La finca de don Marcos
Lo que vas a aprender
- Expresar como fracción del total cada parte de un terreno dibujado en cuadrícula.
- Sumar partes de un terreno y hallar lo que falta para completar el total.
- Ordenar las partes de un terreno de mayor a menor.
- Calcular la fracción de lo que queda en un problema de varios pasos, sin confundirla con la fracción del total.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Don Marcos tiene una finca y quiere organizarla. Dibujó su terreno en una hoja cuadriculada: un pedazo para la casa, otro para el gallinero, otro para el estanque de los peces, y el resto para sembrar bananos, maíz y yuca.
Ahora tiene muchas preguntas. ¿Qué parte de la finca es para la casa? ¿Cuánto va a sembrar? ¿Cuánto queda sin sembrar? ¿Qué cultivo ocupa más? En esta lección vas a ayudarle con fracciones, usando todo lo que aprendiste en la unidad: contar partes, simplificar, sumar, restar y comparar.
La finca de don Marcos dibujada en cuadrícula: 4 columnas y 3 filas de cuadros iguales. La casa, el gallinero y el estanque ocupan un cuadro cada uno; los bananos, tres cuadros; el maíz, cuatro, y la yuca, dos (terreno inventado).
Explicación
El total es la finca entera
Lo primero es saber en cuántos cuadros iguales está partida la finca. Ese número es el denominador de todas las fracciones antes de simplificar. Cada parte se escribe con los cuadros que ocupa arriba, en el numerador, y los cuadros de toda la finca abajo.
Después, simplifica cuando se pueda. 3/12 y 1/4 son la misma parte de la finca, pero 1/4 se entiende más rápido: es una de cuatro partes iguales.
Ejemplo resuelto
La casa y los bananos
Mira la finca de don Marcos. ¿Qué fracción de la finca ocupa la casa? ¿Y los bananos?
Ver la solución paso a paso
Contamos los cuadros iguales de toda la finca: 4 columnas y 3 filas.
$$4 \times 3$$
Son 12 cuadros. El denominador será 12.
$$12$$
La casa ocupa 1 cuadro de los 12:
$$\frac{1}{12}$$
Los bananos ocupan 3 cuadros de los 12 (dos arriba y uno abajo):
$$\frac{3}{12}$$
Simplificamos: el 3 y el 12 se pueden dividir entre 3.
$$\frac{1}{4}$$
Respuesta: La casa ocupa 1/12 de la finca y los bananos, 3/12, que es 1/4.
Sumar partes y hallar lo que falta
Para saber cuánto se siembra, se juntan las partes sembradas. Como todas tienen el mismo denominador, se suman los numeradores.
Para saber cuánto no se siembra hay dos caminos. Uno es contar los cuadros sin sembrar. El otro es pensar en lo que falta para completar la finca: la finca entera es 1, y se le resta lo sembrado. Ese resto se llama complemento. Si los dos caminos dan lo mismo, la respuesta está bien.
Ejemplo resuelto
Lo que se siembra y lo que no
¿Qué fracción de la finca se siembra? ¿Qué fracción no se siembra?
Ver la solución paso a paso
Se siembran los bananos (3 cuadros), el maíz (4) y la yuca (2). Tienen el mismo denominador:
$$\frac{3}{12} + \frac{4}{12} + \frac{2}{12}$$
Sumamos los numeradores.
$$\frac{3 + 4 + 2}{12}$$
Son 9 cuadros de 12.
$$\frac{9}{12}$$
Simplificamos entre 3.
$$\frac{3}{4}$$
Lo que no se siembra es lo que falta para la finca entera. La finca entera es 1, que es lo mismo que 4/4:
$$1 - \frac{3}{4}$$
Escribimos el 1 como cuartos.
$$\frac{4}{4} - \frac{3}{4}$$
Restamos.
$$\frac{1}{4}$$
Comprobamos contando: la casa, el gallinero y el estanque son 3 cuadros de 12.
$$\frac{1 + 1 + 1}{12} = \frac{1}{4}$$
Respuesta: Se siembra 3/4 de la finca y no se siembra 1/4.
La finca tiene 12 cuadros iguales. Sombrea los 9 que se siembran (bananos, maíz y yuca) y lee qué fracción de la finca es.
Comparar las partes
Si las fracciones tienen el mismo denominador, gana la del numerador mayor: es la que tiene más cuadros. Si ya las simplificaste y todas tienen numerador 1, fíjate al revés: cuanto más grande el denominador, más pequeña la parte, porque la finca se partió en más pedazos.
Ejemplo resuelto
¿Qué cultivo ocupa más?
Ordena los tres cultivos de mayor a menor, según la parte de la finca que ocupan.
