Cuerpos y sus desarrollos planos
Lo que vas a aprender
- Contar las caras, las aristas y los vértices de prismas y pirámides sin contar nada dos veces.
- Relacionar cada cuerpo con su desarrollo plano por las figuras que forman sus caras.
- Decidir si una figura de seis cuadrados arma un cubo y qué caras quedan opuestas.
- Calcular el área de una plantilla dibujada en la cuadrícula.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la tienda de don Julio llegan cajas de galletas, tarros de leche en polvo y paquetes de papas en forma de pirámide. Antes de ser cajas, todos esos empaques fueron un cartón plano. Alguien dibujó el cartón, lo recortó y lo dobló.
Si sabes mirar un cuerpo y ver cómo es su cartón extendido, puedes armar tus propias cajas para la feria del colegio. Y también puedes saber, sin recortar nada, si un dibujo de cartón va a cerrar bien o va a quedar con un hueco.
Explicación
Lo que ya sabes
En cuarto viste que un cuerpo tiene caras, aristas y vértices. Las caras son las partes planas o curvas que lo forran. Las aristas son las líneas donde se juntan dos caras. Los vértices son las puntas donde se juntan varias aristas. También viste que hay varios dibujos planos que arman el mismo cuerpo. Aquí vas a usar esas ideas para contar sin equivocarte y para explicar por qué un desarrollo sirve o no.
Plano y con volumen
Un cuadrado dibujado en el cuaderno es una figura plana: tiene largo y ancho, nada más. Un dado es un cuerpo: tiene largo, ancho y alto. Cada cara del dado es un cuadrado. Así se relacionan las dos cosas: las caras de un cuerpo son figuras planas. Si desarmas el cuerpo y lo extiendes, ves todas esas figuras juntas. Eso es su desarrollo plano.
Contar sin contar dos veces
Cuando miras una caja sobre la mesa, ves tres caras. Las otras tres quedan escondidas. Si cuentas las que ves y después le das la vuelta y cuentas otra vez, vas a repetir algunas. Por eso no conviene contar «a ojo». Conviene contar en orden:
- En un prisma hay dos bases iguales, una arriba y otra abajo. Cuenta los vértices de la base de arriba y súmales los de abajo. Para las aristas, cuenta las de arriba, las de abajo y las que suben de una base a la otra.
- En una pirámide hay una sola base y una punta. Cuenta los vértices de la base y súmale la punta. Para las aristas, cuenta las de la base y las que suben a la punta.
Otro error muy común es contar los lados de todas las caras y creer que esas son las aristas. Cada arista es el borde de dos caras a la vez. Si cuentas cara por cara, cada arista te sale dos veces.
Ejemplo resuelto
Las aristas del cubo, cara por cara
Sara cuenta los lados de las 6 caras del cubo. Cada cara es un cuadrado de 4 lados. ¿Cuántas aristas tiene el cubo?
Ver la solución paso a paso
Sara multiplica: 6 caras con 4 lados cada una.
$$6 \times 4$$
Le dan $24$ lados.
Pero cada arista es el borde de dos caras: Sara la contó dos veces. Hay que dividir entre 2.
$$24 \div 2$$
Quedan las aristas de verdad.
$$12$$
Con los vértices pasa algo parecido. Cada cuadrado tiene 4 esquinas, pero en cada vértice del cubo se juntan 3 caras: cada vértice salió tres veces.
$$\left(6 \times 4\right) \div 3$$
Quedan los vértices de verdad.
$$8$$
Respuesta: El cubo tiene 12 aristas y 8 vértices. Si te da 24, contaste cada arista dos veces.
Ejemplo resuelto
Un prisma de seis lados
Una caja de chocolatinas tiene forma de prisma hexagonal: sus dos bases son hexágonos, de 6 lados. ¿Cuántos vértices, aristas y caras tiene?
Ver la solución paso a paso
Vértices: los 6 de la base de arriba y los 6 de la base de abajo.
$$6 + 6$$
Tiene $12$ vértices.
Aristas: las 6 de arriba, las 6 de abajo y las 6 que suben de una base a la otra.
$$6 + 6 + 6$$
Tiene $18$ aristas.
