Mismo perímetro, distinta área
Lo que vas a aprender
- Construir rectángulos con el mismo perímetro y comparar sus áreas en una tabla.
- Hallar los rectángulos de lados naturales que tienen un área dada y comparar sus perímetros.
- Encontrar en una tabla el rectángulo de mayor área para un perímetro dado.
- Argumentar con un ejemplo que cambiar el perímetro no obliga a cambiar el área, ni al revés.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Don Ernesto tiene un rollo de malla para cercar una huerta rectangular en su finca. La malla no le alcanza para más. Él quiere la huerta que tenga más tierra para sembrar. ¿Da igual cómo la arme, si usa la misma malla?
Mucha gente cree que sí: «si el borde es el mismo, lo de adentro también». En esta lección vas a comprobar con piolas, tablas y tarjetas que no es así. El perímetro y el área son medidas distintas, y una puede cambiar sin que la otra cambie.
Explicación
La piola de 50 cm
Toma una piola de 50 cm y une sus puntas con un pedacito de cinta, sin hacer nudo: así el lazo sigue midiendo 50 cm. Con los dedos, forma un rectángulo sobre la mesa. Luego estíralo hacia los lados y forma otro. Todos los rectángulos que armes tienen el mismo perímetro, porque la piola no se estira ni se encoge.
En un rectángulo, el borde tiene dos largos y dos anchos. Entonces un largo más un ancho es la mitad de la piola. A esa mitad se le llama semiperímetro. Con la piola de 50 cm, el largo más el ancho siempre suman 25 cm.
Ahora mira lo de adentro. Si el rectángulo es muy flaco y alargado, casi no encierra superficie. Si se parece a un cuadrado, encierra mucha. El mismo borde puede encerrar áreas muy distintas.
En la práctica del salón: trabajen la piola en parejas, sobre la mesa. La piola no se enrolla en los dedos con fuerza ni en el cuello. Para medirla, usen la regla o la cinta del salón.
Ejemplo resuelto
Dos rectángulos con la misma piola
Con una piola de 50 cm, Sara arma un rectángulo de 20 cm por 5 cm. Su compañero arma uno de 15 cm por 10 cm. ¿Tienen el mismo perímetro? ¿Tienen la misma área?
Ver la solución paso a paso
El largo más el ancho es la mitad de la piola:
$$50 \div 2$$
El semiperímetro es de $25$ cm.
El rectángulo de Sara usa toda la piola:
$$2 \times \left(20 + 5\right) = 50$$
El de su compañero también:
$$2 \times \left(15 + 10\right) = 50$$
Ahora el área del rectángulo de Sara:
$$20 \times 5$$
Son $100$ cm².
Y el área del rectángulo de su compañero:
$$15 \times 10$$
Son $150$ cm².
Las áreas no son iguales:
$$20 \times 5 \ne 15 \times 10$$
Respuesta: Los dos tienen 50 cm de perímetro, pero uno encierra 100 cm² y el otro 150 cm². Mismo perímetro, distinta área.
Ejemplo resuelto
La tabla de la piola
Con la piola de 50 cm se arman rectángulos de lados naturales. ¿Cuál encierra más área?
Ver la solución paso a paso
El largo y el ancho tienen que sumar 25. Probamos parejas y calculamos cada área, empezando por la más flaca:
$$24 + 1 = 25 \quad\text{y}\quad 24 \times 1 = 24$$
Seguimos con rectángulos menos alargados. El de 20 por 5:
$$20 + 5 = 25 \quad\text{y}\quad 20 \times 5 = 100$$
El de 15 por 10:
$$15 + 10 = 25 \quad\text{y}\quad 15 \times 10 = 150$$
Ahora los que más se parecen a un cuadrado. El de 14 por 11:
$$14 + 11 = 25 \quad\text{y}\quad 14 \times 11 = 154$$
Y el de 13 por 12, que es casi un cuadrado:
$$13 + 12 = 25 \quad\text{y}\quad 13 \times 12 = 156$$
El de 13 por 12 es el que más encierra:
$$156 > 154$$
Respuesta: El rectángulo de 13 cm por 12 cm, con 156 cm², es el de mayor área. Mientras más se parece a un cuadrado, más área encierra; el flaquito de 24 por 1 encierra solo 24 cm².
La piola mide siempre 50 cm. Arrastra la esquina: el perímetro no cambia, pero el área sí. Busca el rectángulo que encierra más cuadritos.
Cuatro rectángulos hechos con la misma piola de 50 cm: 13 por 12, 15 por 10, 20 por 5 y 24 por 1 (en cm). Todos tienen 50 cm de perímetro; adentro está el área de cada uno.
Al revés: la misma área, distinto perímetro
Luisa y sus amigas hacen tarjetas rectangulares para el Día del Idioma. Todas tienen la misma área, pero no la misma forma. Quieren pegarles un hilo dorado por el borde. ¿Gastan el mismo hilo?
