El volumen y el cartón de las cajas
Lo que vas a aprender
- Hallar el volumen de una caja contando los cubitos de una capa y multiplicando por el número de capas.
- Hallar el cartón de una caja sumando las áreas de sus seis caras.
- Mostrar con un ejemplo que dos cajas pueden gastar el mismo cartón y guardar volúmenes distintos.
- Explicar qué pasa con el volumen y con las caras de un cubo cuando su arista se duplica.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Doña Gloria hace cajas de cartón para empacar las cocadas que vende en el mercado. Antes de cortar, se pregunta dos cosas. La primera: ¿cuántas cocadas caben en la caja? La segunda: ¿cuánto cartón gasta cada caja?
Parecen la misma pregunta, pero no lo son. Lo que cabe adentro es el volumen. El cartón que cubre la caja por fuera es un área. En esta lección vas a medir las dos cosas y a descubrir que dos cajas pueden gastar el mismo cartón y guardar cosas distintas.
Explicación
El volumen, por capas
Para medir lo que cabe en una caja usamos cubitos de 1 cm³: cubitos de 1 cm de largo, 1 cm de ancho y 1 cm de alto. El volumen es cuántos cubitos llenan la caja.
No hace falta contarlos de uno en uno. Llena primero el fondo con una capa. Esa capa es un rectángulo de cubitos: tiene tantas filas como el ancho y tantos cubitos en cada fila como el largo. Luego mira cuántas capas caben, una encima de otra: eso lo dice el alto. Al final multiplicas:
volumen = cubitos de una capa × número de capas
Error común: sumar las tres medidas. En una caja de 4 cm, 3 cm y 2 cm, sumar 4 + 3 + 2 = 9 da muy pocos cubitos: no llena ni la capa del fondo, que tiene 12. El volumen se multiplica, no se suma.
Una caja de 4 cm de largo, 3 cm de ancho y 2 cm de alto, llena de cubitos de 1 cm³. Cada capa tiene 4 × 3 cubitos y hay 2 capas.
Ejemplo resuelto
La caja de cubitos, por capas
Una caja mide 4 cm de largo, 3 cm de ancho y 2 cm de alto, como en la figura. ¿Cuántos cubitos de 1 cm³ caben?
Ver la solución paso a paso
La capa del fondo tiene 3 filas de 4 cubitos:
$$4 \times 3$$
Cada capa tiene $12$ cubitos.
El alto es 2 cm, así que caben 2 capas. Multiplicamos los cubitos de una capa por las capas:
$$12 \times 2$$
En total caben $24$ cubitos.
Sumar las medidas da otra cosa, que no es el volumen:
$$4 \times 3 \times 2 \ne 4 + 3 + 2$$
Respuesta: Caben 24 cubitos: el volumen es 24 cm³. Sumar 4 + 3 + 2 = 9 está mal: 9 cubitos no llenan ni la capa del fondo, que tiene 12.
Llena la caja de 4 por 3 por 2 capa por capa. Después pon las medidas de las cajas de doña Gloria, 2 por 2 por 4 y 1 por 2 por 6, y compara cuántos cubitos guarda cada una.
El cartón: las seis caras
Ahora piensa en el cartón. Si abres una caja y la aplanas sobre la mesa, ves su molde: seis rectángulos, que son sus caras. Vienen en parejas iguales:
- la tapa y el fondo,
- el frente y la parte de atrás,
- los dos lados.
El cartón de la caja es la suma de las áreas de las seis caras. Es un área, así que va en cm². El volumen cuenta cubitos de adentro y va en cm³. Son dos medidas distintas de la misma caja. Aquí no contamos las pestañas para pegar.
Ejemplo resuelto
El cartón de la misma caja
¿Cuánto cartón se necesita para la caja de 4 cm por 3 cm por 2 cm, sin contar las pestañas?
Ver la solución paso a paso
Sumamos las tres parejas de caras: la tapa y el fondo (4 por 3), el frente y atrás (4 por 2) y los dos lados (3 por 2):
$$\left(2 \times \left(4 \times 3\right)\right) + \left(2 \times \left(4 \times 2\right)\right) + \left(2 \times \left(3 \times 2\right)\right)$$
Calculamos cada pareja:
$$24 + 16 + 12$$
El cartón mide $52$ cm².
Respuesta: Se necesitan 52 cm² de cartón. La misma caja guarda 24 cm³: el cartón y el volumen no son el mismo número ni la misma unidad.
¿Mismo cartón, mismo volumen?
Doña Gloria tiene dos moldes que gastan el mismo cartón. ¿Le caben las mismas cocadas en las dos cajas? Mucha gente diría que sí. Vamos a comprobarlo con una caja de 2 cm por 2 cm por 4 cm y otra de 1 cm por 2 cm por 6 cm.
En la práctica del salón: si desarman cajas de cartón, el docente las abre; los estudiantes usan tijeras de punta redonda y no usan bisturí ni cuchilla.
