Coordenadas en un mapa
Lo que vas a aprender
- Nombrar los ejes, el origen y los cuatro cuadrantes del plano cartesiano.
- Leer y escribir la pareja ordenada de un lugar del mapa, primero el número del eje horizontal y después el del vertical.
- Ubicar un punto en el cruce de dos líneas de la cuadrícula, no dentro de un cuadrito.
- Calcular distancias horizontales y verticales en cuadras entre dos lugares del mapa.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Tu prima viene de visita y quiere ir sola a la tienda de doña Rosa. Le dices: «queda por allá, cerca del parque». ¿Llegará? Seguramente no. Le hace falta algo más preciso.
Los mapas resuelven ese problema con dos números. Con ellos, cualquier persona encuentra un lugar sin perderse. Es lo que hacen el GPS del celular, los planos de un centro comercial y el plano del barrio que dibujan en la junta de acción comunal.
En esta lección vas a aprender a leer y a escribir esos dos números. Y vas a descubrir por qué el orden en que se dicen es tan importante.
Explicación
Dos rectas que se cruzan
Toma dos rectas numéricas como las que ya conoces. Pon una acostada y otra de pie, y haz que se crucen en el 0 de las dos. Eso es un plano cartesiano.
- La recta acostada es el eje x. Sus números dicen cuánto avanzas hacia la derecha.
- La recta de pie es el eje y. Sus números dicen cuánto subes.
- El punto donde se cruzan es el origen. Ahí empiezas siempre a contar.
Encima de los ejes se dibuja una cuadrícula. En el mapa del barrio, cada línea de la cuadrícula es una calle, y cada lado de un cuadrito es una cuadra.
Los cuatro cuadrantes
Los dos ejes, si se alargan hacia los dos lados, parten el plano en cuatro partes. Cada parte se llama cuadrante. Se numeran I, II, III y IV, empezando arriba a la derecha y girando hacia la izquierda, al contrario de las manecillas del reloj.
Este año trabajas en el cuadrante I, el de arriba a la derecha, y sobre los dos ejes que lo bordean. Dentro del cuadrante I los dos números son mayores que 0: 1, 2, 3… Los puntos que caen sobre un eje, como el origen $(0;\ 0)$ o un punto con un 0 en la pareja, no están en ningún cuadrante: están en la frontera entre dos. Los otros tres cuadrantes necesitan números que vas a conocer en 6.º.
La pareja ordenada
Para decir dónde está un lugar se escriben dos números entre paréntesis, separados por punto y coma. En el mapa, la tienda está en $(3;\ 5)$.
- El primer número dice cuántas cuadras avanzas a la derecha desde el origen.
- El segundo número dice cuántas cuadras subes después.
Una ayuda para no olvidarlo: primero caminas, después subes la escalera. Nadie sube una escalera antes de llegar a ella.
¿Por qué importa el orden?
Mira el mapa. La tienda está en $(3;\ 5)$ y el parque está en $(5;\ 3)$. Son los mismos dos números, pero no son el mismo lugar. Si lees $(3;\ 5)$ como «3 hacia arriba y 5 a la derecha», llegas al parque y no a la tienda. Por eso se llama pareja ordenada: cambiar el orden cambia el lugar.
Cuenta líneas, no cuadritos
Un punto del plano no va dentro de un cuadrito. Va en una esquina, donde se cruzan dos líneas. Para llegar a $(3;\ 5)$ sigues el eje x hasta la línea que tiene el 3. Luego subes por esa línea hasta cruzar la línea del 5. Ahí pones el punto.
El eje es la línea del 0. Si cuentas cuadritos y pintas el punto en el centro del tercer cuadrito, quedas a mitad de camino entre el 2 y el 3. En el barrio, eso es la mitad de una cuadra, ¡en medio de las casas!
Distancias en cuadras
Si dos lugares están en la misma línea horizontal, tienen el mismo segundo número. La distancia entre ellos es la diferencia de los primeros números. Si están en la misma línea vertical, tienen el mismo primer número, y se restan los segundos.
Mapa inventado del barrio Los Almendros. Cada línea es una calle y cada lado de un cuadrito es una cuadra. Los lugares están en las esquinas. Úsalo en los ejemplos y en las preguntas.
Ejemplo resuelto
Las coordenadas de la tienda
En el mapa del barrio, ¿cuál es la pareja ordenada de la tienda?
Ver la solución paso a paso
Empezamos en el origen. Caminamos por el eje x hacia la derecha, de línea en línea, hasta quedar debajo de la tienda. Llegamos a la línea del 3. Ese es el primer número.
Desde ahí subimos por esa línea hasta la tienda. Cruzamos las líneas 1, 2, 3, 4 y nos detenemos en la del 5. Ese es el segundo número.