Para hallar las tarjetas posibles, buscan parejas de números naturales que multiplicados den el área. Son los divisores del área, de dos en dos. Después calculan el perímetro de cada tarjeta. La tarjeta alargada gasta más hilo; la que se parece a un cuadrado gasta menos.
Ejemplo resuelto
Las tarjetas de Luisa
Luisa hace tarjetas de 120 cm². Una mide 10 cm por 12 cm y otra, 6 cm por 20 cm. ¿Cuánto hilo necesita para el borde de cada una?
Ver la solución paso a paso
Primero comprobamos que las dos tienen la misma área:
$$10 \times 12 = 120 \quad\text{y}\quad 6 \times 20 = 120$$
El borde de la tarjeta de 10 por 12:
$$2 \times \left(10 + 12\right)$$
Necesita $44$ cm de hilo.
El borde de la tarjeta de 6 por 20:
$$2 \times \left(6 + 20\right)$$
Necesita $52$ cm de hilo.
Respuesta: La de 10 por 12 gasta 44 cm de hilo y la de 6 por 20 gasta 52 cm. Misma área, distinto perímetro.
Comparar sin calcular: la superposición
A veces no hace falta medir. Pones una tarjeta encima de la otra, con una esquina sobre la otra. Si la de arriba queda toda adentro y sobra un pedazo de la de abajo, la de arriba tiene menos área. Si no cabe, puedes recortar un pedazo y moverlo para ver si encaja.
Recortar una esquina
Un caso que sorprende: recorta de una esquina de un rectángulo un cuadrado más pequeño que el largo y que el ancho. El área baja, porque quitaste un pedazo. ¿Y el borde? Perdiste dos tramos del borde, pero aparecen dos tramos nuevos del mismo largo, hacia adentro. El perímetro no cambia.
Un rectángulo de 8 cm por 5 cm al que se le recortó un cuadrado de 2 cm de lado en una esquina (punteado). El borde nuevo tiene seis lados.
Ejemplo resuelto
El área baja, el perímetro no
A un rectángulo de 8 cm por 5 cm se le recorta un cuadrado de 2 cm de lado en una esquina, como en la figura. ¿Qué pasa con el área y con el perímetro?
Ver la solución paso a paso
Área del rectángulo entero:
$$8 \times 5$$
Son $40$ cm².
Le quitamos el cuadrado de la esquina:
$$\left(8 \times 5\right) - \left(2 \times 2\right)$$
Ahora quedan $36$ cm². El área bajó.
Perímetro de la figura recortada. Bordeamos los seis lados:
$$8 + 3 + 2 + 2 + 6 + 5$$
Son $26$ cm.
Es lo mismo que medía el borde del rectángulo entero:
$$2 \times \left(8 + 5\right) = 26$$
Respuesta: El área pasó de 40 cm² a 36 cm², pero el perímetro siguió en 26 cm. Cambiar el área no obliga a cambiar el perímetro.
Práctica
Con una piola de 50 cm se arma un rectángulo de 18 cm de largo. ¿Cuántos centímetros mide de ancho?
El largo más el ancho es la mitad de la piola: 50 ÷ 2 = 25. Entonces el ancho es 25 − 18 = 7 cm.
Ese rectángulo de la piola mide 18 cm de largo y 7 cm de ancho. ¿Cuántos cm² encierra?
El área es largo por ancho: 18 × 7 = 126 cm². Con la misma piola, el de 13 por 12 encierra 156 cm²: más área con el mismo borde.
¿Verdadero o falso? Un rectángulo de 9 cm por 3 cm y otro de 7 cm por 5 cm tienen el mismo perímetro.
Es verdad. 9 + 3 = 12 y 7 + 5 = 12, así que los dos perímetros son 2 × 12 = 24 cm.
¿Verdadero o falso? Como tienen el mismo perímetro, el rectángulo de 9 cm por 3 cm y el de 7 cm por 5 cm también tienen la misma área.
Es falso. 9 × 3 = 27 cm² y 7 × 5 = 35 cm². Tener el mismo perímetro no obliga a tener la misma área.
Don Ernesto tiene 36 m de malla para cercar una huerta rectangular de lados naturales; puede ser un cuadrado. ¿Cuál es la mayor área que puede encerrar, en m²?
El largo más el ancho suman 36 ÷ 2 = 18. En la tabla: 10 por 8 da 80, 11 por 7 da 77, y 9 por 9 da 81, que es el mayor. El cuadrado encierra más.
Una tarjeta de 144 cm² mide 16 cm de largo. ¿Cuántos centímetros de hilo necesita para todo su borde?
Primero el ancho: 144 ÷ 16 = 9 cm. Luego el borde: 2 × (16 + 9) = 50 cm.
