Transformar figuras y calcular sus medidas
Lo que vas a aprender
- Explicar que trasladar, girar y reflejar una figura no cambian sus lados, su perímetro ni su área.
- Distinguir una figura girada de una figura reflejada.
- Calcular el perímetro y el área de una figura ampliada al doble o al triple.
- Mover una parte de una figura para formar un rectángulo y calcular su área.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Don Ernesto pone baldosas en el patio de la escuela. Algunas las gira para que encajen en la esquina. Otras las voltea. Y para el corredor, que es más ancho, pide baldosas más grandes. ¿Cuánto piso cubre cada una? ¿Cuánto borde tienen?
En cuarto aprendiste a mover figuras en la cuadrícula y a ampliarlas. Ahora vas a usar esos movimientos para calcular: qué medidas cambian, cuáles no, y cuánto cambian.
Explicación
Mover sin cambiar el tamaño
Hay tres movimientos que ya conoces:
- Trasladar: deslizar la figura, sin girarla ni voltearla.
- Girar: darle vueltas alrededor de un punto, sin levantarla de la mesa.
- Reflejar: voltearla como en un espejo.
Con los tres movimientos, la figura no se estira ni se encoge. Sus lados miden lo mismo. Su perímetro, que es la suma de los lados, es el mismo. Y su área, los cuadritos que ocupa, también. Solo cambia dónde está o hacia dónde mira.
Esto sirve para calcular: si ya sabes el área de una figura, sabes el área de la figura movida sin volver a contar.
Girar no es lo mismo que reflejar
Mira las figuras A, B y C. La B es la A girada un cuarto de vuelta: si recortas la A y le das vueltas sobre la mesa, la puedes poner encima de la B. La C es la A reflejada, como si la vieras en un espejo puesto a su lado.
¿Cómo saber cuál es cuál? Intenta llevar la A hasta la C solo girando. No se puede: el pie de la A apunta a la derecha y el de la C, a la izquierda. Para que coincidan tienes que levantar la figura y voltearla, como una página. Eso es reflejar. Muchos niños confunden los dos movimientos porque las figuras se parecen. La pregunta clave es: ¿hubo que voltearla?
La figura A es una L de 4 cuadritos. La B es la A girada un cuarto de vuelta. La C es la A reflejada en un espejo: su pie mira al otro lado, y no se puede obtener solo girando.
Ejemplo resuelto
La L girada y reflejada
Calcula el área y el perímetro de la figura A, en cuadritos y en lados de cuadrito. ¿Cuánto miden la B y la C?
Ver la solución paso a paso
Área de A: una columna de 3 cuadritos y el pie de 1.
$$3 + 1$$
A ocupa $4$ cuadritos.
Perímetro de A: recorremos el borde desde la esquina de arriba a la izquierda. Arriba 1, bajando 2, el pie 1, bajando 1, el piso 2 y subiendo 3.
$$1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 3$$
El borde mide $10$ lados de cuadrito.
B y C son la misma A movida: ni se estiró ni se encogió. Si cuentas el borde de B, sale lo mismo: arriba 3, bajando 1, hacia la izquierda 2, bajando 1, el piso del pie 1 y subiendo 2.
$$3 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2$$
También $10$.
Respuesta: Las tres figuras ocupan 4 cuadritos y tienen 10 lados de cuadrito de perímetro. Girar o reflejar cambia hacia dónde mira la figura, no sus medidas.
Ampliar: aquí sí cambian las medidas
Ampliar no es un movimiento: la figura crece. Al ampliar al doble, cada lado mide el doble. Entonces el perímetro también es el doble, porque es la suma de los lados.
¿Y el área? Aquí está la trampa. Muchos niños piensan: «si los lados son el doble, el área es el doble». No es así. La figura crece a lo largo y a lo ancho al mismo tiempo. Mira la figura: dentro del rectángulo ampliado caben cuatro rectángulos como el original, dos a lo largo y dos a lo ancho.
- Al doble: los lados y el perímetro se multiplican por 2, y el área por 2 × 2 = 4.
- Al triple: los lados y el perímetro se multiplican por 3, y el área por 3 × 3 = 9.
Lo que no cambia al ampliar es la forma: las esquinas rectas siguen rectas y los lados paralelos siguen paralelos.
Un rectángulo de 3 por 2 cuadritos y el mismo rectángulo ampliado al doble, de 6 por 4. Las líneas punteadas muestran que en el grande caben 4 rectángulos como el pequeño.
Ejemplo resuelto
Un rectángulo al doble
Un rectángulo mide 3 cm por 2 cm. Se amplía al doble. Compara su perímetro y su área antes y después.
Ver la solución paso a paso
Perímetro antes:
$$2 \times \left(3 + 2\right)$$
Antes mide $10$ cm de borde.