Escribimos primero lo que caminamos y después lo que subimos: $\left(3;\ 5\right)$
Respuesta: La tienda está en (3; 5): 3 cuadras a la derecha del origen y 5 hacia arriba.
Ejemplo resuelto
Mismos números, otro lugar
Juliana leyó la pareja $(3;\ 5)$ como «3 hacia arriba y 5 a la derecha». ¿A qué lugar llegó?
Ver la solución paso a paso
Juliana avanzó 5 a la derecha y subió 3. Si lo escribimos en el orden correcto, llegó a $\left(5;\ 3\right)$
En el mapa, ese lugar es el parque, no la tienda. Comparamos las dos parejas: tienen los mismos números, pero en distinto orden, y no son iguales.
$$\left(3;\ 5\right) \ne \left(5;\ 3\right)$$
Respuesta: Llegó al parque. El primer número siempre es el de la derecha y el segundo, el de arriba.
Ejemplo resuelto
Del colegio a la farmacia
El colegio está en $(1;\ 2)$ y la farmacia en $(7;\ 2)$. ¿Cuántas cuadras hay entre ellos?
Ver la solución paso a paso
Los dos tienen el mismo segundo número, el 2. Están en la misma calle horizontal. Solo cambia el primer número.
La distancia es la diferencia de los primeros números:
$$7 - 1$$
Son $6$ cuadras. Puedes comprobarlo en el mapa contando los lados de cuadrito, uno por uno.
Ojo: no se cuentan las líneas que tocas (serían 7), sino los saltos de una línea a la siguiente. Para comprobar, partimos del colegio y avanzamos las 6 cuadras:
$$1 + 6 = 7$$
Respuesta: Hay 6 cuadras entre el colegio y la farmacia.
Ejemplo resuelto
Del colegio a la tienda por las calles
Andrés sale del colegio, en $(1;\ 2)$, y va a la tienda, en $(3;\ 5)$, caminando por las calles. Primero va a la derecha y después sube. ¿Cuántas cuadras camina?
Ver la solución paso a paso
Hacia la derecha camina la diferencia de los primeros números:
$$3 - 1$$
Son $2$ cuadras a la derecha.
Hacia arriba sube la diferencia de los segundos números:
$$5 - 2$$
Son $3$ cuadras hacia arriba.
En total camina:
$$2 + 3$$
Son $5$ cuadras. No puede ir en línea recta, porque en medio hay casas.
Respuesta: Andrés camina 5 cuadras: 2 a la derecha y 3 hacia arriba.
Práctica
Mira el mapa del barrio. ¿Cuál es la pareja ordenada del colegio?
Desde el origen se avanza 1 cuadra a la derecha y se sube 2: (1; 2). La pareja (2; 1) tiene el orden invertido. La pareja (2; 3) sale de contar cuadritos empezando en 1, y no líneas empezando en 0.
En el mapa del barrio, ¿cuál es la pareja ordenada de la panadería?
La panadería está sobre la línea vertical del 5 y la línea horizontal del 6: (5; 6). Con (6; 5) se invierte el orden, y (5; 3) es el parque, que está justo debajo.
Un punto está 4 cuadras a la derecha del origen y 1 cuadra hacia arriba. ¿Cuál es su pareja ordenada?
Primero va lo que se camina a la derecha, 4, y después lo que se sube, 1: (4; 1). La pareja (1; 4) es otro punto: 1 a la derecha y 4 arriba.
¿Verdadero o falso? Los puntos $\left(3;\ 5\right)$ y $\left(5;\ 3\right)$ son la misma esquina, porque usan los mismos números.
Es falso. (3; 5) es la tienda: 3 a la derecha y 5 arriba. (5; 3) es el parque: 5 a la derecha y 3 arriba. El orden de los números cambia el lugar.
El parque está en $\left(5;\ 3\right)$ y la panadería en $\left(5;\ 6\right)$. ¿Cuántas cuadras hay entre ellos?
Los dos tienen el mismo primer número: están en la misma línea vertical. Se restan los segundos números: 6 − 3 = 3 cuadras.
Laura va de la cancha, en $\left(4;\ 0\right)$, a la farmacia, en $\left(7;\ 2\right)$, por las calles: primero a la derecha y después hacia arriba. ¿Cuántas cuadras camina en total?
A la derecha camina 7 − 4 = 3 cuadras. Hacia arriba sube 2 − 0 = 2 cuadras. En total, 3 + 2 = 5 cuadras.
Desde el colegio, en $\left(1;\ 2\right)$, Tomás camina 4 cuadras a la derecha y sube 1 cuadra. ¿A qué esquina llega?
Al caminar a la derecha cambia el primer número: 1 + 4 = 5. Al subir cambia el segundo: 2 + 1 = 3. Llega a (5; 3), que es el parque.
Sofía quiere marcar el punto (2; 3). Cuenta 2 cuadritos a la derecha y 3 hacia arriba, y pinta el punto en el centro de ese cuadrito. ¿Qué pasó?
