5 de 30 000 tienen que ser los 12 000 de los guayos.
$$\left(30\,000 \div 5\right) \times 2 = 12\,000$$
Respuesta: Felipe tenía 30 000 pesos ahorrados.
Práctica
¿Cuánto es 2/3 de 24?
Se parte 24 en 3 partes iguales: 24 ÷ 3 = 8. Se toman 2 partes: 8 × 2 = 16. Es menos que 24, como debe ser.
Para hallar 3/4 de 20, ¿qué cuenta se hace?
Se divide entre el denominador (4) y se multiplica por el numerador (3): (20 ÷ 4) × 3 = 15. Dividir entre 3 y multiplicar por 4 es hacerlo al revés, y daría más que 20.
La carrera de observación del colegio mide 2/5 de kilómetro. Un kilómetro tiene 1000 metros. ¿Cuántos metros mide la carrera?
Un quinto de kilómetro es 1000 ÷ 5 = 200 metros. Dos quintos son 200 × 2 = 400 metros.
La clase de artes dura 2/3 de hora. Una hora tiene 60 minutos. ¿Cuántos minutos dura la clase?
Un tercio de hora es 60 ÷ 3 = 20 minutos. Dos tercios son 20 × 2 = 40 minutos.
En el bazar del colegio se recogieron 48 000 pesos, y 3/8 de ese dinero es para comprar balones. ¿Cuántos pesos son para balones?
Un octavo es 48 000 ÷ 8 = 6000 pesos. Tres octavos son 6000 × 3 = 18 000 pesos.
Tomás tenía 24 000 pesos y gastó 1/4 en pasajes de bus. ¿Cuántos pesos le quedan?
Paso 1: lo gastado, 24 000 ÷ 4 = 6000 pesos. Paso 2: lo que queda, 24 000 − 6000 = 18 000 pesos. También: le quedan 3 de las 4 partes, 6000 × 3 = 18 000.
Doña Rosa trae 40 mangos a la tienda y en la mañana vende 3/8 de ellos. ¿Cuántos mangos le quedan?
Un octavo de 40 es 5 mangos. Vende 3 octavos, 15 mangos, y le quedan 40 − 15 = 25. La opción 15 es lo vendido, no lo que queda; la opción 37 resta 3 mangos en lugar de 3 octavos.
En el salón, 3/4 de los estudiantes llegan en bus, y son 27. ¿Cuántos estudiantes hay en el salón?
Es el camino de vuelta. Los 27 son 3 partes: una parte es 27 ÷ 3 = 9. El salón completo son 4 partes: 9 × 4 = 36. Se comprueba: 3/4 de 36 es (36 ÷ 4) × 3 = 27.
Lina gastó 3/4 de su mesada en un cuaderno que costó 6000 pesos. ¿Cuántos pesos era su mesada?
Los 6000 pesos son 3 de las 4 partes. Una parte es 6000 ÷ 3 = 2000, y la mesada completa es 2000 × 4 = 8000 pesos. Si calculas 3/4 de 6000 te da 4500, que es menos que el cuaderno: eso no puede ser el total.
Mario dice que 3/4 de 12 es 16. ¿Verdadero o falso? $\left(12 \div 4\right) \times 3 = 16$
Es falso. 3/4 de 12 es (12 ÷ 4) × 3 = 9. Mario dividió entre 3 y multiplicó por 4. Además, 16 es más que 12, y tres cuartos de algo nunca pasan del total.
¿Qué dibujo muestra cómo hallar 2/5 de 15 canicas?
El denominador, 5, dice en cuántos grupos iguales se reparten las canicas: 5 grupos de 3. El numerador, 2, dice cuántos grupos se toman: 2 grupos, 6 canicas.
Reto
Abre el candado de las partes.
Divide entre el denominador y multiplica por el numerador. En el último, haz el camino de vuelta.
Reto
El camino de vuelta en la finca.
Primero halla lo que vale una parte; después, el total.
Cierre
En resumen
Para hallar una fracción de una cantidad, se divide entre el denominador y se multiplica por el numerador: 3/4 de 20 es (20 ÷ 4) × 3 = 15.
Si la fracción es menor que 1, el resultado es menor que el total; si da más, se hizo al revés.
Con medidas, primero se piensa la unidad en la medida pedida: una hora son 60 minutos y un kilómetro, 1000 metros.
Si se gasta 2/5, quedan 3/5: se puede restar lo gastado o calcular directamente lo que queda.
Para hallar el total desde una parte, se divide entre el numerador y se multiplica por el denominador.
Vocabulario
- Fracción de una cantidad
Una parte de un total: 3/4 de 20 es lo que se obtiene al partir 20 en 4 partes iguales y tomar 3.
- Parte
Cada uno de los pedazos iguales en que se divide el total. El denominador dice cuántas partes hay.
- Total
La cantidad completa, antes de partirla. Es lo mismo que la fracción 5/5, 4/4 o 3/3.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte cuántos minutos son media hora y un cuarto de hora, y pida explicar cómo lo saben. De ahí salen los dos pasos.
- Explicación · 15 min — Los dos pasos con fichas o tapas: 20 tapas en 4 grupos, tomar 3. Los tres ejemplos en el tablero, con la tira de los ahorros para la ida y la vuelta.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales y retos en parejas. En cada problema, el compañero revisa si el resultado es menor que el total (ida) o mayor que la parte (vuelta).
- Cierre · 5 min — Cada estudiante dibuja con una tira cómo se halla 2/3 de 12 y cómo se halla el total si 2/3 son 12.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué 3/4 de un número no puede ser mayor que el número?
- Si alguien gasta 3/8 de su dinero, ¿qué fracción le queda? ¿Cómo lo saben sin hacer cuentas?
- En el camino de vuelta, ¿por qué se divide entre el numerador y no entre el denominador?
Errores típicos
- Dividir entre el numerador y multiplicar por el denominador: 3/4 de 20 como (20 ÷ 3) × 4. Pida decir en voz alta el trabajo de cada número: «el 4 reparte, el 3 toma». Y revisar siempre si el resultado quedó menor que el total.
- Responder lo gastado cuando se pregunta lo que queda. Pida subrayar la pregunta y pintar en la tira lo gastado y lo que queda con colores distintos.
- En el camino de vuelta, calcular la fracción de la parte (3/4 de 6000) en lugar del total. Recuerde que el total es mayor que la parte; si el resultado da menor, se fue por el camino de ida.
- Olvidar pasar la unidad a la medida pedida (calcular 3/4 de 1 hora como «3/4 de minuto»). Pida escribir primero cuántos minutos tiene la hora o cuántos metros tiene el kilómetro.
Tarea sugerida
Preguntar en la casa cuánto dura un programa de televisión o un viaje en bus que se mida en fracciones de hora (media hora, tres cuartos de hora) y escribir cuántos minutos son. Inventar un problema de camino de vuelta con dinero.