Recorridos con los puntos cardinales
Lo que vas a aprender
- Ubicar el norte, el sur, el oriente y el occidente en un mapa en cuadrícula.
- Seguir un recorrido dado con instrucciones o con flechas y hallar el punto de llegada.
- Describir un recorrido entre dos lugares con los puntos cardinales.
- Comparar trayectorias entre dos lugares y calcular su longitud en cuadras y en metros con la escala.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Tatiana es una turista que llegó al pueblo de visita. Tiene un mapa, pero no conoce las calles. Si le dices «gire a la derecha», puede terminar en cualquier parte: depende de hacia dónde esté mirando. Si le dices «camine 3 cuadras al oriente», no hay forma de equivocarse.
En esta lección vas a usar los puntos cardinales sobre el plano cartesiano. Con ellos vas a seguir recorridos, describirlos para otra persona y buscar el camino más corto. Lo mismo hacen los conductores de bus, los domiciliarios y los guías de turismo.
Explicación
Los cuatro puntos cardinales en el mapa
Casi todos los mapas se dibujan con el norte arriba. Entonces:
- El norte queda arriba y el sur, abajo.
- El oriente queda a la derecha y el occidente, a la izquierda.
Una ayuda para no confundir oriente y occidente: el sol sale por el oriente y se oculta por el occidente. «Occidente» empieza igual que «se oculta». Por la tarde, el lado por donde se esconde el sol es el occidente. No mires directamente al sol, porque daña los ojos: fíjate en las sombras, que por la tarde apuntan al oriente.
Cada dirección cambia un número
Ahora junta esto con la pareja ordenada de la lección anterior.
- Ir al oriente suma al primer número. Ir al occidente le resta.
- Ir al norte suma al segundo número. Ir al sur le resta.
Si estás en $(2;\ 3)$ y caminas 4 cuadras al oriente, el primer número pasa de 2 a 6. El segundo no cambia, porque no subiste ni bajaste. Llegas a $(6;\ 3)$.
Recorridos con flechas
Un recorrido también se puede escribir con flechas. Cada flecha es una cuadra: → es una cuadra al oriente, ← al occidente, ↑ al norte y ↓ al sur. Para hallar el punto de llegada, cuenta cuántas flechas hay de cada clase. Recuerda que una ← deshace una →.
Derecha e izquierda no son lo mismo que oriente y occidente
Aquí está la trampa más común. La derecha y la izquierda dependen de hacia dónde miras. Los puntos cardinales no cambian.
Si caminas hacia el norte, tu mano derecha apunta al oriente. Pero si caminas hacia el sur, ¡tu mano derecha apunta al occidente! Es como cuando le das la espalda al tablero: lo que estaba a tu derecha queda a tu izquierda.
Por eso, cuando el camino va hacia abajo en el mapa, no basta con mirar la hoja. Gira el mapa en tus manos hasta que la flecha de tu camino apunte hacia adelante, o piensa en el norte, el sur, el oriente y el occidente. Para dar instrucciones, usa los puntos cardinales: sirven aunque la otra persona mire hacia otro lado.
¿Cuál camino es más corto?
Entre dos lugares hay muchas trayectorias. En el mapa del pueblo solo se camina por las calles, así que nadie puede ir en línea recta por encima de las casas.
Si el camino solo va hacia el oriente y hacia el norte, sin devolverse, mide siempre lo mismo, aunque dé la vuelta en otra esquina. Cada vez que el camino se devuelve (una cuadra de más al norte que luego hay que bajar), se alarga 2 cuadras por cada cuadra que se devuelve: una para ir y otra para volver.
La escala del mapa
En el mapa de Tatiana, cada lado de cuadrito es una cuadra, y cada cuadra mide 100 m en la realidad. Para pasar de cuadras a metros se multiplica por 100.
Mapa inventado del pueblo que visita Tatiana, con el norte arriba. Cada lado de cuadrito es una cuadra de 100 m. La línea gruesa es el recorrido del primer ejemplo.
Ejemplo resuelto
Del hotel al museo
Tatiana sale del hotel, en $(1;\ 1)$. Camina 4 cuadras al oriente y después 3 cuadras al norte. ¿A qué punto llega?
Ver la solución paso a paso
Al oriente cambia solo el primer número, y crece. El segundo se queda igual: $\left(1 + 4;\ 1\right)$
Después de la primera parte está en $\left(5;\ 1\right)$
Al norte cambia solo el segundo número, y crece: $\left(5;\ 1 + 3\right)$
Llega a $\left(5;\ 4\right)$, que en el mapa es el museo.
Respuesta: Llega a (5; 4), el museo. Es la línea gruesa del mapa.
Ejemplo resuelto
Cuánto camina Tatiana
¿Cuántas cuadras y cuántos metros camina Tatiana del hotel al museo, si va 4 cuadras al oriente y 3 al norte? Cada cuadra mide 100 m.
Ver la solución paso a paso
Juntamos las cuadras de las dos partes del camino:
$$4 + 3$$
Son $7$ cuadras.
