Gráficas de variación: el recipiente que se llena
Lo que vas a aprender
- Organizar en una tabla y en una gráfica cómo cambia la cantidad de agua con el tiempo.
- Leer en la tabla y en la gráfica cuánto tarda en llenarse un recipiente y cuánta agua hay en un momento dado.
- Interpretar un tramo que sube, uno que baja y uno horizontal en una gráfica de variación.
- Explicar por qué la gráfica de la altura del agua no tiene la forma del recipiente.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la finca de don Hernán, el tanque del ganado se llena con una manguera. Si nadie la cierra a tiempo, el agua se rebosa y se pierde. ¿Cuánto tiempo hay que esperar? En la casa, tu mamá quiere saber en cuántas semanas la alcancía llega a lo que cuestan unos tenis. Y en la escuela, el tanque de reserva se va vaciando cuando se corta el agua.
En las tres situaciones hay algo que cambia con el tiempo. En esta lección vas a organizar esos cambios en una tabla, dibujarlos en una gráfica y leer en ella lo que va a pasar.
Explicación
El recipiente que se llena
Un recipiente con forma de cilindro, de paredes rectas, se llena con una llave. La llave vierte 4 litros cada 2 minutos. En el recipiente caben 28 litros: esa es su capacidad.
Empezamos con el recipiente vacío. Cada 2 minutos hay 4 litros más:
| Minutos | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Litros | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 |
Cada columna de la tabla es una pareja ordenada: (minutos; litros). La primera va en el eje horizontal y la segunda, en el vertical, igual que en el mapa. Al dibujar las parejas en el plano quedan en línea, porque en cada tramo de 2 minutos se suman siempre los mismos 4 litros.
Entre dos puntos también hay agua
La llave no echa el agua de golpe cada 2 minutos: la echa poco a poco, todo el tiempo. Por eso unimos los puntos con una línea. Así puedes leer momentos que no están en la tabla, como los 5 minutos.
Cuando ya no cabe más
A los 14 minutos el recipiente está lleno. Si la llave sigue abierta, el agua se rebosa y cae al piso, pero el nivel no sube más: dentro sigue habiendo 28 litros. En la gráfica, desde ahí la línea se vuelve horizontal. Un tramo horizontal quiere decir que el tiempo pasa y la cantidad no cambia.
No sigas el patrón a ciegas. Si a los 16 minutos dices «32 litros», estás olvidando que el recipiente tiene un tope.
Subir, bajar y quedarse quieto
En una gráfica de variación se lee de izquierda a derecha, como un texto:
- Si la línea sube, la cantidad aumenta: el recipiente se llena, la alcancía crece.
- Si la línea baja, la cantidad disminuye: un tanque se vacía.
- Si la línea es horizontal, la cantidad se queda igual.
- Si la línea está más empinada, la cantidad cambia más rápido.
La gráfica no es un dibujo del recipiente
Ahora piensa en otra cosa: no los litros, sino la altura del agua. En un recipiente de paredes rectas, la altura sube lo mismo cada minuto. Pero imagina un florero ancho abajo y angosto arriba. Abajo cabe mucha agua en cada centímetro, así que la altura sube despacio. Arriba cabe poca agua en cada centímetro, así que sube rápido.
La gráfica de la altura queda menos empinada al principio y más empinada al final. ¡No se parece al florero! Una gráfica no es una foto del recipiente: muestra qué tan rápido cambia una cantidad.
Gráfica del recipiente de 28 litros que se llena con 4 litros cada 2 minutos. Las líneas punteadas leen los 5 minutos. Desde los 14 minutos la línea es horizontal: está lleno.
Ejemplo resuelto
¿Cuánto tarda en llenarse?
Una llave vierte 4 litros cada 2 minutos en un recipiente de 28 litros. ¿Cuántos minutos tarda en llenarse?
Ver la solución paso a paso
Primero vemos cuántas tandas de 4 litros caben en 28 litros:
$$28 \div 4$$
Caben $7$ tandas.
Cada tanda tarda 2 minutos. Son 7 grupos iguales de 2 minutos:
$$7 \times 2$$
Tarda $14$ minutos. En la tabla, el 28 está debajo del 14.
Respuesta: El recipiente tarda 14 minutos en llenarse.
Ejemplo resuelto
Los litros a los 5 minutos
En el mismo recipiente, con 4 litros cada 2 minutos, ¿cuántos litros hay a los 5 minutos?
Ver la solución paso a paso
El 5 no está en la tabla. Buscamos cuánta agua cae en un solo minuto: si en 2 minutos caen 4 litros, en 1 minuto cae la mitad.
$$4 \div 2$$
Caen $2$ litros por minuto.
En 5 minutos caen 5 veces esos litros:
$$2 \times 5$$
Hay $10$ litros. Tiene sentido: a los 4 minutos había 8 litros, a los 6 había 12, y 10 queda justo en medio.