Caras: un rectángulo por cada lado del hexágono, y además las 2 bases.
$$6 + 2$$
Tiene $8$ caras.
Respuesta: 12 vértices, 18 aristas y 8 caras. Olvidar las dos bases es el error más común: daría 6 caras.
Es la caja de chocolatinas. Gírala y cuenta sus caras, aristas y vértices; toca «Desplegar» para ver su plantilla. Después cambia al cono y al cilindro y mira de qué figuras están hechos.
Cada cuerpo con su desarrollo
Para saber qué desarrollo corresponde a un cuerpo, pregúntate qué figuras forman sus caras y cuántas hay de cada una:
- El prisma triangular tiene 2 triángulos iguales (las bases) y 3 rectángulos.
- El cubo y la caja de zapatos también son prismas: sus bases son cuadrados o rectángulos. El cubo tiene 6 cuadrados iguales.
- La pirámide de base cuadrada tiene 1 cuadrado y 4 triángulos que se juntan en la punta.
- El cilindro, como un tarro de leche, tiene 2 círculos y una cara curva. Si cortas la etiqueta del tarro y la extiendes, queda un rectángulo.
- El cono, como un gorro de cumpleaños, tiene 1 círculo y una cara curva que, extendida, parece una tajada de pizza con el borde redondo.
Desarrollos del prisma triangular (3 rectángulos y 2 triángulos), de la pirámide de base cuadrada (1 cuadrado y 4 triángulos), del cilindro (1 rectángulo y 2 círculos) y del cono (una tajada redonda y 1 círculo).
Relaciones dentro de una figura y entre figuras
Mira el desarrollo del prisma triangular. Entre figuras: los dos triángulos tienen igual forma y igual tamaño, y los tres rectángulos también. Dentro de una figura: cada rectángulo tiene dos parejas de lados paralelos (no se cruzan nunca, como los rieles del tren) y sus lados vecinos son perpendiculares (se cortan formando una esquina recta, como el borde de una hoja). En el cuerpo armado pasa lo mismo con las caras: en una caja, el piso y el techo son caras opuestas y paralelas.
No todo lo que tiene 6 cuadrados arma un cubo
Muchos niños creen que cualquier figura de 6 cuadrados pegados se dobla en un cubo. No es así. Hay figuras que, al doblarlas, ponen dos cuadrados en el mismo sitio y dejan un hueco sin tapar. Para comprobarlo, escoge un cuadrado como piso y dobla los demás hacia arriba en tu cabeza. O mejor: dibuja la figura en papel cuadriculado, recórtala con tijeras de punta roma y dóblala.
Tres pistas te ayudan:
- Si ves un bloque de 2 por 2 cuadrados, no cierra: en el centro del bloque se juntan 4 cuadrados en una punta, y en cada esquina del cubo solo se juntan 3 caras.
- Si ves 5 cuadrados en fila, no cierra: el quinto cae encima del primero.
- Si hay 4 en fila, esos cuatro forman las paredes. Los otros dos son la tapa y el piso: tienen que ir uno a cada lado de la fila, no los dos del mismo lado.
Y una regla para las caras opuestas: en tres cuadrados seguidos en línea recta, el primero y el tercero quedan opuestos al armar. Así funciona el dado: sus caras opuestas siempre suman 7.
Cuatro figuras de 6 cuadrados. Úsalas en las preguntas: A es la cruz alargada, B tiene 4 en fila con dos cuadrados del mismo lado, C es una escalera y D es un rectángulo de 2 por 3.
Ejemplo resuelto
El número que falta en el dado
En la plantilla en cruz de un dado se ven los números 2, 1 y 5 en la columna, el 3 y el 4 a los lados del 1, y el último cuadrado, debajo del 5, está en blanco. ¿Qué número va ahí?
Ver la solución paso a paso
En la columna, el cuadrado en blanco queda dos lugares después del 1: es el tercero de una fila de tres. Al armar, queda opuesto al 1.
Las caras opuestas de un dado suman 7. Lo que le falta al 1 para llegar a 7:
$$7 - 1$$
Va el $6$.
