Planos y escalas
Lo que vas a aprender
- Hallar las medidas reales de un salón, una casa o una cancha desde su plano y su escala.
- Calcular las medidas del plano a partir de las medidas reales.
- Calcular perímetros y áreas reales, descomponiendo el plano en rectángulos cuando haga falta.
- Explicar por qué el área real no se halla multiplicando el área del plano por el número de la escala.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Antes de construir una casa, el maestro de obra mira el plano. Ahí está la casa dibujada desde arriba, pequeñita, en una hoja. Con el plano sabe cuántos metros de muro levantar y cuántas baldosas comprar para el piso.
El colegio también tiene un plano: dice dónde están los salones, la cancha y la cafetería. En esta lección vas a aprender a leer un plano para saber cuánto mide de verdad cada lugar, y a dibujar el plano de un lugar que conoces.
Explicación
La escala: el secreto del plano
Una cancha no cabe en una hoja. Por eso el plano la dibuja más pequeña. Pero no de cualquier manera: todas las medidas se achican igual. La escala dice cuánto se achicó.
En esta lección usamos sobre todo esta escala: 1 cm del plano son 2 m reales. Entonces:
- Para pasar del plano a la realidad, multiplicas por 2: 5 cm del plano son 10 m.
- Para pasar de la realidad al plano, divides entre 2: un muro de 8 m se dibuja con 4 cm.
Muchos planos están hechos en papel cuadriculado, con cuadritos de 1 cm de lado. Así, contar cuadritos es lo mismo que medir con la regla.
Lo que no cambia: la forma
La escala cambia el tamaño, pero no cambia la forma. Si en el plano una esquina es recta, en la casa también es recta. Si en el plano dos paredes son paralelas, en la casa también. Algunos niños creen que al agrandar el dibujo las esquinas se abren. No es así: los ángulos son los mismos en el plano y en la realidad.
Plano de un salón dibujado en cuadrícula de 1 cm, con la escala 1 cm del plano son 2 m reales. El salón ocupa 4 cuadritos de largo y 3 de ancho. El cuadrito sombreado es, en la realidad, un cuadrado de 2 m por 2 m.
Ejemplo resuelto
Del plano al salón
En el plano, el salón mide 4 cm de largo y 3 cm de ancho. La escala es 1 cm del plano son 2 m reales. ¿Cuánto mide de verdad? ¿Cuál es su perímetro y su área reales?
Ver la solución paso a paso
Cada centímetro del plano son 2 m. El largo real es:
$$4 \times 2$$
El largo mide $8$ m.
El ancho real es:
$$3 \times 2$$
El ancho mide $6$ m.
Ahora el perímetro real, la vuelta completa al salón:
$$2 \times \left(8 + 6\right)$$
El perímetro real es $28$ m.
Y el área real, con las medidas reales:
$$8 \times 6$$
El área real es $48$ m².
Respuesta: El salón mide 8 m por 6 m, su perímetro es 28 m y su área es 48 m².
La trampa del área
En el plano, el salón ocupa 4 por 3, es decir, 12 cuadritos. Un error muy común es decir: «la escala es por 2, entonces el área real es 12 por 2». Eso está mal.
Mira el cuadrito sombreado de la figura. En el plano mide 1 cm por 1 cm. Pero en la realidad mide 2 m de largo y 2 m de ancho. Es un cuadrado de 2 por 2, que tiene 4 m². La escala se aplica dos veces: una al largo y otra al ancho. Por eso cada cuadrito del plano vale 4 m² reales, no 2.
El camino más seguro es siempre el mismo: primero pasa las medidas a reales y después calcula el área con las medidas reales.
Ejemplo resuelto
Doce cuadritos no son 24 m²
Pedro calcula el área real del salón así: el plano tiene 12 cuadritos y la escala es por 2, así que dice 24 m². ¿Tiene razón?
Ver la solución paso a paso
La cuenta de Pedro:
$$12 \times 2$$
A Pedro le da $24$ m².
Pero cada cuadrito del plano es, en la realidad, un cuadrado de 2 m por 2 m:
$$2 \times 2$$
Cada cuadrito vale $4$ m².
Los 12 cuadritos valen:
$$12 \times 4$$
Sale lo mismo que con las medidas reales, 8 m por 6 m:
$$12 \times 4 = 8 \times 6$$
Respuesta: Pedro no tiene razón: el área real es 48 m², el doble de lo que él dice. Al pasar del plano a la realidad, el área se multiplica por 2 × 2 = 4.
La escala 1:100
En los planos de las casas se ve muchas veces escrito 1:100, que se lee «uno a cien». Quiere decir que 1 cm del plano son 100 cm reales, o sea, 1 m. Con esta escala los centímetros del plano se leen como metros: 3 cm del plano son 3 m.
Con el área pasa lo mismo que antes. Un cuadrito de 1 cm por 1 cm del plano es, en la realidad, un cuadrado de 100 cm por 100 cm. Eso no son 100 cm², sino 10 000 cm², que es 1 m². Quien multiplica el área del plano solo por 100 obtiene una alcoba del tamaño de un cuaderno abierto (lo verás en el ejemplo).
