Moldes en un pliego de cartón
Lo que vas a aprender
- Leer en la plantilla de un empaque las medidas del rectángulo que ocupa.
- Calcular cuántos moldes caben en un pliego por filas y columnas, con los moldes derechos o girados.
- Comparar distribuciones y elegir la que aprovecha mejor el cartón.
- Calcular el área usada y el área que sobra.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
La fábrica de galletas La Ceiba (una empresa inventada) empaca sus galletas en cajas de cartón. El cartón llega en pliegos de 100 cm por 70 cm, y cada pliego cuesta plata. Si la fábrica acomoda mal los moldes, bota mucho cartón. Si los acomoda bien, saca más cajas del mismo pliego.
En esta lección vas a ser el diseñador de la fábrica. Vas a leer la plantilla de la caja, vas a probar distintas maneras de acomodar los moldes y vas a calcular cuánto cartón se usa y cuánto sobra.
Explicación
Leer la plantilla
En la lección anterior viste que una caja se arma con una plantilla: seis rectángulos pegados por sus bordes. Para recortarla fácil, la fábrica corta primero un rectángulo que encierra toda la plantilla. Ese rectángulo es el molde. Después le quita los pedazos de las esquinas que no se usan.
Las medidas del molde se leen sumando los lados de la plantilla que quedan en fila. A lo ancho, se suman los anchos de las caras que están una al lado de la otra. A lo alto, se suman las alturas de las caras que están una encima de la otra.
Las cajas de verdad tienen además unas pestañas pequeñas para pegarlas. Aquí no las contamos, para que las cuentas sean más claras.
Plantilla de la caja de galletas La Ceiba: cuatro paredes en fila y dos tapas de 10 cm por 5 cm. La línea punteada cierra el molde, un rectángulo de 30 cm por 20 cm.
Ejemplo resuelto
Las medidas del molde
La caja de galletas mide 10 cm de largo, 5 cm de ancho y 10 cm de alto. Su plantilla es la de la figura. ¿Cuánto mide el molde y cuánto cartón de la plantilla se usa de verdad?
Ver la solución paso a paso
A lo ancho están las cuatro paredes en fila: 10, 5, 10 y 5 cm.
$$10 + 5 + 10 + 5$$
El molde tiene $30$ cm de ancho.
A lo alto están una tapa, una pared y la otra tapa.
$$5 + 10 + 5$$
El molde tiene $20$ cm de alto.
Su área es la del rectángulo:
$$30 \times 20$$
El molde ocupa $600$ cm² del pliego.
La plantilla sola es la suma de sus seis caras: las dos paredes de 10 por 10, las dos de 5 por 10 y las dos tapas de 10 por 5.
$$\left(2 \times \left(10 \times 10\right)\right) + \left(2 \times \left(5 \times 10\right)\right) + \left(2 \times \left(10 \times 5\right)\right)$$
La plantilla usa $400$ cm².
Respuesta: El molde mide 30 cm por 20 cm, es decir, 600 cm². La plantilla usa 400 cm²; los otros 200 cm² son las esquinas que se recortan y se botan.
Acomodar los moldes por filas y columnas
Ahora hay que meter moldes de 30 por 20 en un pliego de 100 por 70. La idea es la de las baldosas: se cuenta cuántos caben a lo largo y cuántas filas caben a lo alto, y se multiplica.
Para saber cuántos caben a lo largo se divide, y lo que importa es el cociente. El residuo es un pedazo que sobra, donde ya no cabe un molde entero. Nunca se redondea hacia arriba: medio molde no sirve para armar una caja.
Pero un molde se puede girar: darle un cuarto de vuelta para que el lado de 20 cm quede a lo largo del pliego. Girarlo no cambia su forma ni su tamaño, pero sí cambia cuántos caben.
Ejemplo resuelto
Todos los moldes derechos
Se acomodan los moldes de 30 cm por 20 cm sin girar: el lado de 30 cm a lo largo del pliego, que mide 100 cm, y el de 20 cm a lo alto, que mide 70 cm. ¿Cuántos caben y cuánto cartón sobra?