El molde de la caja de 2 cm por 2 cm por 4 cm. Tiene cuatro caras de 2 cm por 4 cm y dos cuadrados de 2 cm de lado. Las líneas punteadas son los dobleces.
Ejemplo resuelto
Mismo cartón, distinto volumen
Compara la caja de 2 cm por 2 cm por 4 cm con la de 1 cm por 2 cm por 6 cm. ¿Cuánto cartón gasta cada una? ¿Cuántos cubitos guarda cada una?
Ver la solución paso a paso
Cartón de la primera: dos cuadrados de 2 por 2 y cuatro caras de 2 por 4, como en el molde:
$$\left(2 \times \left(2 \times 2\right)\right) + \left(4 \times \left(2 \times 4\right)\right)$$
Son 8 + 32:
$$40$$
Cartón de la segunda: tapa y fondo de 1 por 2, frente y atrás de 1 por 6, y dos lados de 2 por 6:
$$\left(2 \times \left(1 \times 2\right)\right) + \left(2 \times \left(1 \times 6\right)\right) + \left(2 \times \left(2 \times 6\right)\right)$$
Son 4 + 12 + 24:
$$40$$
Las dos gastan 40 cm² de cartón. Ahora el volumen de la primera: una capa de 2 por 2 cubitos y 4 capas.
$$\left(2 \times 2\right) \times 4$$
Guarda $16$ cubitos.
El volumen de la segunda: una capa de 1 por 2 cubitos y 6 capas.
$$\left(1 \times 2\right) \times 6$$
Guarda $12$ cubitos.
Respuesta: Las dos cajas gastan 40 cm² de cartón, pero la primera guarda 16 cm³ y la segunda 12 cm³. El mismo cartón no obliga al mismo volumen.
Duplicar la arista de un cubo
Un cubo es una caja con todas las aristas iguales. ¿Qué pasa si la arista se vuelve el doble? Mucha gente piensa que caben el doble de cubitos. Pero el cubo crece en las tres direcciones: se duplica el largo, se duplica el ancho y se duplica el alto. Por eso el volumen se multiplica por 2 × 2 × 2, que es 8. Y cada cara, que solo tiene largo y ancho, se multiplica por 2 × 2, que es 4.
Ejemplo resuelto
El cubo que creció
Un cubo tiene 2 cm de arista. Otro tiene el doble, 4 cm. ¿Cuántos cubitos guarda cada uno? ¿Cuántas veces más guarda el grande?
Ver la solución paso a paso
El cubo pequeño: una capa de 2 por 2 cubitos y 2 capas. Es el cubo de 2:
$$2 \times 2 \times 2$$
Guarda $8$ cubitos.
El cubo grande: una capa de 4 por 4 y 4 capas. Es el cubo de 4:
$$4 \times 4 \times 4$$
Guarda $64$ cubitos.
Comparamos: el grande guarda 8 veces lo del pequeño, no el doble.
$$4^{3} = 8 \times 2^{3}$$
Una cara del pequeño tiene 2 × 2 cm² y una del grande, 4 × 4 cm². La cara grande es 4 veces la pequeña:
$$4 \times 4 = 4 \times \left(2 \times 2\right)$$
Respuesta: El pequeño guarda 8 cubitos y el grande, 64: ocho veces más. Cada cara se vuelve 4 veces más grande.
Práctica
Una caja mide 5 cm de largo, 4 cm de ancho y 3 cm de alto. ¿Cuántos cubitos de 1 cm³ caben?
La capa del fondo tiene 5 × 4 = 20 cubitos, y caben 3 capas: 20 × 3 = 60 cubitos, o sea 60 cm³.
Una caja mide 6 cm de largo, 2 cm de ancho y 3 cm de alto. ¿Cuántos cm³ mide su volumen?
Cada capa tiene 6 × 2 = 12 cubitos y hay 3 capas: 12 × 3 = 36 cm³. La opción 11 suma las medidas. La 12 es solo una capa. La 72 es el cartón de la caja, en cm², que es otra medida.
En el fondo de una caja caben 18 cubitos en una capa, y la caja se llena con 5 capas. ¿Cuántos cubitos caben en total?
Cubitos de una capa por número de capas: 18 × 5 = 90 cubitos, o 90 cm³.
Una caja guarda 48 cubitos y en cada capa caben 12. ¿Cuántas capas tiene?
La división deshace la multiplicación: 48 ÷ 12 = 4 capas. Se comprueba con 12 × 4 = 48.
¿Cuántos cm² de cartón se necesitan para una caja de 5 cm por 3 cm por 2 cm, sin contar las pestañas?
Tapa y fondo: 2 × 15 = 30. Frente y atrás: 2 × 10 = 20. Los dos lados: 2 × 6 = 12. En total, 30 + 20 + 12 = 62 cm².
Un cubo tiene 3 cm de arista. ¿Cuántos cm² de cartón se necesitan para hacerlo, sin pestañas?
