Patrones y tablas de variación
Lo que vas a aprender
- Organizar en una tabla los términos de un patrón de figuras.
- Describir con palabras la relación entre las dos columnas de una tabla, y no solo cómo cambia una de ellas.
- Calcular términos lejanos con esa relación.
- Hallar el lugar de un valor dado deshaciendo las operaciones de la relación.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Para la fiesta del colegio van a unir mesas cuadradas en una fila larga. ¿Cuántas sillas caben alrededor? Nadie quiere contarlas una por una cuando son 20 mesas. Y si llegan 30 invitados, ¿cuántas mesas hay que unir?
Cuando una cantidad depende de otra, hay una regla escondida que las une. En esta lección vas a organizar los datos en una tabla y a descubrir esa regla. Con ella vas a saltar directo a la fila 100 y también a recorrer el camino al revés.
Explicación
Cuadros con palillos
Con palillos de dientes se arman cuadros en fila. Los cuadros vecinos comparten un palillo. Mira las tres primeras figuras.
Las tres primeras figuras de cuadros en fila. La figura 1 tiene 1 cuadro, la figura 2 tiene 2 cuadros y la figura 3 tiene 3. Cada raya es un palillo.
Si cuentas, la figura 1 usa 4 palillos, la figura 2 usa 7 y la figura 3 usa 10. Con eso armas una tabla de variación:
| Figura (cuadros) | Palillos |
|---|---|
| 1 | 4 |
| 2 | 7 |
| 3 | 10 |
| 4 | 13 |
| 5 | 16 |
Mirar una columna no basta
Lo primero que se ve es que los palillos van de 3 en 3. Es cierto: cada cuadro nuevo pide 3 palillos, porque uno de sus lados ya estaba puesto. Pero ese «más 3» solo te dice cómo pasar de una fila a la siguiente. Para la figura 100 tendrías que sumar 3 casi cien veces.
Lo que de verdad sirve es la relación entre las dos columnas: qué cuenta convierte el número de cuadros en el número de palillos, en cualquier fila. Aquí es «multiplica los cuadros por 3 y suma 1». El 1 es el palillo de la izquierda, con el que empieza la fila. Compruébalo: la figura 4 da $(3 \times 4) + 1 = 13$. Una regla de verdad funciona en todas las filas.
Cuidado con el doble
La figura 5 usa 16 palillos. ¿La figura 10 usará el doble, 32? No. Usa 31. El palillo de la izquierda no se duplica: se pone una sola vez. En estos patrones, duplicar la primera columna no duplica la segunda. Por eso no se resuelven con «al doble, el doble».
El camino al revés
A veces sabes el valor y te preguntan el lugar: ¿qué figura usa 61 palillos? Escribes la relación con una casilla para el número que no conoces: $(3 \times \square) + 1 = 61$. Luego deshaces las operaciones en orden inverso, como en la unidad 1: primero quitas el 1 y después divides entre 3.
Inventa tu propio patrón
Prueba con triángulos en fila: cada triángulo nuevo comparte un palillo con el anterior. Arma la tabla, busca qué tienen en común todas las filas y escribe la regla con tus palabras. Así se inventan los patrones: primero un dibujo, después una tabla y al final una regla.
Ejemplo resuelto
La figura 20 sin dibujarla
¿Cuántos palillos usa la figura 20 de los cuadros en fila? La figura 1 usa 4 palillos, la 2 usa 7 y la 3 usa 10.
Ver la solución paso a paso
Mirando solo la columna de los palillos, cada fila crece:
$$7 - 4$$
Crece $3$ palillos por figura. Pero no queremos sumar de 3 en 3 hasta la figura 20.
Buscamos la relación entre columnas: «cuadros por 3, más 1». La probamos en la figura 3 de la tabla:
$$\left(3 \times 3\right) + 1$$
Da $10$, igual que en la tabla. La regla funciona.
Ahora la usamos con la figura 20:
$$\left(3 \times 20\right) + 1$$
Hacemos la cuenta.
$$61$$
Respuesta: La figura 20 usa 61 palillos.
Ejemplo resuelto
¿Qué figura usa 61 palillos?
Mateo armó una figura de cuadros en fila con 61 palillos. ¿Cuántos cuadros tiene?