Con la escala, cada cuadra son 100 m. Son 7 grupos iguales de 100 m:
$$7 \times 100$$
Camina $700$ metros.
Respuesta: Camina 7 cuadras, que son 700 m.
Ejemplo resuelto
Dos caminos al mirador
Del hotel, en $(1;\ 1)$, al mirador, en $(7;\ 6)$, hay dos rutas. Ruta A: 6 cuadras al oriente y 5 al norte. Ruta B: 6 cuadras al norte, 6 al oriente y 1 al sur. ¿Cuál es más corta y por cuánto?
Ver la solución paso a paso
Primero revisamos que las dos llegan. Con la ruta A, el primer número crece 6 y el segundo crece 5: $\left(1 + 6;\ 1 + 5\right)$
Llega a $\left(7;\ 6\right)$, el mirador.
Con la ruta B, el primer número sube 6. El segundo sube 6 y luego baja 1: $\left(1 + 6;\ 1 + 6 - 1\right)$
También llega a $\left(7;\ 6\right)$
Ahora medimos. La ruta A tiene:
$$6 + 5$$
Son $11$ cuadras.
La ruta B tiene:
$$6 + 6 + 1$$
Son $13$ cuadras.
La diferencia es:
$$13 - 11$$
La ruta B es $2$ cuadras más larga. Subió 1 cuadra de más hacia el norte y tuvo que bajarla después: 1 de ida y 1 de vuelta.
Respuesta: La ruta A es más corta, por 2 cuadras, que son 200 m. La ruta más corta no se devuelve.
Ejemplo resuelto
Bajando por el mapa
Tatiana está en el mirador, en $(7;\ 6)$. Camina 2 cuadras al sur y luego gira a su derecha y camina 3 cuadras. ¿Dónde queda?
Ver la solución paso a paso
Al sur cambia el segundo número, y baja: $\left(7;\ 6 - 2\right)$
Está en $\left(7;\ 4\right)$
¡Cuidado! Tatiana camina hacia el sur, hacia abajo en el mapa. Mira hacia el sur, así que su mano derecha apunta al occidente, que en la hoja es la izquierda. Al occidente, el primer número baja: $\left(7 - 3;\ 4\right)$
Queda en $\left(4;\ 4\right)$
Respuesta: Queda en (4; 4), una cuadra al occidente del museo. Si giraba a la derecha de la hoja, habría salido del mapa por el oriente.
Las dos rutas del hotel al mirador. Ruta A, continua: 6 cuadras al oriente y 5 al norte. Ruta B, punteada: 6 al norte, 6 al oriente y 1 al sur.
Práctica
Tatiana sale del hotel, en $\left(1;\ 1\right)$. Camina 3 cuadras al oriente y 4 al norte. ¿A qué punto llega?
Al oriente crece el primer número: 1 + 3 = 4. Al norte crece el segundo: 1 + 4 = 5. Llega a (4; 5). La opción (5; 4) cambia el orden de la pareja.
Desde el museo, en $\left(5;\ 4\right)$, Julián camina 2 cuadras al occidente y 1 al norte. ¿A qué punto llega?
El occidente queda a la izquierda: el primer número baja, 5 − 2 = 3. Al norte el segundo sube, 4 + 1 = 5. Llega a (3; 5). Con (7; 5) se confunde el occidente con el oriente.
Desde $\left(2;\ 1\right)$, Mariana sigue las flechas → → ↑ ↑ ↑ ←. Cada flecha es una cuadra. ¿A qué punto llega?
Hay dos → y una ←: en total avanza 1 cuadra al oriente, y el primer número pasa de 2 a 3. Hay tres ↑: el segundo pasa de 1 a 4. Llega a (3; 4).
Un domiciliario va 3 cuadras al oriente, 2 al norte y otra vez 1 al oriente. ¿Cuántas cuadras recorre?
Se juntan todas las cuadras del camino, sin importar la dirección: 3 + 2 + 1 = 6 cuadras.
En el mapa del pueblo, cada cuadra mide 100 m. ¿Cuántos metros recorre alguien que camina 3 cuadras al oriente, 2 al norte y 1 más al oriente?
Son 3 + 2 + 1 = 6 cuadras. Cada una son 100 m: 6 × 100 = 600 m.
Para volver del museo, en $\left(5;\ 4\right)$, al hotel, en $\left(1;\ 1\right)$, Tatiana camina primero al occidente y luego al sur. ¿Cuántas cuadras camina al occidente?
Al occidente el primer número baja de 5 a 1: son 5 − 1 = 4 cuadras. Después baja 4 − 1 = 3 cuadras al sur. Es el mismo camino de ida, al revés.
¿Cuántos metros mide el camino más corto por las calles entre el hotel, en $\left(1;\ 1\right)$, y el mirador, en $\left(7;\ 6\right)$? Cada cuadra mide 100 m.