Respuesta: A los 5 minutos hay 10 litros. En la gráfica es el punto (5; 10).
Ejemplo resuelto
¿Qué pasa a los 16 minutos?
La llave del recipiente de 28 litros sigue abierta a los 16 minutos. Echa 2 litros por minuto. ¿Qué pasa con el nivel del agua?
Ver la solución paso a paso
Si seguimos el patrón sin pensar, multiplicamos 2 litros por 16 minutos y lo comparamos con lo que cabe:
$$2 \times 16 > 28$$
¡Saldrían más litros de los que caben! El recipiente se llenó a los 14 minutos. Desde ese momento el agua sobrante se rebosa, y dentro sigue habiendo:
$$28$$
Los litros que se rebosaron en esos minutos de más son la diferencia:
$$\left(2 \times 16\right) - 28$$
Se perdieron $4$ litros, que cayeron al piso.
Respuesta: A los 16 minutos el recipiente está lleno: el nivel no sube y hay 28 litros. La gráfica es horizontal desde los 14 minutos.
Ejemplo resuelto
El florero ancho abajo
Un florero tiene dos partes de 10 cm de alto cada una. En la parte ancha de abajo, cada centímetro de altura necesita 2 litros. En la parte angosta de arriba, cada centímetro necesita 1 litro. La llave echa 2 litros por minuto. ¿Cuánto tarda en llenarse cada parte?
Ver la solución paso a paso
La parte de abajo necesita 2 litros por cada uno de sus 10 cm:
$$2 \times 10$$
Son $20$ litros.
Con 2 litros por minuto, tarda:
$$20 \div 2$$
Tarda $10$ minutos en subir 10 cm: sube 1 cm por minuto.
La parte de arriba necesita 1 litro por cada uno de sus 10 cm, y tarda:
$$\left(1 \times 10\right) \div 2$$
Tarda solo $5$ minutos en subir otros 10 cm: sube 2 cm por minuto, el doble de rápido.
El florero se llena en total en:
$$10 + 5$$
Son $15$ minutos. La gráfica de la altura sube despacio 10 minutos y luego se empina: es al revés del florero, que es ancho abajo.
Respuesta: La parte ancha tarda 10 minutos y la angosta 5. La altura sube despacio al principio y rápido al final.
Altura del agua en el florero ancho abajo y angosto arriba. Los primeros 10 minutos la línea está menos empinada (sube 1 cm por minuto); los últimos 5, más empinada (2 cm por minuto).
El tanque de reserva de la escuela tiene 200 litros y pierde 25 litros cada hora. La línea baja: la cantidad disminuye. Úsala en las preguntas del tanque.
Práctica
En el recipiente de la lección, la llave vierte 4 litros cada 2 minutos. ¿Cuántos litros hay a los 9 minutos?
En 1 minuto caen 4 ÷ 2 = 2 litros. En 9 minutos caen 2 × 9 = 18 litros. Como 18 es menos que 28, todavía cabe.
La llave vierte 4 litros cada 2 minutos en el recipiente de 28 litros y nadie la cierra. ¿Cuántos litros hay dentro del recipiente a los 16 minutos?
Con el patrón saldrían 2 × 16 = 32 litros, pero solo caben 28. El recipiente se llenó a los 14 minutos; desde ahí el agua se rebosa y dentro siguen 28 litros.
Otra llave vierte 6 litros cada 3 minutos en una caneca de 40 litros vacía. ¿Cuántos minutos tarda en llenarse?
En 1 minuto caen 6 ÷ 3 = 2 litros. Para 40 litros hacen falta 40 ÷ 2 = 20 minutos.
¿Verdadero o falso? En la gráfica del recipiente de 28 litros, entre los 14 y los 18 minutos la cantidad de agua no cambia.
Es verdadero. A los 14 minutos ya hay 28 litros, y a los 18 sigue habiendo 28, porque no cabe más. Por eso ese tramo de la gráfica es horizontal.
Camila tiene 3000 pesos en la alcancía y cada semana guarda 2000 pesos más. ¿Cuántos pesos tiene al terminar la semana 6?
Empieza con 3000 y suma 2000 seis veces: 3000 + (2000 × 6) = 3000 + 12 000 = 15 000 pesos. Ojo: no es 2000 × 6 solamente, porque ya tenía 3000 al empezar.
Con la alcancía de Camila, que empieza en 3000 pesos y crece 2000 pesos cada semana, ¿en qué semana llega a 21 000 pesos?
Se escribe 3000 + (2000 × □) = 21 000. Se resta 3000: 2000 × □ = 18 000. Se divide entre 2000: □ = 9. Comprobación: 3000 + (2000 × 9) = 21 000.
El tanque de reserva de la escuela tiene 200 litros y pierde 25 litros cada hora. ¿Cuántos litros quedan a las 3 horas?
En 3 horas salen 25 × 3 = 75 litros. Quedan 200 − 75 = 125 litros. En la gráfica es el punto (3; 125).