Ver la solución paso a paso
A lo largo: 100 entre 30 da 3 y sobran 10 cm. Lo comprobamos:
$$\left(3 \times 30\right) + 10 = 100$$
A lo alto: 70 entre 20 da 3 y sobran 10 cm.
$$\left(3 \times 20\right) + 10 = 70$$
Son 3 filas de 3 moldes:
$$3 \times 3$$
Caben $9$ moldes.
Ahora el cartón. El pliego entero tiene:
$$100 \times 70$$
Son $7000$ cm².
Le quitamos lo que ocupan los 9 moldes de 600 cm²:
$$7000 - \left(9 \times 600\right)$$
Sobran:
$$1600$$
Respuesta: Caben 9 moldes y sobran 1600 cm² de cartón: una franja a la derecha y otra arriba.
Los 9 moldes derechos en el pliego de 100 cm por 70 cm: 3 filas de 3. Sobra una franja de 10 cm a la derecha y otra de 10 cm arriba.
Ejemplo resuelto
Todos los moldes girados
Ahora se giran todos los moldes: el lado de 20 cm va a lo largo del pliego, que mide 100 cm, y el de 30 cm a lo alto, que mide 70 cm. ¿Cuántos caben y cuánto sobra?
Ver la solución paso a paso
A lo largo: 100 entre 20 da 5 exacto. No sobra nada.
$$5 \times 20 = 100$$
A lo alto: 70 entre 30 da 2 y sobran 10 cm.
$$\left(2 \times 30\right) + 10 = 70$$
Son 2 filas de 5 moldes:
$$5 \times 2$$
Caben $10$ moldes, uno más que antes.
El cartón que sobra:
$$\left(100 \times 70\right) - \left(10 \times 600\right)$$
Sobran:
$$1000$$
Respuesta: Girados caben 10 moldes y sobran 1000 cm². Girar los moldes ganó uno sin gastar más cartón.
Mezclar moldes derechos y girados
¿Se puede hacer todavía mejor? Mira el pliego por partes. Si en la parte de abajo pones moldes derechos y en la de arriba moldes girados, a veces aprovechas los pedazos que antes sobraban. No hay una sola respuesta: hay que probar distribuciones y comparar.
Hay una cuenta que ayuda a saber cuándo parar. Si divides el área del pliego entre el área de un molde, sabes cuántos moldes caben como mucho. Esa cuenta no dice que de verdad quepan tantos: a veces los pedazos que sobran no tienen la forma de un molde. Solo dice que más no pueden caber.
Ejemplo resuelto
Una distribución mezclada
Se parte el pliego de 100 cm por 70 cm en dos franjas: una de 40 cm de alto, abajo, y otra de 30 cm, arriba. Abajo van moldes de 30 cm por 20 cm derechos y arriba van girados. ¿Cuántos caben? ¿Se puede llegar a 12?
Ver la solución paso a paso
Las dos franjas juntas forman el pliego completo.
$$40 + 30 = 70$$
Franja de abajo: a lo largo caben 3 moldes de 30 cm, y a lo alto caben 2 filas de 20 cm.
$$3 \times 2$$
Abajo van $6$ moldes.
Franja de arriba: los moldes girados tienen 20 cm a lo largo y 30 cm de alto. Caben 5 en una fila, que llena justo los 30 cm.
$$100 \div 20$$
Arriba van $5$ moldes.
En total:
$$6 + 5$$
Caben $11$ moldes. ¿Y 12? Doce moldes necesitarían más cartón del que tiene el pliego:
12 moldes de 600 cm² piden 7200 cm², y el pliego solo tiene 7000.
$$12 \times 600 > 100 \times 70$$
Lo que sobra con la mezcla:
$$\left(100 \times 70\right) - \left(11 \times 600\right)$$
Sobran:
$$400$$
Respuesta: Caben 11 moldes y sobran solo 400 cm², un pedazo de 10 cm por 40 cm. Es lo máximo: 12 ya no caben.