Ver la solución paso a paso
Con el mismo denominador basta comparar los numeradores: maíz 4, bananos 3 y yuca 2.
$$\frac{4}{12} > \frac{3}{12} > \frac{2}{12}$$
Simplificadas son 1/3, 1/4 y 1/6. Con numerador 1, el denominador más grande da la parte más pequeña, y el orden es el mismo:
$$\frac{1}{3} > \frac{1}{4} > \frac{1}{6}$$
Respuesta: De mayor a menor: maíz (1/3), bananos (1/4) y yuca (1/6).
Cuidado con «lo que queda»
A veces un problema dice «de lo que queda». Eso cambia el total. Lo que queda es un total nuevo, más pequeño, y la fracción se calcula sobre él, no sobre la finca entera. Al final, para saber qué parte es de toda la finca, se comparan los cuadros con los de la finca entera.
Antes de calcular, piensa qué operaciones necesitas y en qué orden. Sin saber cuánto queda, no puedes calcular la fracción de lo que queda.
Ejemplo resuelto
El plátano del lote nuevo
Don Marcos compra un lote nuevo de 12 cuadros iguales. Siembra café en 1/2 del lote. De lo que queda, siembra 1/3 con plátano. ¿Qué fracción de todo el lote es plátano?
Ver la solución paso a paso
Paso 1: los cuadros de café. Partimos el lote en 2 y tomamos 1 parte.
$$\left(12 \div 2\right) \times 1$$
Son 6 cuadros de café.
$$6$$
Paso 2: lo que queda después del café.
$$12 - 6$$
Quedan 6 cuadros. Ese es el total nuevo.
$$6$$
Paso 3: el plátano es 1/3 de lo que queda, no de todo el lote.
$$\left(6 \div 3\right) \times 1$$
Son 2 cuadros de plátano.
$$2$$
Paso 4: comparamos con todo el lote, que tiene 12 cuadros, y simplificamos.
$$\frac{2}{12}$$
Dividimos entre 2.
$$\frac{1}{6}$$
El error sería calcular 1/3 de los 12 cuadros. Saldrían 4 cuadros, el doble de los 2 que de verdad hay:
$$\left(12 \div 3\right) \times 1 = 4$$
Respuesta: El plátano ocupa 2 cuadros de 12: 2/12 = 1/6 del lote, no 1/3.
El lote nuevo de 12 cuadros. El café ocupa la mitad (6 cuadros). La raya punteada encierra lo que queda: 6 cuadros. El plátano es un tercio de esos 6, o sea 2 cuadros, y los otros 4 siguen libres.
Práctica
Mira la finca de don Marcos. ¿Qué fracción de toda la finca ocupa el maíz? Escríbela simplificada.
El maíz ocupa 4 cuadros de 12: 4/12. Dividiendo entre 4 queda 1/3.
En la finca de don Marcos, ¿qué fracción de toda la finca ocupa la yuca? Escríbela simplificada.
La yuca ocupa 2 cuadros de 12: 2/12. Dividiendo entre 2 queda 1/6.
En la finca de don Marcos, ¿qué fracción ocupan juntos la casa y el gallinero?
Son 2 cuadros de 12: 1/12 + 1/12 = 2/12 = 1/6. La opción 2/24 suma también los denominadores, como si la finca se hubiera vuelto el doble de grande.
¿Verdadero o falso? El maíz y la yuca juntos ocupan la mitad de la finca: $\frac{4}{12} + \frac{2}{12} = \frac{1}{2}$
Es verdad: 4/12 + 2/12 = 6/12, y 6 cuadros son la mitad de 12. Simplificado, 6/12 = 1/2.
¿Verdadero o falso? Los bananos ocupan la misma parte de la finca que todo lo que no se siembra (la casa, el gallinero y el estanque): $\frac{3}{12} = \frac{1 + 1 + 1}{12}$
Es verdad: los bananos son 3 cuadros y lo que no se siembra también son 3 cuadros. Las dos partes son 3/12 = 1/4 de la finca.
En la finca de don Marcos, ¿cuánto más ocupa el maíz que la yuca? Escribe la diferencia como fracción de la finca, simplificada.
Comparar cuánto más es restar: 4/12 − 2/12 = 2/12, que simplificado es 1/6. El maíz tiene 2 cuadros más que la yuca.
Si don Marcos tapa el estanque con tierra y siembra yuca en ese cuadro, ¿qué fracción de la finca quedará sembrada? Escríbela simplificada.
Ahora se siembran 3 + 4 + 2 + 1 = 10 cuadros de 12: 10/12, que simplificado entre 2 es 5/6. Solo la casa y el gallinero quedan sin sembrar.
Un lote tiene 12 cuadros iguales. 1/4 del lote es pasto. De lo que queda, 2/3 se siembra con cacao. ¿Cuántos cuadros de cacao hay?