Planos con forma de L
Muchas casas no son un rectángulo. Para calcular su área, se descompone el plano en rectángulos con una línea, se calcula el área real de cada uno y se suman. El perímetro, en cambio, se mide por el borde de afuera: la línea que partió la casa no cuenta, porque no es una pared de afuera.
Ejemplo resuelto
El cuarto con escala 1:100
En un plano a escala 1:100, un cuarto mide 3 cm por 4 cm. ¿Cuál es su área real? ¿Qué pasa si alguien multiplica el área del plano por 100?
Ver la solución paso a paso
Las medidas reales, en centímetros:
$$\left(3 \times 100\right) \times \left(4 \times 100\right)$$
El área real es $120\,000$ cm².
Como 1 m² son 10 000 cm², lo pasamos a metros cuadrados:
$$120\,000 \div 10\,000$$
El cuarto tiene:
$$12$$
Ahora el error. El plano tiene 3 por 4, 12 cm². Por 100 da:
$$12 \times 100$$
Serían $1200$ cm², un pedazo del tamaño de un cuaderno abierto. Nadie duerme en un cuarto así.
La cuenta buena multiplica por 100 dos veces:
$$12 \times 100 \times 100 = 120\,000$$
Respuesta: El cuarto tiene 12 m², es decir, 120 000 cm². Con la escala 1:100, el área se multiplica por 10 000, no por 100.
Plano de la casa de la finca en cuadrícula de 1 cm, escala 1 cm del plano son 2 m reales. Abajo, un rectángulo de 6 por 3 cuadritos; encima, a la izquierda, otro de 3 por 2. La línea punteada separa los dos rectángulos.
Ejemplo resuelto
La casa de la finca
Calcula el área y el perímetro reales de la casa de la finca, con la escala 1 cm del plano son 2 m reales.
Ver la solución paso a paso
Rectángulo de abajo: 6 por 3 cuadritos. Sus medidas reales son 6 × 2 = 12 m y 3 × 2 = 6 m. Su área real:
$$\left(6 \times 2\right) \times \left(3 \times 2\right)$$
Son $72$ m².
Rectángulo de arriba: 3 por 2 cuadritos, que son 6 m por 4 m:
$$\left(3 \times 2\right) \times \left(2 \times 2\right)$$
Son $24$ m².
Sumamos las dos partes:
$$72 + 24$$
El área real de la casa es:
$$96$$
Lo comprobamos con los cuadritos: el plano tiene 18 + 6 = 24 cuadritos, y cada uno vale 4 m².
$$\left(6 \times 3 + 3 \times 2\right) \times 4 = 96$$
Para el perímetro recorremos el borde de afuera, sin la línea punteada. En el plano, empezando abajo a la izquierda: 6, 3, 3, 2, 3 y 5 cm.
$$6 + 3 + 3 + 2 + 3 + 5$$
El borde mide $22$ cm en el plano.
Cada centímetro son 2 m:
$$22 \times 2$$
El perímetro real es:
$$44$$
Respuesta: La casa tiene 96 m² de área y 44 m de perímetro. El perímetro sí se multiplica por 2, porque es una longitud; el área se multiplica por 4.
Dibujar un plano
Para dibujar el plano de un lugar se hace el camino al revés: se divide cada medida real entre lo que vale un centímetro. Antes de dibujar, conviene elegir una escala que haga que el plano quepa en la hoja, sin quedar diminuto. Si la cancha mide 40 m de largo y usas 1 cm por cada metro, necesitas 40 cm: no cabe en el cuaderno. Con 1 cm por cada 2 m, el largo queda de 20 cm, que sí cabe.
Práctica
En el plano del colegio, la cancha mide 9 cm de largo. La escala es 1 cm del plano son 2 m reales. ¿Cuántos metros mide de verdad?
Cada centímetro del plano son 2 m: 9 × 2 = 18 m.
La huerta escolar mide 14 m de largo. Con la escala 1 cm del plano son 2 m reales, ¿cuántos centímetros mide en el plano?
De la realidad al plano se divide: 14 ÷ 2 = 7 cm.
En un plano con escala 1 cm del plano son 2 m reales, la cafetería mide 5 cm por 3 cm. ¿Cuál es su perímetro real, en metros?
Las medidas reales son 10 m y 6 m. El perímetro es 2 × (10 + 6) = 32 m.
La misma cafetería mide 5 cm por 3 cm en el plano, con la escala 1 cm del plano son 2 m reales. ¿Cuál es su área real?
Las medidas reales son 10 m por 6 m: 10 × 6 = 60 m². Si respondiste 30, multiplicaste el área del plano, 15, solo por 2; pero cada cuadrito vale 2 × 2 = 4 m².
El patio de una casa mide 3 cm por 2 cm en un plano con escala 1 cm del plano son 4 m reales. ¿Cuántos metros cuadrados reales vale cada cuadrito de 1 cm por 1 cm del plano?
Cada cuadrito es en la realidad un cuadrado de 4 m por 4 m: 4 × 4 = 16 m². No son 4 m²: la escala se aplica al largo y también al ancho.
