Perímetro y área de rectángulos y triángulos rectángulos
Lo que vas a aprender
- Hallar el perímetro de una figura bordeándola y con un cálculo.
- Hallar el área de rectángulos, cuadrados y triángulos rectángulos por recubrimiento y por cálculo.
- Hallar el área de una figura compuesta partiéndola en rectángulos y triángulos rectángulos.
- Calcular un lado de un rectángulo o de un cuadrado a partir de su área.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la huerta escolar van a cercar un lote y a cubrirlo con tierra abonada. Para la cerca necesitan saber cuánto mide el borde. Para la tierra necesitan saber cuánta superficie hay que cubrir. Son dos preguntas distintas, con dos respuestas distintas.
En esta lección vas a medir bordes y superficies de rectángulos, cuadrados y triángulos con una esquina recta. También vas a medir figuras raras, como un lote en forma de L, partiéndolas en pedazos que ya sabes medir.
Explicación
El perímetro: el borde
El perímetro es lo que mide el borde de una figura. Puedes hallarlo de dos formas.
- Bordeando: recorres el borde con el dedo o con una cuerda y sumas todos los lados, uno por uno.
- Calculando: en el rectángulo, los lados de enfrente son iguales. Basta sumar el largo y el ancho y multiplicar por 2. En el cuadrado, los cuatro lados son iguales: multiplicas el lado por 4.
El perímetro es una longitud. Se escribe en cm o en m, sin el ².
El área: la superficie
El área dice cuántos cuadritos de 1 cm de lado, o de 1 m de lado, cubren la figura. También tiene varias formas de hallarse.
- Recubriendo: cubres la figura con cuadritos y los cuentas.
- Calculando: en el rectángulo, los cuadritos forman filas iguales. El largo dice cuántos hay en cada fila y el ancho dice cuántas filas hay. Multiplicas largo por ancho. En el cuadrado, multiplicas el lado por sí mismo.
El área se escribe en cm² o m². Si escribes «24 cm» para un área, estás diciendo un largo, no una superficie.
Un rectángulo de 6 cm de largo y 4 cm de ancho, cubierto con cuadritos de 1 cm de lado: 4 filas de 6 cuadritos.
Ejemplo resuelto
Bordear y cubrir el mismo rectángulo
Un rectángulo mide 6 cm de largo y 4 cm de ancho, como en la figura. Halla su perímetro y su área.
Ver la solución paso a paso
Bordeando: recorremos el borde y sumamos los cuatro lados.
$$6 + 4 + 6 + 4$$
Calculando: el largo más el ancho, por 2, da lo mismo.
$$2 \times \left(6 + 4\right)$$
El perímetro es de $20$ cm.
Recubriendo: contamos los cuadritos. Hay 4 filas de 6:
$$4 \times 6$$
El área es de $24$ cm².
Respuesta: El perímetro es 20 cm y el área es 24 cm². Son medidas distintas: una mide el borde y la otra cuenta cuadritos.
Arrastra la esquina hasta el rectángulo del ejemplo, de 6 cm de largo y 4 cm de ancho. Cuenta los cuadritos de adentro (el área) y mide el borde (el perímetro).
El triángulo rectángulo: la mitad de un rectángulo
Toma una hoja rectangular y córtala por la diagonal, de una esquina a la esquina de enfrente. Salen dos triángulos iguales. Cada uno tiene una esquina recta, como la de la hoja. Por eso se llaman triángulos rectángulos.
Cada triángulo es la mitad del rectángulo. Para hallar su área, calcula el área del rectángulo que forman los dos lados de la esquina recta y divide entre 2.
Dos errores muy comunes:
- Olvidar dividir entre 2. Así sale el rectángulo entero, que es el doble.
- Usar el lado inclinado. El lado inclinado es el que queda frente a la esquina recta. No sirve para el área. Los que sirven son los dos lados que forman la esquina recta, porque son el largo y el ancho del rectángulo.
El triángulo rectángulo de la cartulina, con lados de 20 cm y 12 cm en la esquina recta. Con su otra mitad (punteada) forma un rectángulo de 20 cm por 12 cm.
Ejemplo resuelto
La cartulina triangular
Una cartulina tiene forma de triángulo rectángulo. Los dos lados que forman la esquina recta miden 20 cm y 12 cm. ¿Cuál es su área?
Ver la solución paso a paso
Con dos cartulinas iguales se arma un rectángulo de 20 cm por 12 cm. Su área es:
$$20 \times 12$$
Calculamos: el rectángulo tiene $240$ cm².
La cartulina es la mitad del rectángulo. Dividimos entre 2:
$$240 \div 2$$
El área del triángulo es de $120$ cm².
Si se olvida dividir entre 2, sale el rectángulo entero, que es el doble del triángulo:
$$240 = 2 \times 120$$
Respuesta: La cartulina tiene 120 cm² de área.
Figuras compuestas
Una figura en forma de L no es un rectángulo. Pero se puede partir en dos rectángulos con una línea. Hallas el área de cada pedazo y las sumas. Eso se llama descomponer la figura.