El camino más corto no se devuelve: 7 − 1 = 6 cuadras al oriente y 6 − 1 = 5 al norte, en total 11 cuadras. Son 11 × 100 = 1100 m.
Ruta 1: 4 cuadras al oriente y 3 al norte. Ruta 2: 1 al norte, 4 al oriente y 2 al norte. ¿Verdadero o falso? Las dos rutas miden lo mismo.
Es verdadero. Las dos tienen 7 cuadras: 4 + 3 = 7 y 1 + 4 + 2 = 7. Ninguna se devuelve, así que las dos son de las más cortas.
Andrés camina hacia el sur por una calle y gira a su derecha. ¿Hacia dónde camina ahora?
Quien mira hacia el sur tiene el occidente a su derecha. El oriente es la derecha solo cuando se mira hacia el norte, como cuando se lee el mapa con el norte arriba.
Tatiana está en el hotel y quiere ir a la plaza de mercado. ¿Qué mensaje le sirve? Mira el primer mapa.
La plaza está en (2; 5) y el hotel en (1; 1). El primer número crece 1: 1 cuadra al oriente. El segundo crece 4: 4 cuadras al norte. El último mensaje no sirve: no dice cuánto caminar y la derecha depende de hacia dónde mire Tatiana.
Tatiana sale del hotel. Díctale el camino a la plaza de mercado con los puntos cardinales, cuadra por cuadra, y toca «Comprobar».
Reto
¿Qué número de la pareja cambia?
Piensa si el camino va a lo ancho del mapa o a lo alto.
Reto
Abre el candado de Tatiana.
Cada pista da un dígito. Lee en cada una desde dónde se sale.
Reto
Encuentra las palabras de los recorridos.
Cierre
En resumen
En un mapa con el norte arriba, el sur queda abajo, el oriente a la derecha y el occidente a la izquierda; el sol sale por el oriente y se oculta por el occidente.
Ir al oriente suma al primer número de la pareja y al occidente le resta; ir al norte suma al segundo y al sur le resta.
La derecha y la izquierda dependen de hacia dónde miras; los puntos cardinales no cambian. Quien camina hacia el sur tiene el occidente a su derecha.
Un recorrido que no se devuelve es de los más cortos; cada cuadra que se devuelve se camina dos veces.
Con la escala de 100 m por cuadra, los metros de un recorrido son sus cuadras por 100.
Vocabulario
- Puntos cardinales
Las cuatro direcciones fijas para orientarse: norte, sur, oriente y occidente.
- Oriente
La dirección por donde sale el sol. También se llama este. En un mapa con el norte arriba, queda a la derecha.
- Occidente
La dirección por donde se oculta el sol. También se llama oeste. En un mapa con el norte arriba, queda a la izquierda.
- Trayectoria
El camino que sigue algo o alguien para ir de un lugar a otro.
- Escala
Lo que mide en la realidad cada medida del mapa. Aquí, cada cuadra del mapa son 100 m.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Salgan al patio o miren por la ventana: ubiquen por dónde sale el sol en la mañana (el oriente). Pida a todos señalar el norte, el sur y el occidente desde ahí. No se mira directamente al sol: basta con ver hacia qué lado caen las sombras.
- Explicación · 15 min — Puntos cardinales en el mapa; qué número cambia con cada dirección; el recorrido del hotel al museo en el tablero; la trampa de la derecha: un estudiante camina hacia el sur del salón y levanta la mano derecha para que todos vean que apunta al occidente.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales con los dos mapas y retos en parejas. Cada pareja escribe un recorrido con flechas y el compañero halla el punto de llegada.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe a Tatiana un mensaje con puntos cardinales para ir de un lugar del mapa a otro, y propone una segunda ruta igual de corta.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué «gire a la derecha» puede llevar a dos lugares distintos y «camine al oriente» no?
- ¿Por qué todas las rutas que solo van al oriente y al norte miden lo mismo?
- Si una ruta tiene una flecha ← y otra →, ¿qué pasa con el primer número?
Errores típicos
- Confundir el oriente con el occidente. Use la frase «el sol se oculta por el occidente» y deje marcado en una pared del salón el lado por donde sale el sol.
- Girar a la derecha de la hoja cuando el personaje camina hacia el sur. Pida girar el mapa en las manos hasta que el camino apunte hacia adelante, o que un estudiante camine en el salón y señale con la mano.
- Sumar al primer número cuando se va al norte (cambiar el número equivocado). Recuerde que oriente y occidente son a lo ancho del mapa, como el eje x, y norte y sur son a lo alto, como el eje y.
- Contar la línea donde empieza el recorrido como una cuadra más. Pida contar saltos de esquina a esquina y comprobar con la resta de los números de la pareja.
Tarea sugerida
Dibujar en papel cuadriculado un mapa del barrio con el norte arriba, una escala de 100 m por cuadra y cuatro lugares. Escribir a un turista dos recorridos distintos entre la casa y el lugar más lejano, con puntos cardinales, y calcular cuántos metros mide cada uno.