El cubo tiene seis caras iguales, cada una de 3 × 3 = 9 cm². En total, 6 × 9 = 54 cm².
¿Verdadero o falso? Una caja de 1 cm por 3 cm por 6 cm y un cubo de 3 cm de arista gastan el mismo cartón.
Es verdad. La caja gasta 6 + 12 + 36 = 54 cm², y el cubo, 6 × 9 = 54 cm².
¿Verdadero o falso? Como gastan el mismo cartón, la caja de 1 cm por 3 cm por 6 cm y el cubo de 3 cm de arista guardan los mismos cubitos.
Es falso. La caja guarda 3 × 6 = 18 cubitos y el cubo guarda 3 × 3 × 3 = 27. Mismo cartón, distinto volumen.
La arista de un cubo pasa de 3 cm a 6 cm. ¿Cuántas veces más cubitos caben en el cubo nuevo?
El cubo de 3 cm guarda 27 cubitos y el de 6 cm guarda 216. Como 216 ÷ 27 = 8, caben 8 veces más: el largo, el ancho y el alto se duplican, y 2 × 2 × 2 = 8.
Quieres saber cuánto cartón se necesita para forrar una caja de zapatos. ¿Qué tienes que calcular?
El forro cubre la caja por fuera: es la superficie de las seis caras, en cm². Los cubitos de adentro son el volumen, que es otra pregunta.
Rosa tiene dos cajas que gastan el mismo cartón. Dice: «Entonces en las dos caben los mismos cubitos». ¿Tiene razón?
Un contraejemplo basta: las dos cajas del ejemplo gastan 40 cm² cada una y guardan volúmenes distintos. El cartón y el volumen son medidas distintas.
Reto
La cajita de 5 por 2 por 1.
Elige en cada espacio el número correcto. Fíjate si te piden cartón (cm²) o cubitos (cm³).
Reto
Abre el candado de las cajas.
Cada pregunta da un dígito. El volumen se multiplica; el cartón suma las caras.
Reto
Las palabras de las cajas.
Lee la pista y escribe la palabra.
Cierre
En resumen
El volumen de una caja es cuántos cubitos de 1 cm³ caben. Se cuentan los cubitos de una capa y se multiplican por el número de capas.
Las tres medidas de la caja se multiplican, no se suman.
El cartón de una caja es la suma de las áreas de sus seis caras, que vienen en tres parejas iguales; va en cm².
Dos cajas pueden gastar el mismo cartón y guardar volúmenes distintos.
Si la arista de un cubo se duplica, el volumen se multiplica por 8 y cada cara por 4.
Vocabulario
- Volumen
El espacio que ocupa un cuerpo o lo que cabe dentro de él. Se cuenta en cubitos de 1 cm³.
- Capa
Un piso de cubitos que cubre todo el fondo de la caja.
- Cara
Cada uno de los lados planos de una caja. Una caja tiene seis.
- Arista
La línea donde se juntan dos caras.
- Molde
La caja abierta y aplanada: muestra las seis caras sobre la mesa. También se llama plantilla.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre dos cajas pequeñas y pregunte cuál guarda más y cuál gasta más cartón. Anote las apuestas.
- Explicación · 15 min — Llene una caja con cubitos del material de base 10 por capas. Luego el docente abre una caja vacía con cuidado y la aplana para mostrar el molde. Las dos cajas de 40 cm² y el cubo que duplica su arista.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales y retos en parejas. Si arman cajas con papel cuadriculado, usan tijeras de punta redonda; el docente es el único que usa cuchilla para abrir cajas.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante explica en una tarjeta por qué el mismo cartón no obliga al mismo volumen, con las cajas de 2 por 2 por 4 y 1 por 2 por 6.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué el volumen se multiplica y no se suma?
- ¿Por qué el cartón va en cm² y el volumen en cm³?
- Si duplico la arista de un cubo, ¿por qué el volumen no se duplica?
Errores típicos
- Sumar el largo, el ancho y el alto para hallar el volumen. Pida armar la caja con cubitos: 4 + 3 + 2 = 9 cubitos no llenan ni la capa del fondo, que lleva 4 × 3 = 12.
- Confundir el volumen con el cartón que cubre la caja. Pregunte siempre: ¿cuento cubitos de adentro (cm³) o cuadritos de afuera (cm²)? Use el molde aplanado para el cartón.
- Contar solo tres caras para el cartón, o una de cada pareja. Pida marcar en el molde las seis caras y colorear con el mismo color las dos de cada pareja.
- Creer que duplicar la arista duplica el volumen. Pida armar con cubitos el cubo de arista 2 y el de arista 4, o contar cuántos cubos de arista 2 caben en el grande.
Tarea sugerida
Buscar en casa una caja pequeña vacía, con permiso de un adulto. Medir su largo, ancho y alto en centímetros enteros (redondeando), estimar cuántos cubitos de 1 cm³ cabrían por capas y calcular el cartón de sus seis caras. Abrirla y aplanarla con ayuda del adulto para ver el molde.