En un plano a escala 1:100, una alcoba mide 4 cm por 5 cm. ¿Cuál es su área real, en metros cuadrados?
Con 1:100, cada centímetro del plano es 1 m. La alcoba mide 4 m por 5 m: 20 m². En centímetros cuadrados serían 400 × 500 = 200 000 cm².
¿Verdadero o falso? Un cuarto mide 3 cm por 4 cm en un plano a escala 1:100. Su área real en centímetros cuadrados es 100 veces el área del plano: $\left(3 \times 100\right) \times \left(4 \times 100\right) = 100 \times \left(3 \times 4\right)$
Falso. El área real es 300 × 400 = 120 000 cm², y 100 veces el área del plano es solo 1200 cm². El área se multiplica por 100 × 100 = 10 000.
Una tienda tiene forma de L. En el plano, con escala 1 cm del plano son 2 m reales, se parte en un rectángulo de 4 cm por 2 cm y otro de 2 cm por 1 cm. ¿Cuál es su área real, en metros cuadrados?
El primer rectángulo mide 8 m por 4 m, 32 m². El segundo mide 4 m por 2 m, 8 m². Juntos: 32 + 8 = 40 m². También: el plano tiene 8 + 2 = 10 cuadritos, y cada uno vale 4 m².
Daniela quiere dibujar en su cuaderno, de unos 20 cm por 27 cm, el plano de una cancha de 40 m por 20 m. ¿Qué escala le conviene más?
Con 1 cm por metro, la cancha mide 40 cm y no cabe. Con 1 cm por cada 20 m cabe, pero queda tan pequeña que no se ven los detalles. Con 1 cm por cada 2 m cabe bien a lo largo de la hoja.
En el plano de la casa, la esquina entre la sala y la cocina es recta, como la esquina de una hoja. ¿Cómo es esa esquina en la casa de verdad?
Al pasar del plano a la realidad, todas las medidas crecen igual. Las paredes se alargan, pero se siguen encontrando con el mismo ángulo.
Reto
Lee el plano de la cancha.
La escala es 1 cm del plano son 2 m reales.
Reto
Con la escala 1 cm del plano son 2 m reales, une cada medida del plano con su medida real.
Cierre
En resumen
La escala dice cuánto mide en la realidad cada centímetro del plano; con 1 cm = 2 m, del plano a la realidad se multiplica por 2 y al revés se divide.
Las longitudes y el perímetro se multiplican por el número de la escala.
El área no: cada cuadrito del plano crece a lo largo y a lo ancho; con 1 cm = 2 m vale 4 m², y con 1:100 el área en cm² se multiplica por 10 000.
La escala cambia el tamaño, pero no la forma: los ángulos del plano y los de la realidad son iguales.
Un plano en forma de L se descompone en rectángulos para el área; el perímetro se mide solo por el borde de afuera.
Vocabulario
- Plano
Un dibujo de un lugar visto desde arriba, más pequeño que el lugar pero con la misma forma.
- Escala
La regla que dice cuánto mide en la realidad cada centímetro del plano. Por ejemplo, 1 cm del plano son 2 m reales.
- Escala 1:100
Se lee «uno a cien»: cada centímetro del plano son 100 centímetros reales, es decir, 1 metro.
- Medida real
Lo que mide de verdad el lugar, con la cinta métrica.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre un plano sencillo del colegio dibujado en el tablero y pregunte cómo saber cuánto mide de verdad la cancha.
- Explicación · 15 min — La escala con el salón de 4 cm por 3 cm; la trampa del área con el cuadrito sombreado (dibuje en el piso, con tiza, un cuadrado real de 2 m por 2 m); la escala 1:100; la casa en L.
- Práctica · 20 min — En parejas miden con el metro el salón o el corredor, eligen una escala y dibujan el plano en papel cuadriculado; luego, preguntas y retos. Se mide en el piso, sin subirse a sillas ni mesas.
- Cierre · 5 min — Cada pareja dice qué escala eligió y por qué el plano cupo en la hoja.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué un cuadrito de 1 cm del plano no vale 2 m² si la escala es 1 cm = 2 m?
- Si dibujas el plano con una escala más grande, ¿cambian los ángulos de las esquinas?
- ¿Por qué la línea punteada de la casa en L no se suma en el perímetro?
Errores típicos
- Multiplicar el área del plano por el número de la escala (por 2, o por 100 con la escala 1:100). Dibuje con tiza en el piso el cuadrado real que corresponde a un cuadrito del plano y pida contar cuántos metros cuadrados tiene.
- Creer que al agrandar o achicar un plano cambian los ángulos. Pida comparar con la esquina de una hoja las esquinas del plano y las del salón.
- Multiplicar al pasar de la realidad al plano. Pida preguntarse primero si el resultado debe ser más grande o más pequeño: el plano siempre es más pequeño.
- Sumar la línea que descompone la figura en el perímetro. Pida repasar con el dedo solo el borde de afuera antes de sumar.
Tarea sugerida
Con ayuda de un adulto, medir con un metro el largo y el ancho de una habitación de la casa, elegir una escala para que quepa en el cuaderno y dibujar su plano en papel cuadriculado, con su perímetro y su área reales.