El tanque de 200 litros pierde 25 litros cada hora. ¿A las cuántas horas queda vacío?
Hay que ver cuántas veces caben 25 litros en 200: 200 ÷ 25 = 8 horas. En la gráfica, la línea toca el eje horizontal en el 8.
En la gráfica del recipiente, ¿qué quiere decir el tramo horizontal que empieza a los 14 minutos?
En un tramo horizontal el tiempo sigue avanzando hacia la derecha, pero la altura de la línea, que son los litros, no cambia. El recipiente ya tiene sus 28 litros.
Un frasco es muy ancho abajo y muy angosto arriba. Se llena con una llave que echa siempre la misma agua por minuto. ¿Cómo sube la altura del agua?
Abajo, en cada centímetro cabe mucha agua, así que la altura tarda en subir. Arriba cabe poca, y sube rápido. La gráfica queda menos empinada al comienzo y más empinada al final: no tiene la forma del frasco.
Reto
Completa la tabla del recipiente.
La llave vierte 4 litros cada 2 minutos y caben 28 litros.
Reto
¿La línea sube, baja o se queda horizontal?
Lee cada situación de izquierda a derecha, como avanza el tiempo.
Reto
Abre el candado de las gráficas.
Cada pista da un dígito.
Cierre
En resumen
Una tabla de variación se dibuja en el plano con parejas (tiempo; cantidad): el tiempo en el eje horizontal y la cantidad en el vertical.
Con 4 litros cada 2 minutos caen 2 litros por minuto: el recipiente de 28 litros se llena en 14 minutos y a los 5 minutos tiene 10 litros.
Cuando el recipiente se llena, la gráfica se vuelve horizontal: el tiempo pasa y la cantidad no cambia. Un patrón no se sigue más allá del tope.
Si la línea sube, la cantidad aumenta; si baja, disminuye; si está más empinada, cambia más rápido.
La gráfica no es un dibujo del recipiente: en un recipiente ancho abajo, la altura sube despacio al principio y rápido al final.
Vocabulario
- Gráfica de variación
Un dibujo en el plano cartesiano que muestra cómo cambia una cantidad cuando cambia otra, por ejemplo los litros con los minutos.
- Capacidad
La cantidad de líquido que cabe en un recipiente cuando está lleno.
- Tramo horizontal
Una parte plana de la gráfica: el tiempo pasa, pero la cantidad no cambia.
- Nivel del agua
La altura a la que llega el agua dentro del recipiente.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte qué pasa si se deja una llave abierta sobre un balde que ya está lleno. ¿El nivel sigue subiendo? Anote las respuestas.
- Explicación · 15 min — Construyan juntos la tabla del recipiente y ubiquen los puntos en una cuadrícula grande en el tablero. Lean los 5 minutos con líneas punteadas. Si hay un patio con llave, el docente llena una botella grande y un frasco ancho abajo con un vaso medidor, de a un vaso por vez, y los estudiantes marcan con cinta la altura después de cada vaso: en el frasco, las marcas de abajo quedan juntas y las de arriba separadas. El agua se recoge en un balde para la huerta; no se usa ningún otro líquido.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales y retos en parejas. Para cada gráfica, la pareja cuenta con palabras qué pasa en cada tramo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante dibuja la gráfica de algo que sube, se queda quieto y después baja (el agua de la tina, la gente en el bus) y la explica en dos frases.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué unimos los puntos del recipiente con una línea y no los dejamos sueltos?
- ¿Qué dice el tramo horizontal de la gráfica? ¿Se detuvo el tiempo?
- Si un frasco es angosto abajo y ancho arriba, ¿cómo será la gráfica de la altura?
Errores típicos
- Seguir el patrón más allá de la capacidad (32 litros a los 16 minutos). Pida que, antes de responder, comparen el resultado con lo que cabe en el recipiente y que ubiquen el punto en la gráfica.
- Creer que la gráfica tiene la forma del recipiente: dibujarla ancha abajo para un frasco ancho abajo. Haga el experimento de los vasos y la cinta: las marcas de abajo quedan juntas (sube despacio) y las de arriba, separadas (sube rápido). Luego compare con la gráfica.
- Leer un tramo horizontal como «el tiempo se detuvo». Recuerde que el eje horizontal es el tiempo: moverse a la derecha es que pasan los minutos. Lo que no cambia es la altura de la línea.
- Olvidar el valor inicial (en la alcancía, calcular 2000 × 6 sin sumar los 3000 del comienzo). Pida escribir primero la fila 0 de la tabla, con lo que había al empezar.
Tarea sugerida
Con un adulto, llenar en la casa una botella plástica con un vaso, de a un vaso por vez, y marcar con cinta o con marcador la altura después de cada vaso. Hacer la tabla vasos–altura, dibujar la gráfica y escribir en qué partes de la botella el agua subió más rápido y por qué.