Lo comprobamos de otra forma. Las seis caras juntas, del 1 al 6, suman:
$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6$$
Suman $21$.
Si quitamos los cinco números que ya están, queda el que falta:
$$21 - \left(2 + 1 + 5 + 3 + 4\right)$$
Las dos cuentas coinciden.
$$6$$
Respuesta: En el cuadrado en blanco va el 6, opuesto al 1. El 3 y el 4 también quedan opuestos: 3 + 4 = 7.
Ejemplo resuelto
El cartón de una caja en la cuadrícula
Lucas dibuja en la cuadrícula la plantilla de una caja de 3 cuadritos de largo, 2 de ancho y 1 de alto. ¿Cuántos cuadritos de cartón ocupa la plantilla?
Ver la solución paso a paso
La caja tiene tres parejas de caras opuestas, y las dos caras de cada pareja son iguales. El piso y el techo miden 3 por 2:
$$2 \times \left(3 \times 2\right)$$
El frente y la parte de atrás miden 3 por 1:
$$2 \times \left(3 \times 1\right)$$
Los dos lados miden 2 por 1:
$$2 \times \left(2 \times 1\right)$$
Juntamos las seis caras:
$$12 + 6 + 4$$
Total de cuadritos:
$$22$$
Respuesta: La plantilla ocupa 22 cuadritos, la suma de las áreas de sus seis caras. No importa cómo esté acomodada: cualquier plantilla de esa caja ocupa lo mismo.
Práctica
Una pirámide tiene de base un pentágono, de 5 lados. ¿Cuántas aristas tiene?
Hay 5 aristas en la base y 5 que suben de cada vértice de la base a la punta: 5 + 5 = 10.
¿Cuántos vértices tiene un prisma triangular? Sus dos bases son triángulos.
Tiene 3 vértices en el triángulo de arriba y 3 en el de abajo: 3 + 3 = 6. El 9 son sus aristas, no sus vértices.
Un prisma tiene de base un octágono, de 8 lados. ¿Cuántas caras tiene?
Hay un rectángulo por cada lado del octágono, 8, y además las 2 bases: 8 + 2 = 10. Si respondiste 8, olvidaste las bases.
Pablo cuenta los lados de las caras de una pirámide de base cuadrada: el cuadrado tiene 4 lados y cada uno de los 4 triángulos tiene 3. ¿Cuántas aristas tiene en realidad la pirámide?
Pablo cuenta 4 + (4 × 3) = 16 lados, pero cada arista es borde de dos caras. Las aristas son 16 ÷ 2 = 8: las 4 de la base y las 4 que suben a la punta.
Mira las figuras A, B, C y D de seis cuadrados. ¿Cuáles se doblan en un cubo? Marca todas las que sí.
Marca todas las que apliquen.
A y C cierran. En B, los dos cuadrados de encima quedan del mismo lado de la fila y caen en el mismo hueco: falta el piso. D tiene un bloque de 2 por 2, y esos cuatro cuadrados no pueden ser caras distintas del cubo.
En la figura A, la cruz alargada, ¿qué cuadrado queda opuesto al de arriba de la columna cuando se arma el cubo?
En tres cuadrados seguidos en línea recta, el primero y el tercero quedan opuestos. El segundo queda pegado a los dos, y el último queda opuesto al segundo.
En un dado armado, la cara de arriba tiene 2 puntos. ¿Cuántos puntos tiene la cara de abajo, la opuesta? Las caras opuestas de un dado suman 7.
Lo que le falta al 2 para llegar a 7 es 5. Por eso en la plantilla del dado el 2 y el 5 están separados por un cuadrado.
Un cubo tiene 3 cuadritos de lado. ¿Cuántos cuadritos de la cuadrícula ocupa su plantilla? Tiene 6 caras.
Cada cara es un cuadrado de 3 por 3, es decir, 9 cuadritos. Son 6 caras: 6 × 9 = 54 cuadritos.
Una caja mide 4 cuadritos de largo, 2 de ancho y 2 de alto. ¿Cuántos cuadritos ocupa su plantilla?