Pasto: 12 ÷ 4 = 3 cuadros. Lo que queda: 12 − 3 = 9 cuadros. Cacao: 2/3 de 9, que es (9 ÷ 3) × 2 = 6 cuadros. Si calculas 2/3 de los 12 cuadros te da 8, y eso es la fracción del total, no de lo que queda.
Un lote tiene 12 cuadros iguales: 1/4 es pasto y, de lo que queda, 2/3 es cacao. ¿Qué fracción de todo el lote es cacao?
El cacao son 6 cuadros de los 12 del lote: 6/12 = 1/2. La opción 2/3 es la fracción de lo que queda, no de todo el lote.
Lina dice: «En el lote nuevo, el plátano es 1/3 de lo que queda después del café. Entonces el plátano es 1/3 de todo el lote». ¿Tiene razón?
Un tercio de algo pequeño es menos que un tercio de algo grande. Lo que queda son 6 cuadros, y un tercio de 6 son 2 cuadros, que es 2/12 = 1/6 del lote.
Don Marcos quiere saber qué fracción de su finca no se siembra, y ya sabe que se siembra 3/4. ¿Qué operación basta hacer?
Lo que no se siembra es lo que falta para completar la finca: 1 − 3/4 = 1/4. Las demás operaciones no responden la pregunta: calcular 3/4 de 12 da los cuadros sembrados, que son 9, no los que faltan.
Reto
Une cada parte de la finca con su fracción simplificada.
Divide arriba y abajo por el mismo número hasta que ya no se pueda más.
Reto
Las palabras de la finca.
Lee la pista y escribe la palabra.
Cierre
En resumen
En un terreno en cuadrícula, el denominador es el número de cuadros iguales de todo el terreno y el numerador, los cuadros de la parte.
Las partes con el mismo denominador se suman sumando los numeradores; el resultado se simplifica.
Lo que falta para el total es el complemento: 1 − 3/4 = 1/4; se comprueba contando los cuadros.
Con el mismo denominador, la parte mayor tiene el numerador mayor; con numerador 1, la parte mayor tiene el denominador menor.
«De lo que queda» cambia el total: primero se halla lo que queda, después su fracción, y al final se compara con todo el terreno.
Vocabulario
- Cuadrícula
Un dibujo partido en cuadros iguales. Sirve para contar qué parte ocupa cada cosa.
- Complemento
Lo que le falta a una parte para completar el total. Si se siembra 3/4, el complemento es 1/4.
- Lo que queda
La parte del total que sobra después de usar una parte. Es otro total, más pequeño.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Proyecte o dibuje la finca en el tablero y pida a cada pareja tres preguntas que don Marcos podría hacerse sobre su terreno.
- Explicación · 15 min — Los cuatro ejemplos con la cuadrícula en el tablero, pintando cada parte. En el lote nuevo, tape con una hoja la parte del café para que se vea el «total nuevo».
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales y retos en parejas. Cada pareja justifica en voz alta una respuesta con dos caminos: contar cuadros y operar fracciones.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante dibuja en una cuadrícula de 12 cuadros su propia finca con cuatro partes y escribe la fracción de cada una.
Preguntas para el salón
- Antes de simplificar, ¿por qué todas las partes de la finca tienen el mismo denominador?
- Los bananos ocupan 1/4 y lo que no se siembra también 1/4. ¿Cómo puede ser, si se ven tan distintos en el dibujo?
- En el lote nuevo, ¿por qué 1/3 de lo que queda no es 1/3 del lote?
Errores típicos
- Calcular la fracción de lo que queda como si fuera del total (1/3 de los 12 cuadros en lugar de 1/3 de los 6 que quedan). Pida tapar con una hoja la parte ya usada y trabajar solo con los cuadros que se ven; al final, destapar y comparar con el lote entero.
- Escribir como denominador los cuadros de las otras partes (la casa como 1/11) en lugar de los de toda la finca. Pida decir siempre «tantos cuadros de los 12» antes de escribir la fracción.
- Sumar también los denominadores al juntar partes (1/12 + 1/12 = 2/24). Recuerde que la finca no cambia de tamaño al juntar partes: siguen siendo cuadros de 12.
- Al comparar fracciones de numerador 1, creer que 1/6 es mayor que 1/3 porque 6 es mayor que 3. Pida mirar los cuadros en el dibujo: la yuca (1/6) ocupa menos que el maíz (1/3).
Tarea sugerida
Dibujar en una cuadrícula de 12 cuadros la huerta escolar o el patio de la casa con al menos cuatro partes. Escribir la fracción de cada parte simplificada, ordenarlas de mayor a menor y calcular la fracción que no se usa para sembrar.