La distribución mezclada: abajo, 6 moldes derechos de 30 cm por 20 cm; arriba, 5 moldes girados de 20 cm por 30 cm. Solo sobra un pedazo de 10 cm por 40 cm a la derecha.
Práctica
¿Cuántos centímetros cuadrados de cartón tiene un pliego de 100 cm por 70 cm?
El pliego es un rectángulo: 100 × 70 = 7000 cm².
La fábrica de bocadillos El Trapiche (inventada) usa moldes de 25 cm por 20 cm. Si se ponen sin girar, con el lado de 25 cm a lo largo del pliego de 100 cm y el de 20 cm a lo alto del pliego de 70 cm, ¿cuántos moldes caben?
A lo largo caben 100 ÷ 25 = 4 moldes. A lo alto caben 3 filas de 20 cm, y sobran 10 cm. Son 4 × 3 = 12 moldes.
Con los mismos moldes de 25 cm por 20 cm, ahora girados: el lado de 20 cm a lo largo del pliego de 100 cm y el de 25 cm a lo alto del pliego de 70 cm. ¿Cuántos caben?
A lo largo caben 5. A lo alto, 70 entre 25 da 2 y sobran 20 cm. Son 5 × 2 = 10 moldes. Esta vez girar todos los moldes es peor que dejarlos derechos.
Con los moldes de 25 cm por 20 cm se parte el pliego de 100 cm por 70 cm en una franja de 20 cm de alto y otra de 50 cm. En la de 20 cm van moldes derechos, con 25 cm a lo largo. En la de 50 cm van girados, con 20 cm a lo largo y 25 cm de alto. ¿Cuántos moldes caben en total?
En la franja de 20 cm cabe una fila de 4 moldes derechos. En la de 50 cm caben 2 filas de 5 moldes girados: 10. En total, 4 + 10 = 14, dos más que la mejor distribución sin mezclar.
En la distribución anterior caben 14 moldes de 25 cm por 20 cm en el pliego de 7000 cm². ¿Cuántos centímetros cuadrados de cartón sobran?
Cada molde ocupa 25 × 20 = 500 cm². Los 14 ocupan 7000 cm², justo lo que tiene el pliego. No sobra nada.
La plantilla en cruz de un cubo de 10 cm de lado cabe en un molde de 30 cm por 40 cm. ¿Cuántos de esos moldes caben como máximo en el pliego de 100 cm por 70 cm? Prueba con todos derechos, con todos girados y mezclándolos.
Todos derechos, con 30 cm a lo largo, caben 3 en una fila de 40 cm de alto, y otra fila ya no cabe: 3 moldes. Todos girados, con 40 cm a lo largo, caben 2 por fila y 2 filas de 30 cm: 4 moldes. Mezclados, como en la distribución de 11: una franja de 40 cm de alto con 3 moldes derechos (90 cm) y otra de 30 cm con 2 girados (80 cm). Como 40 + 30 = 70, caben 3 + 2 = 5. Seis ya no caben: piden 6 × 1200 = 7200 cm², y el pliego tiene 7000.
La plantilla del cubo de 10 cm de lado tiene 6 caras cuadradas, y su molde mide 30 cm por 40 cm. ¿Cuántos centímetros cuadrados de cada molde se botan al recortar la plantilla?
El molde tiene 30 × 40 = 1200 cm² y la plantilla, 6 × 100 = 600 cm². Se bota la mitad: 1200 − 600 = 600 cm².
¿Verdadero o falso? Doce moldes de 30 cm por 20 cm caben en el cartón de un pliego de 100 cm por 70 cm: $12 \times \left(30 \times 20\right) \le 100 \times 70$
Falso. Doce moldes ocupan 12 × 600 = 7200 cm², y el pliego solo tiene 7000 cm². Por eso 11 es lo máximo.
Juliana dice: «Divido 7000 entre 600 y me da 11 y sobra algo. Entonces seguro caben 11 moldes de 30 cm por 20 cm, sin necesidad de acomodarlos». ¿Qué le responderías?