Ver la solución paso a paso
La relación es «cuadros por 3, más 1». No sabemos los cuadros, así que van en la casilla: $\left(3 \times \square\right) + 1 = 61$
La última operación fue sumar 1. La deshacemos restando 1 a los dos lados: $3 \times \square = 60$
Antes se había multiplicado por 3. Lo deshacemos dividiendo entre 3: $\square = 20$
Comprobamos poniendo 20 en la casilla:
$$\left(3 \times 20\right) + 1 = 61$$
Respuesta: Tiene 20 cuadros. Es la figura 20.
Tres mesas cuadradas unidas en fila, vistas desde arriba. Cada punto es una silla: 3 arriba, 3 abajo y 1 en cada punta.
Ejemplo resuelto
Las mesas de la fiesta
En cada mesa cuadrada cabe una silla por lado. Si se unen 10 mesas en fila, ¿cuántas sillas caben? ¿Y cuántas mesas hacen falta para 30 sillas?
Ver la solución paso a paso
Una mesa sola tiene 4 sillas, pero al unirlas se pierden los lados que se tocan. Mira la figura de 3 mesas: hay una silla arriba y una abajo por cada mesa, más las 2 de las puntas. Lo comprobamos:
$$\left(2 \times 3\right) + 2 = 8$$
La relación es «mesas por 2, más 2». Con 10 mesas:
$$\left(2 \times 10\right) + 2$$
Caben $22$ sillas. Si alguien piensa «4 sillas por mesa» y multiplica 4 por 10, le dan 40: cuenta las sillas de los lados que se juntaron, donde no cabe nadie.
Ahora al revés. Las mesas van en la casilla: $\left(2 \times \square\right) + 2 = 30$
Deshacemos la suma restando 2: $2 \times \square = 28$
Deshacemos la multiplicación dividiendo entre 2: $\square = 14$
Respuesta: Con 10 mesas caben 22 sillas. Para 30 sillas hacen falta 14 mesas.
La tabla de las mesas como puntos: (mesas; sillas). Cada mesa más sube la gráfica 2 sillas, y por eso los puntos quedan en línea.
Práctica
En los cuadros en fila hechos con palillos, ¿cuántos palillos usa la figura 6?
Con la relación «cuadros por 3, más 1»: (3 × 6) + 1 = 19. También sale de la tabla: después de 16 viene 16 + 3 = 19.
¿Cuántos palillos usa la figura 15 de los cuadros en fila?
(3 × 15) + 1 = 45 + 1 = 46 palillos. Con la relación entre columnas no hace falta llenar la tabla hasta la fila 15.
¿Qué figura de cuadros en fila usa 31 palillos? Escribe el número de cuadros.
Se escribe (3 × □) + 1 = 31. Se resta 1: 3 × □ = 30. Se divide entre 3: □ = 10. Comprobación: (3 × 10) + 1 = 31.
La figura 5 de los cuadros en fila usa 16 palillos. Pablo dice que la figura 10 usa el doble, 32. ¿Cuántos palillos usa en realidad la figura 10?
Con la relación, (3 × 10) + 1 = 31. Pablo duplicó también el palillo de la izquierda, que se pone una sola vez. La opción 40 sale de pensar «4 palillos por cuadro», sin ver que los vecinos comparten.
¿Verdadero o falso? En los cuadros en fila, la figura 10 usa el doble de palillos que la figura 5.
Es falso. La figura 10 usa 31 palillos y la figura 5 usa 16. El doble de 16 es 32, no 31. Duplicar los cuadros no duplica los palillos.
Se unen 7 mesas cuadradas en fila, con una silla por cada lado libre. ¿Cuántas sillas caben?
Hay una silla arriba y otra abajo por cada mesa, más las 2 de las puntas: (2 × 7) + 2 = 16. En la gráfica, el punto que sigue a (6; 14) es (7; 16).
Para el almuerzo de la vereda llegan 40 personas. ¿Cuántas mesas cuadradas hay que unir en fila para que cada una tenga su silla?
Se escribe (2 × □) + 2 = 40. Se resta 2: 2 × □ = 38. Se divide entre 2: □ = 19 mesas. Comprobación: (2 × 19) + 2 = 40.
Mira la tabla. Posición 1: 7. Posición 2: 12. Posición 3: 17. Posición 4: 22. ¿Qué número va en la posición 10?
Crece de 5 en 5, y la relación es «posición por 5, más 2»: (5 × 10) + 2 = 52. El 27 es solo el término siguiente, el de la posición 5. El 70 sale de multiplicar 7 por 10, como si fuera «al doble, el doble».