En el plano cartesiano los números están en las líneas, no en los cuadritos. El punto (2; 3) va en la esquina donde se cruzan la línea vertical del 2 y la horizontal del 3. El centro del cuadrito queda en medio de dos calles.
Tu prima está en el origen del mapa y quiere ir a la tienda. ¿Qué mensaje le sirve?
La tienda está en (3; 5): 3 cuadras a la derecha y 5 hacia arriba. El segundo mensaje la lleva al parque, que está en (5; 3). El tercero cuenta cuadritos y el cuarto no dice cuánto caminar.
¿En qué cuadrante están el colegio, la tienda, el parque, la panadería y la farmacia del mapa del barrio?
Esos cinco lugares se ubican caminando a la derecha y subiendo desde el origen, y ninguno tiene un 0 en su pareja. Esa es la parte de arriba a la derecha: el cuadrante I. El origen y la cancha, en cambio, están sobre los ejes, y un punto de un eje no es de ningún cuadrante.
Reto
Completa la ubicación de cada lugar.
Mira el mapa del barrio. El primer número es el de la derecha y el segundo, el de arriba.
Reto
El crucigrama del plano cartesiano.
Reto
Abre el candado del barrio.
Cada pista da un dígito. Usa el mapa.
Cierre
En resumen
El plano cartesiano son dos rectas numéricas que se cruzan en el origen, (0; 0): el eje x, acostado, y el eje y, de pie.
Los ejes parten el plano en cuatro cuadrantes; este año se trabaja en el cuadrante I, donde los dos números son mayores que 0, y sobre sus bordes. Un punto sobre un eje no es de ningún cuadrante.
En la pareja ordenada (3; 5), el primer número dice cuánto avanzas a la derecha y el segundo, cuánto subes: primero caminas, después subes.
Los puntos van en las esquinas, donde se cruzan las líneas; se cuentan líneas desde el 0, no cuadritos.
Entre dos lugares de la misma línea horizontal, la distancia es la diferencia de los primeros números; en la misma línea vertical, la de los segundos.
Vocabulario
- Eje x
La recta numérica horizontal del plano. Sus números dicen cuánto se avanza hacia la derecha.
- Eje y
La recta numérica vertical del plano. Sus números dicen cuánto se sube.
- Origen
El punto donde se cruzan los dos ejes. Sus coordenadas son (0; 0).
- Pareja ordenada
Dos números entre paréntesis, separados por punto y coma, que dicen dónde está un punto. El primero es el del eje x y el segundo, el del eje y.
- Cuadrante
Cada una de las cuatro partes en que los dos ejes dividen el plano.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida a un estudiante que explique cómo llegar del salón a la tienda escolar sin señalar. Anote las frases vagas («por allá») y pregunte qué haría falta para que nadie se pierda.
- Explicación · 15 min — Dibuje los ejes en el tablero como dos rectas numéricas. Nombre el origen y los cuatro cuadrantes. Ubique la tienda (3; 5) y el parque (5; 3) con dos colores para mostrar que el orden importa. Trace en el piso del patio, con tiza, una cuadrícula de 5 × 5 y pida a un niño que camine hasta (3; 2).
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales con el mapa del barrio y retos en parejas. Un compañero dicta una pareja y el otro la marca; luego cambian.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe la pareja de un lugar inventado y el mensaje para llegar desde el origen.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué (3; 5) y (5; 3) no son el mismo lugar si usan los mismos números?
- ¿Por qué el punto va en la esquina y no en el centro del cuadrito?
- Si dos lugares tienen el mismo segundo número, ¿qué sabes de ellos sin mirar el mapa?
Errores típicos
- Invertir las coordenadas: leer (3; 5) como «3 arriba y 5 a la derecha». Repita la frase «primero caminas, después subes la escalera» y pida marcar con el dedo el eje x antes de leer el primer número.
- Contar cuadritos en vez de líneas y pintar el punto dentro de un cuadrito. Recuerde que el eje es la línea del 0. Pida contar saltos de una línea a la siguiente, como en la recta numérica, y poner el punto en el cruce.
- Empezar a contar en 1 desde el eje, y llegar una cuadra más lejos. Pida escribir los números de cada línea antes de ubicar el punto; el primer número escrito junto al origen es el 0.
- Calcular la distancia contando las líneas que toca (7 en lugar de 6). Pida restar los números y luego comprobar contando los lados de cuadrito, no las rayas.
Tarea sugerida
Dibujar en papel cuadriculado el mapa de la cuadra donde vive, con el origen en una esquina y cinco lugares (la tienda, el paradero del bus, la iglesia, la cancha y su casa). Escribir la pareja ordenada de cada lugar y la distancia en cuadras de su casa a dos de ellos.