La división del área es un tope. Los pedazos que sobran pueden no tener la forma de un molde. Con este molde sí se llega a 11, pero solo con la distribución mezclada; con todos derechos caben 9.
Mateo acomodó los moldes de 30 cm por 20 cm todos derechos y le cupieron 9. Sofía los acomodó todos girados y le cupieron 10. ¿Cuál es la mejor explicación de por qué Sofía sacó uno más?
Girar no cambia el tamaño del molde ni del pliego. Lo que cambia es cómo encajan las medidas: 5 × 20 = 100 llena el largo sin sobrante, mientras que con 30 cm sobran 10 cm.
Reto
Acomoda los moldes de El Trapiche.
Divide para saber cuántos caben y fíjate en lo que sobra.
Reto
Abre el candado del pliego.
Solo cuentan los moldes enteros: el residuo es cartón que sobra.
Cierre
En resumen
El molde es el rectángulo que encierra la plantilla; sus medidas se leen sumando los lados que quedan en fila.
Cuántos moldes caben a lo largo y a lo alto se sabe dividiendo: cuenta el cociente, y el residuo es cartón que sobra.
Girar un molde no cambia su tamaño, pero puede cambiar cuántos caben; mezclar moldes derechos y girados a veces aprovecha mejor el pliego.
El área del pliego entre el área del molde dice cuántos caben como mucho, no cuántos caben de verdad.
El cartón que sobra es el área del pliego menos el área de todos los moldes.
Vocabulario
- Pliego
Una hoja grande de cartón o de papel, del tamaño en que la vende la fábrica. Aquí mide 100 cm por 70 cm.
- Molde
El pedazo de cartón que se recorta para armar un empaque. Lleva dibujada la plantilla.
- Distribución
La manera de acomodar los moldes en el pliego: cuántos van en cada fila, cuántas filas hay y cuáles van girados.
- Girar un molde
Darle un cuarto de vuelta, para que su lado largo quede donde estaba el corto.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre una caja de cartón desarmada y pregunte qué forma tiene el pedazo de cartón del que salió.
- Explicación · 15 min — Leer la plantilla de la figura y sumar los lados en fila; las distribuciones de 9, 10 y 11 moldes en el tablero, con el cartón que sobra en cada una.
- Práctica · 20 min — En grupos, con un pliego de papel periódico de 100 cm por 70 cm y rectángulos de papel recortados por el docente a escala real o a escala 1 a 10, buscan la mejor distribución para los moldes de 25 cm por 20 cm. Las tijeras, de punta roma.
- Cierre · 5 min — Cada grupo explica su distribución y por qué no puede caber un molde más.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué no se redondea hacia arriba cuando 70 entre 30 da 2 y sobra algo?
- Si la división del área da 11, ¿por qué no basta con eso para saber que caben 11 moldes?
- ¿Qué ventaja tiene un molde cuyo lado cabe justo varias veces en el largo del pliego?
Errores típicos
- Redondear hacia arriba el cociente y contar un molde que no cabe entero. Pida dibujar la fila en la cuadrícula: el pedazo que sobra se ve más pequeño que un molde.
- Dividir el área del pliego entre el área del molde y dar ese número como respuesta. Muestre un molde cuadrado de 40 cm de lado: 7000 ÷ 1600 da 4 y algo, pero solo caben 2, porque en los 70 cm de alto cabe una sola fila de 40 cm. El molde del cubo, en cambio, sí llega a su tope de 5 mezclando moldes derechos y girados.
- Creer que girar un molde cambia su área. Pida recortar un rectángulo de papel, medirlo, girarlo y medirlo otra vez.
- Confundir el área de la plantilla con el área del molde. Pida colorear la plantilla dentro del molde y sombrear de otro color las esquinas que se botan.
Tarea sugerida
Diseñar el molde de una caja para guardar colores con medidas inventadas, calcular el rectángulo que la encierra y buscar cuántos moldes caben en un pliego de 100 cm por 70 cm en dos distribuciones distintas.