Piso y techo: 2 × 8 = 16. Frente y atrás: 2 × 8 = 16. Los dos lados: 2 × 4 = 8. En total, 16 + 16 + 8 = 40 cuadritos.
Doña Inés quiere forrar con papel un tarro de leche en polvo, que tiene forma de cilindro. ¿Qué figuras planas necesita recortar?
La tapa y el fondo del tarro son dos círculos iguales. La cara curva, cortada de arriba abajo y extendida, es un rectángulo. La tajada redonda con un círculo es el desarrollo del cono.
Reto
¿De qué cuerpo es cada desarrollo?
Fíjate en qué figuras forman las caras y cuántas hay de cada una.
Reto
Abre el candado de los cuerpos.
Cuenta en orden: base de arriba, base de abajo y lo que las une.
Cierre
En resumen
Las caras de un cuerpo son figuras planas; el desarrollo plano las muestra todas juntas, pegadas por algún borde.
Para contar sin repetir: en un prisma, base de arriba, base de abajo y lo que las une; en una pirámide, la base y la punta.
Cada arista es el borde de dos caras: si cuentas los lados cara por cara, cada arista sale dos veces.
No toda figura de 6 cuadrados arma un cubo: un bloque de 2 por 2 o 5 en fila no cierran; en tres seguidos en línea recta, el primero y el tercero quedan opuestos.
El área de una plantilla es la suma de las áreas de las caras del cuerpo.
Vocabulario
- Cuerpo
Una forma que ocupa espacio: tiene largo, ancho y alto. Una caja, un balón y un tarro son cuerpos. Se dice que es tridimensional.
- Figura plana
Una forma que solo tiene largo y ancho, como un cuadrado o un círculo dibujado en el cuaderno. Se dice que es bidimensional.
- Desarrollo plano
El cuerpo abierto y extendido sobre la mesa, con todas sus caras pegadas por algún borde. También se llama plantilla.
- Caras opuestas
Dos caras de un cuerpo que quedan una frente a la otra y no se tocan, como el piso y el techo de una caja.
- Arista
La línea donde se juntan dos caras de un cuerpo.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre una caja de cartón vacía y pregunte cuántas caras tiene. Anote las respuestas distintas y pregunte por qué no coinciden.
- Explicación · 15 min — Contar en orden con el prisma hexagonal en el tablero; desarmar la caja por sus aristas para ver su desarrollo; las tres pistas del cubo con las figuras A a D.
- Práctica · 20 min — En parejas, recortan en papel cuadriculado las figuras A a D con tijeras de punta roma y comprueban cuáles cierran; luego, preguntas y retos.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante dibuja una figura de 6 cuadrados que no sea la cruz y su compañero dice, sin recortar, si cierra.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué al contar los lados de todas las caras del cubo te salen 24 y no 12?
- ¿Qué cuadrado queda opuesto a cuál en la escalera C? ¿Cómo lo sabes sin recortarla?
- ¿En qué se parecen el desarrollo del cilindro y el del prisma? ¿En qué se diferencian?
Errores típicos
- Creer que cualquier figura de 6 cuadrados en cruz o pegados arma un cubo. Pida recortar y doblar las figuras B y D y que expliquen dónde queda el hueco; luego, que busquen bloques de 2 por 2 o 5 en fila antes de doblar.
- Contar a ojo las caras, aristas o vértices y repetir las que se ven al darle la vuelta al cuerpo. Pida contar siempre en orden: base de arriba, base de abajo y lo que las une; y marcar con plastilina cada vértice ya contado.
- Sumar los lados de todas las caras y dar ese número como el de aristas. Con una caja en la mano, pase el dedo por una arista y pregunte de qué dos caras es borde.
- Olvidar las bases al contar las caras de un prisma. Pida colorear las bases de otro color en el desarrollo antes de contar.
Tarea sugerida
Buscar en la casa dos empaques con forma de prisma o pirámide, contar sus caras, aristas y vértices en orden y, con ayuda de un adulto, desarmar uno por sus pegues para dibujar su desarrollo en el cuaderno.