Después, los lados miden 6 cm y 4 cm:
$$2 \times \left(6 + 4\right)$$
Después mide $20$ cm: el doble, como los lados.
Área antes:
$$3 \times 2$$
Antes ocupa $6$ cm².
Área después:
$$6 \times 4$$
Después ocupa $24$ cm².
No es el doble de 6, que sería 12. Es cuatro veces 6:
$$24 = 4 \times 6$$
Respuesta: El perímetro pasa de 10 cm a 20 cm (por 2) y el área, de 6 cm² a 24 cm² (por 4).
Ejemplo resuelto
Una baldosa al triple
Una baldosa cuadrada mide 20 cm de lado. Don Ernesto pide otra con el lado al triple. ¿Cuánto borde y cuánto piso tiene la grande?
Ver la solución paso a paso
El lado de la grande:
$$20 \times 3$$
Mide $60$ cm de lado.
Su perímetro, cuatro lados iguales:
$$4 \times 60$$
Son $240$ cm.
Es el triple del borde de la pequeña, que mide 4 × 20 cm:
$$240 = 3 \times \left(4 \times 20\right)$$
Su área:
$$60 \times 60$$
Son $3600$ cm².
La pequeña tiene 20 × 20 = 400 cm². La grande tiene nueve veces más:
$$60 \times 60 = 9 \times \left(20 \times 20\right)$$
Respuesta: La baldosa grande tiene 240 cm de borde (el triple) y 3600 cm² de piso (nueve veces más). Para cubrirla hacen falta 9 baldosas pequeñas, no 3.
Mover una parte para calcular el área
Un paralelogramo es una figura de cuatro lados en la que los lados de enfrente son paralelos, como un rectángulo empujado hacia un lado. Esas figuras inclinadas tienen un área que no se cuenta fácil con cuadritos, porque tienen pedazos de cuadrito. Un truco es cortar un pedazo y trasladarlo al otro lado, para que la figura se vuelva un rectángulo. Como trasladar no cambia el área, el rectángulo nuevo ocupa lo mismo que la figura original.
Un paralelogramo en la cuadrícula. El triángulo sombreado de la izquierda se corta por la línea punteada y se traslada a la derecha, al lugar punteado. Queda un rectángulo de 5 cuadritos de largo y 3 de alto.
Ejemplo resuelto
Del paralelogramo al rectángulo
Calcula el área del paralelogramo de la cuadrícula moviendo el triángulo de la izquierda.
Ver la solución paso a paso
Al trasladar el triángulo a la derecha, queda un rectángulo de 5 cuadritos de largo y 3 de alto:
$$5 \times 3$$
Ocupa $15$ cuadritos.
Comprobamos contando por partes, sin mover nada. A la izquierda hay un triángulo que es la mitad de un rectángulo de 2 por 3; en el medio, un rectángulo de 3 por 3; y a la derecha, otro triángulo igual al primero:
$$\left(\left(2 \times 3\right) \div 2\right) + \left(3 \times 3\right) + \left(\left(2 \times 3\right) \div 2\right)$$
Sale igual:
$$15$$
Respuesta: El paralelogramo ocupa 15 cuadritos, lo mismo que el rectángulo que se forma al mover el triángulo.
Práctica
Un rectángulo de 5 cm por 3 cm se traslada 4 cuadritos a la derecha. ¿Cuál es su perímetro después de trasladarlo, en centímetros?
Trasladar no cambia los lados: sigue midiendo 5 cm por 3 cm. Su perímetro es 2 × (5 + 3) = 16 cm, antes y después.
Un rectángulo de 5 cm por 2 cm se gira un cuarto de vuelta y queda de 2 cm por 5 cm. ¿Verdadero o falso? Su área no cambia: $5 \times 2 = 2 \times 5$
Verdadero. Girar no estira ni encoge la figura: ocupa 10 cm² antes y después.
Un rectángulo tiene 6 cm² de área. Se amplía al doble. ¿Cuál es su área ahora?
Al doble, el área se multiplica por 2 × 2 = 4: 4 × 6 = 24 cm². El 12 es el error de duplicar el área como si fuera un lado.
Un rectángulo de 4 cm por 2 cm se amplía al doble. ¿Cuál es el área del rectángulo ampliado, en cm²?
Los lados nuevos miden 8 cm y 4 cm: 8 × 4 = 32 cm². Antes tenía 8 cm²; ahora tiene cuatro veces más.
Un cuadrado de 3 cm de lado se amplía al triple. ¿Cuál es su área nueva, en cm²?
El lado nuevo mide 3 × 3 = 9 cm, y el área es 9 × 9 = 81 cm². Es nueve veces el área de antes, 9 cm².
Un rectángulo de 4 cm por 1 cm se amplía al triple. ¿Cuál es su perímetro nuevo, en centímetros?