También se puede completar: imaginas el rectángulo grande que la contiene y le restas el pedazo que falta. Los dos caminos tienen que dar lo mismo, y así compruebas tu cuenta.
Para el perímetro no se parte nada: se bordea la figura y se suman todos sus lados, también los cortos de la esquina. La línea que usaste para partirla no es borde, así que no se suma.
El lote de la huerta en forma de L. La línea punteada lo parte en el rectángulo A, de 10 m por 4 m, y el cuadrado B, de 4 m de lado.
Ejemplo resuelto
El lote en forma de L
El lote de la huerta tiene forma de L, como en la figura. Halla su área y su perímetro.
Ver la solución paso a paso
Partimos el lote en el rectángulo A, de 10 m por 4 m, y el cuadrado B, de 4 m de lado. Sumamos sus áreas:
$$\left(10 \times 4\right) + \left(4 \times 4\right)$$
Cada pedazo por separado:
$$40 + 16$$
El área es de $56$ m².
Comprobamos completando: el rectángulo grande mide 10 m por 8 m, y le falta un pedazo de 6 m por 4 m.
$$\left(10 \times 8\right) - \left(6 \times 4\right) = 56$$
Para el perímetro bordeamos el lote y sumamos los seis lados. La línea punteada no cuenta:
$$10 + 4 + 6 + 4 + 4 + 8$$
El perímetro es de $36$ m.
Respuesta: El lote tiene 56 m² de área y 36 m de perímetro. Para la tierra se usan los m²; para la cerca, los m.
Ejemplo resuelto
Un lado a partir del área
El piso de la caseta de la huerta es rectangular. Tiene 24 m² de área y uno de sus lados mide 6 m. ¿Cuánto mide el otro lado? Y si otra caseta tiene piso cuadrado de 49 m², ¿cuánto mide su lado?
Ver la solución paso a paso
El área es largo por ancho. Buscamos el número que multiplicado por 6 da 24. La división deshace la multiplicación:
$$24 \div 6$$
El otro lado mide $4$ m.
Comprobamos: 6 m por 4 m da el área del piso.
$$6 \times 4 = 24$$
En el cuadrado los dos lados son iguales. Buscamos en la tabla de cuadrados el número que multiplicado por sí mismo da 49:
$$7 \times 7 = 49$$
Respuesta: El otro lado mide 4 m. El lado de la caseta cuadrada mide 7 m.
Para dibujar en la cuadrícula una figura con medidas dadas, cuenta los cuadritos de cada lado antes de trazar. Si te dan el área y un lado, primero halla el otro lado con una división. Al final, cuenta los cuadritos de adentro para comprobar el área.
En la práctica del salón, si recortan triángulos de papel, usen tijeras de punta redonda y corten sobre la mesa, lejos de la cara. Si miden un lote en el patio con una cuerda, lo hacen con el docente y sin correr.
Práctica
El piso del salón mide 8 m de largo y 6 m de ancho. ¿Cuántos m² mide su área?
El área es largo por ancho: 8 × 6 = 48 m². La opción 28 es el perímetro, 2 × (8 + 6), que mide el borde y va en m, no en m².
Un cuadro cuadrado mide 35 cm de lado. ¿Cuántos centímetros de marco necesita para todo su borde?
El marco va por el borde: es el perímetro. El cuadrado tiene cuatro lados iguales, así que 4 × 35 = 140 cm.
Un triángulo rectángulo tiene lados de 6 cm y 8 cm en la esquina recta, y su lado inclinado mide 10 cm. ¿Cuántos cm² mide su área?
Se usan los lados de la esquina recta: 6 × 8 = 48 es el rectángulo, y el triángulo es la mitad, 24 cm². La opción 48 olvida dividir entre 2. Las opciones 40 y 30 usan el lado inclinado, que no sirve para el área.
Un retazo de tela tiene forma de triángulo rectángulo. Los lados de la esquina recta miden 14 cm y 10 cm. ¿Cuántos cm² de tela tiene?
El rectángulo de 14 cm por 10 cm tiene 140 cm². El triángulo es la mitad: 140 ÷ 2 = 70 cm².
Un banderín tiene forma de triángulo rectángulo con lados de 9 cm, 12 cm y 15 cm. ¿Cuántos centímetros de cinta se necesitan para bordearlo?
Bordear es sumar todos los lados, también el inclinado: 9 + 12 + 15 = 36 cm. Para el perímetro sí cuenta el lado inclinado; para el área, no.
¿Verdadero o falso? Un triángulo rectángulo con lados de 10 cm y 6 cm en la esquina recta tiene un área de 60 cm².
Es falso. 10 × 6 = 60 cm² es el rectángulo entero. El triángulo es la mitad: 30 cm².
Un patio rectangular tiene 96 m² de área y 12 m de largo. ¿Cuántos metros mide de ancho?
Largo por ancho da el área. Se busca el número que por 12 da 96: 96 ÷ 12 = 8 m. Se comprueba con 12 × 8 = 96.
Una baldosa cuadrada tiene 81 cm² de área. ¿Cuántos centímetros mide su lado?