Mira la gráfica de las mesas. ¿Qué regla da el número de sillas para cualquier número de mesas?
«El doble más 2» funciona en todas las filas: 1 mesa, (2 × 1) + 2 = 4; 6 mesas, (2 × 6) + 2 = 14. «Las mesas más 2» falla ya con 1 mesa: daría 3, y son 4. «4 veces» solo sirve con una mesa sola. Que las sillas suban de 2 en 2 es cierto, pero eso solo dice cómo cambia la columna de las sillas, no cómo se calcula desde las mesas.
Laura arma triángulos en fila con palillos: la figura 1 usa 3, la figura 2 usa 5 y la figura 3 usa 7. ¿Qué regla funciona en todas las filas?
Con 3 triángulos: (2 × 3) + 1 = 7, como en la tabla. «Por 3» solo funciona con un triángulo, porque olvida que comparten palillos. «Sumar 2» dice cómo cambia una columna, pero no deja saltar a la figura 50.
Reto
Completa la tabla de los triángulos.
La regla es «triángulos por 2, más 1».
Reto
Une cada cuenta de la regla con su resultado.
Reto
Abre el candado de las mesas.
Mesas por 2, más 2, son las sillas. Al revés, se resta 2 y se divide entre 2.
Cierre
En resumen
Una tabla de variación muestra cómo cambia una cantidad cuando cambia otra: figura y palillos, mesas y sillas.
Ver de cuánto en cuánto crece una columna sirve para el término siguiente; para un término lejano se necesita la relación entre las dos columnas.
Una regla de verdad funciona en todas las filas: en los cuadros en fila, «cuadros por 3, más 1»; en las mesas, «mesas por 2, más 2».
En estos patrones, duplicar la primera columna no duplica la segunda.
Para hallar el lugar de un valor se escribe la relación con una casilla y se deshacen las operaciones en orden inverso.
Vocabulario
- Patrón
Una regla que se repite y permite saber qué viene después.
- Término
Cada número o cada figura de un patrón.
- Tabla de variación
Una tabla de dos columnas que muestra cómo cambia una cantidad cuando cambia la otra.
- Relación entre columnas
La cuenta que convierte el número de la primera columna en el de la segunda, en cualquier fila.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte cuántas sillas caben si se unen en fila 20 pupitres o mesas cuadradas. Anote las respuestas sin corregir; muchos dirán 80.
- Explicación · 15 min — Armen en grupos las tres primeras figuras con palillos de dientes (sin punta) o pitillos cortados, y llenen la tabla. Discuta por qué «más 3» no basta para la figura 100. Unan tres pupitres del salón y cuenten las sillas para comprobar la regla de las mesas.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales y retos en parejas. En cada tabla, la pareja escribe la regla con palabras y la prueba en dos filas.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante inventa un patrón de figuras, dibuja tres términos, arma la tabla y escribe la regla.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué la figura 10 no usa el doble de palillos que la figura 5?
- Si una regla funciona en la fila 1 pero no en la fila 3, ¿es la regla del patrón?
- ¿Cómo se deshace «multiplica por 3 y suma 1» para saber qué figura usa 61 palillos?
Errores típicos
- Buscar solo el patrón de una columna («van de 3 en 3») y no la relación entre las dos. Pida que, en cada fila, escriban qué cuenta convierte el número de la izquierda en el de la derecha, y que la prueben en todas las filas.
- Usar «al doble, el doble» en un patrón que no es proporcional (figura 10 = 2 × figura 5). Compruebe con la tabla o con palillos de verdad: la figura 10 tiene 31 palillos y no 32. Señale el palillo inicial, que no se duplica.
- Contar 4 palillos por cuadro o 4 sillas por mesa, sin ver lo que se comparte. Pida armar la figura con material y marcar con otro color los palillos o lados compartidos.
- Deshacer las operaciones en el mismo orden (dividir antes de restar). Recuerde la idea de la unidad 1: lo último que se hizo es lo primero que se deshace. Compruebe siempre poniendo el resultado en la casilla.
Tarea sugerida
Inventar un patrón con palillos o con fichas (casitas, hexágonos, una L que crece), dibujar las cuatro primeras figuras, armar la tabla, escribir la regla con palabras y usarla para calcular la figura 25 y para encontrar qué figura usa una cantidad dada.