Los lados nuevos miden 12 cm y 3 cm: 2 × (12 + 3) = 30 cm. Es el triple de 10 cm, el perímetro de antes.
Un rectángulo de 8 cm por 6 cm se reduce a la mitad y queda de 4 cm por 3 cm. ¿Cuántos rectángulos pequeños caben sobre el grande sin encimarse?
El grande tiene 48 cm² y el pequeño, 12 cm²: 48 ÷ 12 = 4. Al reducir a la mitad, el área queda dividida entre 2 × 2 = 4.
Un paralelogramo en la cuadrícula tiene 4 cuadritos de largo abajo y 2 de alto. Al cortar el triángulo de un extremo y trasladarlo al otro, queda un rectángulo. ¿Cuántos cuadritos ocupa?
El rectángulo que se forma mide 4 por 2: 8 cuadritos. Como trasladar no cambia el área, el paralelogramo también ocupa 8.
Mira las figuras A, B y C de la L. ¿Qué movimiento lleva la figura A a la figura C?
Por más que gires la A, su pie sigue apuntando al mismo lado respecto a la columna. En la C apunta al otro lado: la figura se volteó. Además mide lo mismo, así que no es una ampliación.
Lina dice que la figura B es la A reflejada, porque «quedó acostada». ¿Tiene razón?
Si recortas la A y le das un cuarto de vuelta sobre la mesa, coincide con la B. No hubo que levantarla ni voltearla, así que es un giro. Quedar «acostada» no indica una reflexión.
Reto
Al ampliar una figura al doble, ¿qué le pasa a cada cosa?
Piensa si crece a lo largo, a lo largo y a lo ancho, o no crece.
Reto
Abre el candado de las figuras.
Mover no cambia las medidas; ampliar sí.
Reto
Las palabras de los movimientos.
Lee la pista y escribe la palabra.
Cierre
En resumen
Trasladar, girar y reflejar mueven la figura sin cambiar sus lados, su perímetro ni su área.
Una figura girada se puede poner encima de la original dándole vueltas sobre la mesa; una reflejada solo coincide si se voltea, como una página.
Al ampliar al doble, los lados y el perímetro se multiplican por 2 y el área por 4; al triple, los lados por 3 y el área por 9.
Al ampliar o reducir, la forma y los ángulos no cambian.
Cortar una parte de una figura y trasladarla no cambia el área: así una figura inclinada se vuelve un rectángulo.
Vocabulario
- Trasladar
Deslizar una figura sin girarla ni voltearla, como cuando corres un cuaderno sobre la mesa.
- Girar
Dar vueltas a una figura alrededor de un punto, sin levantarla de la mesa: un cuarto de vuelta, media vuelta o tres cuartos de vuelta.
- Reflejar
Voltear la figura como se ve en un espejo: lo que estaba a la derecha queda a la izquierda.
- Ampliar al doble
Dibujar la figura con todos sus lados dos veces más largos. La forma no cambia.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre dos baldosas de papel, una con el lado al doble de la otra, y pregunte cuántas pequeñas caben en la grande. Anote las respuestas antes de comprobar.
- Explicación · 15 min — Los tres movimientos con la L recortada en cartulina; la diferencia entre girar y reflejar volteando la ficha; la ampliación con los rectángulos de 3 por 2 y 6 por 4; el paralelogramo cortado.
- Práctica · 20 min — En parejas recortan con tijeras de punta roma un paralelogramo en papel cuadriculado, cortan el triángulo y lo trasladan; después, preguntas y retos.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante explica con sus palabras por qué al ampliar al doble el área no se duplica.
Preguntas para el salón
- ¿Cómo puedes saber, sin calcar, si una figura fue girada o reflejada?
- Si una baldosa se amplía al triple, ¿cuántas baldosas pequeñas hacen falta para cubrirla? ¿Por qué no 3?
- ¿Qué medidas de una figura cambian al trasladarla? ¿Y al ampliarla?
Errores típicos
- Creer que al duplicar los lados de un rectángulo el área también se duplica. Pida dibujar el rectángulo ampliado en la cuadrícula y acomodar adentro copias del original hasta llenarlo: caben 4.
- Confundir girar con reflejar. Pida recortar la figura y probar si coincide solo girándola sobre la mesa; si hay que voltearla, es una reflexión.
- Pensar que un movimiento cambia el perímetro o el área porque la figura queda «acostada». Pida contar los cuadritos y los lados antes y después del movimiento.
- Al ampliar, sumar en vez de multiplicar (al doble, sumar 2 a cada lado). Compare el rectángulo de 3 por 2 ampliado al doble (6 por 4) con el de 5 por 4 y pregunte cuál conserva la forma.
Tarea sugerida
Dibujar en papel cuadriculado una figura de 5 cuadritos, girarla un cuarto de vuelta, reflejarla y ampliarla al doble; escribir el perímetro y el área de cada una y explicar qué cambió.