En la tabla de cuadrados, el número que multiplicado por sí mismo da 81 es el 9: 9 × 9 = 81. El lado mide 9 cm.
Un salón en forma de L se parte en dos rectángulos: uno de 7 m por 5 m y otro de 3 m por 4 m. ¿Cuántos m² mide el salón?
Se halla el área de cada pedazo y se suman: 7 × 5 = 35 y 3 × 4 = 12. En total, 35 + 12 = 47 m².
Un lote de la huerta se parte en dos pedazos: un rectángulo de 8 m por 4 m y, pegado a él, un triángulo rectángulo con lados de 4 m y 3 m en la esquina recta. ¿Cuántos m² mide el lote?
El rectángulo mide 8 × 4 = 32 m². El triángulo es la mitad de un rectángulo de 4 por 3: 12 ÷ 2 = 6 m². En total, 32 + 6 = 38 m².
Vas a dibujar en la cuadrícula un rectángulo de 2 cuadritos de ancho y 16 cuadritos de perímetro. ¿Cuántos cuadritos debe medir de largo?
Los dos anchos suman 2 + 2 = 4. Quedan 16 − 4 = 12 para los dos largos, así que cada largo mide 12 ÷ 2 = 6. Comprueba bordeando: 6 + 2 + 6 + 2 = 16.
Tienes que hallar el área de un lote con forma de L. ¿Qué estrategia sirve?
Se descompone en rectángulos, que ya sabes medir, y se suman sus áreas. Sumar los lados da el perímetro, no el área. Multiplicar el lado más largo por el más corto solo sirve en un rectángulo.
Reto
La cancha en forma de L.
Elige en cada espacio el número correcto. Halla el área de cada pedazo y súmalas.
Reto
Abre el candado de las figuras.
Cada pregunta da un dígito. Fíjate si te piden el borde o la superficie.
Cierre
En resumen
El perímetro es el largo del borde. Se halla bordeando y sumando todos los lados, y va en cm o m.
El área es la superficie. En el rectángulo es largo por ancho, en el cuadrado es lado por lado, y va en cm² o m².
El triángulo rectángulo es la mitad de un rectángulo. Se multiplican los lados de la esquina recta y se divide entre 2; el lado inclinado no sirve para el área.
Una figura compuesta se parte en rectángulos y triángulos, y se suman sus áreas; también se puede completar el rectángulo grande y restar.
Si se conoce el área y un lado, el otro lado sale de una división; el lado de un cuadrado sale de la tabla de cuadrados.
Vocabulario
- Perímetro
La longitud del borde de una figura. Se halla sumando todos sus lados y se mide en cm o m.
- Área
Cuánta superficie cubre una figura. Se halla contando cuadritos o con un cálculo, y se mide en cm² o m².
- Triángulo rectángulo
Un triángulo con una esquina recta, como la esquina de una hoja.
- Lado inclinado
En el triángulo rectángulo, el lado que queda frente a la esquina recta. Es el más largo.
- Figura compuesta
Una figura que se puede partir en rectángulos, cuadrados o triángulos.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte qué se necesita para cercar la huerta y qué para cubrirla de tierra. Anote las dos preguntas en dos columnas: borde y superficie.
- Explicación · 15 min — Perímetro bordeando y calculando; área recubriendo y calculando. Corte una hoja por la diagonal frente al grupo y muestre que cada triángulo es la mitad. El lote en L partido y completado.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales y retos en parejas. Cada pareja dibuja en papel cuadriculado un rectángulo de 2 cuadritos de ancho y 16 de perímetro, y un triángulo rectángulo de 6 por 4 cuadritos: dibuja primero el rectángulo de 6 por 4, cuenta sus 24 cuadritos y divide entre 2 (12); comprueba juntando de a dos los medios cuadritos del triángulo. Tijeras de punta redonda si recortan.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe en una tarjeta por qué el área del triángulo rectángulo se divide entre 2, con un dibujo.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué el perímetro va en cm y el área en cm²?
- ¿Por qué el lado inclinado no sirve para hallar el área del triángulo rectángulo?
- En el lote en L, ¿por qué la línea punteada no se suma en el perímetro?
Errores típicos
- Confundir perímetro y área, o dar el área en cm en vez de cm². Pida que digan antes de calcular si miden el borde (un hilo) o la superficie (cuadritos), y que escriban la unidad antes del número.
- Olvidar dividir entre 2 en el triángulo rectángulo. Pida dibujar siempre el rectángulo completo con la otra mitad punteada y preguntar: ¿mi triángulo es todo o la mitad?
- Usar el lado inclinado como uno de los lados del rectángulo. Pida marcar la esquina recta con un cuadrito y usar solo los dos lados que salen de ella.
- En la figura compuesta, sumar la línea de corte en el perímetro u olvidar un lado corto. Pida recorrer el borde con el dedo y marcar cada lado al sumarlo.
Tarea sugerida
Dibujar en papel cuadriculado una figura en forma de L y un triángulo rectángulo. Hallar el área y el perímetro de la L, partiéndola y completándola, y el área del triángulo como la mitad de un rectángulo.