Otra tarjeta, también de 144 cm², es un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Cuántos centímetros de hilo necesita para su borde?
El cuadrado tiene cuatro lados iguales: 4 × 12 = 48 cm. Tiene la misma área que la tarjeta de 16 por 9, pero gasta menos hilo.
Una tarjeta rectangular de lados naturales tiene 126 cm². ¿Cuál es el menor perímetro que puede tener, en cm?
Las parejas que dan 126 son 1 × 126, 2 × 63, 3 × 42, 6 × 21, 7 × 18 y 9 × 14. La más parecida a un cuadrado es 9 por 14, con perímetro 2 × (9 + 14) = 46 cm. La de 7 por 18 da 50 y la de 6 por 21 da 54.
A un rectángulo de 10 cm por 6 cm se le recorta un cuadrado de 3 cm de lado en una esquina. ¿Cuántos centímetros mide el borde de la figura que queda?
Al recortar la esquina se pierden dos tramos de 3 cm del borde, pero aparecen dos tramos nuevos de 3 cm hacia adentro. El perímetro sigue igual: 2 × (10 + 6) = 32 cm. El área sí baja.
Camilo dice: «Si dos rectángulos tienen el mismo perímetro, tienen la misma área». ¿Qué le responderías?
Basta un contraejemplo para mostrar que una regla no se cumple siempre. Los rectángulos de la piola tienen el mismo borde y áreas distintas. La de que el perímetro siempre es mayor que el área no sirve: el perímetro y el área se miden en unidades distintas y no se comparan.
Ana pone la tarjeta A encima de la tarjeta B, con una esquina sobre la otra. La A queda toda adentro y sobra un pedazo de la B. ¿Qué puede decir Ana?
Si la A cabe toda dentro de la B y aún sobra B, la A cubre menos superficie. La superposición compara áreas sin medir.
Reto
Rectángulos con 24 cm de hilo.
Todos usan el mismo hilo. Calcula el área de cada uno.
Reto
Une cada rectángulo con otro de la misma área.
Cada ficha es largo por ancho, en cm. Busca la pareja que cubre lo mismo aunque tenga otra forma.
Cierre
En resumen
Rectángulos con el mismo perímetro pueden tener áreas distintas; con la misma piola, el más parecido a un cuadrado encierra más.
En un rectángulo, el largo más el ancho es la mitad del perímetro.
Rectángulos con la misma área pueden tener perímetros distintos; el alargado gasta más borde.
Recortar de una esquina un cuadrado más pequeño que los dos lados baja el área y deja igual el perímetro.
Para mostrar que una regla no se cumple siempre basta un contraejemplo.
Vocabulario
- Semiperímetro
La mitad del perímetro. En un rectángulo es el largo más el ancho.
- Superposición
Poner una figura encima de otra para comparar cuál cubre más.
- Contraejemplo
Un caso que muestra que una regla no se cumple siempre.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte: si dos huertas usan la misma malla, ¿tienen la misma tierra? Anote las respuestas para volver a ellas al final.
- Explicación · 15 min — Cada pareja recibe una piola de 50 cm con las puntas unidas con cinta, sin nudo, y arma sobre la mesa rectángulos de 20 por 5, 15 por 10 y 13 por 12 (con regla). Llenen juntos la tabla de la piola. Luego, las tarjetas de Luisa y la esquina recortada.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales y retos en parejas. La piola se trabaja sobre la mesa: no se enrolla con fuerza en los dedos ni se pone en el cuello.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe un contraejemplo para la frase de Camilo y otro para la frase al revés: «misma área, mismo perímetro».
Preguntas para el salón
- Con la piola de 50 cm, ¿por qué el largo y el ancho siempre suman 25?
- ¿Qué forma tiene el rectángulo que más encierra con un borde dado?
- Si recorto una esquina, ¿por qué el borde no cambia aunque la figura sea más pequeña?
Errores típicos
- Creer que el mismo perímetro da la misma área. Pida armar con la misma piola un rectángulo muy flaco y uno casi cuadrado, y cubrirlos con cuadritos de papel para comparar.
- Creer que la misma área da el mismo perímetro. Pida recortar dos tarjetas de 12 cuadritos (3 por 4 y 2 por 6) y bordearlas con una cuerda.
- Usar el perímetro completo como largo más ancho. Pida señalar en la piola un largo y un ancho: es la mitad del recorrido.
- Comparar el número del perímetro con el del área como si fueran la misma medida. Recuerde que uno va en cm y el otro en cm²: son preguntas distintas y no se comparan.
Tarea sugerida
Con 20 palitos de paleta, armar todos los rectángulos posibles que usen todos los palitos, dibujarlos en papel cuadriculado y anotar en una tabla el largo, el ancho y el área de cada uno. Decir cuál encierra más.