La media y la mediana
Lo que vas a aprender
- Hallar la media repartiendo en partes iguales y con la suma dividida entre el número de datos.
- Hallar la mediana ordenando primero los datos.
- Explicar qué dice la media y qué dice la mediana de un conjunto de datos.
- Elegir la medida que mejor representa un conjunto con un dato muy distinto y dar una razón.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
La profesora quiere contarle a la rectora cómo le fue al curso en la prueba de lectura. No va a leer las 30 notas una por una. Quiere un solo número que resuma cómo le fue al grupo.
Lo mismo pasa en la tienda, cuando doña Marta quiere saber cuántas arepas vende en un día normal, o en la finca, cuando don Julio quiere saber cuántos litros de leche da una vaca en un día. Para eso sirven la media y la mediana: dos maneras de resumir muchos datos en un número. Cada una cuenta algo distinto, y en esta lección vas a aprender cuándo conviene cada una.
Explicación
La media: repartir en partes iguales
Cuatro niños arman torres de cubos. Sofía hace una de 3 cubos, Tomás una de 7, Lucía una de 5 y Pedro una de 1. Las torres son muy distintas. ¿Y si las igualamos?
Tomás le pasa cubos a Pedro, Lucía le pasa uno a Sofía… hasta que todas las torres quedan del mismo alto. Ese alto común es la media. No se pierde ni se gana ningún cubo: solo se reparten.
Por eso la media se calcula así: se suman todos los datos y se divide entre cuántos datos hay. Sumar es juntar todos los cubos. Dividir es repartirlos en partes iguales. A la media también se le dice promedio.
Cuidado: la media no tiene que ser uno de los datos. Las torres eran de 3, 7, 5 y 1, y la media es 4. Ninguna torre tenía 4 cubos. La media puede ser hasta un número con coma, como 4,5, aunque nadie pueda tener medio cubo: es lo que le tocaría a cada uno si se pudiera repartir exacto.
La mediana: el dato del medio, con los datos en orden
La mediana es el dato que queda en el medio cuando los datos están ordenados de menor a mayor. La mitad de los datos queda a su izquierda y la otra mitad, a su derecha.
Primero se ordena. Siempre. Si tomas el dato que queda en el medio de la lista tal como llegó, sin ordenar, no es la mediana: es un dato cualquiera.
- Si hay un número impar de datos (5, 7, 9), hay un solo dato en el medio.
- Si hay un número par de datos (4, 6, 8), quedan dos en el medio. La mediana es el número que está justo entre ellos: se suman y se divide entre 2.
¿Media o mediana?
Las dos resumen los datos, pero se comportan distinto con un dato muy distinto a los demás.
Piensa en cinco amigos que ahorran plata. Cuatro ahorraron poco y uno recibió un regalo grande. La media reparte ese regalo entre todos y sube mucho. Queda más alta que lo que ahorró casi todo el grupo. La mediana no se deja arrastrar: sigue en el medio, donde está la mayoría.
Entonces:
- Cuando los datos son parecidos, la media y la mediana dan casi lo mismo. Cualquiera sirve.
- Cuando hay un dato muy distinto, la mediana suele contar mejor cómo es la mayoría.
- La media sirve cuando importa el total repartido: cuánto toca a cada uno.
Un promedio no es una regla para cada día
Un cartel del puesto de salud dice: «En promedio, haz 30 minutos de ejercicio al día». ¿Hay que hacer 30 minutos exactos cada día? No. «En promedio» quiere decir que, si sumas los minutos de la semana y los repartes en partes iguales entre los días, a cada día le tocan 30. Un día puedes hacer 45 y otro 15: uno compensa al otro.
Las torres de cubos de Sofía, Tomás, Lucía y Pedro. La raya punteada es la media: si se igualan las torres, todas quedan de 4 cubos. Ninguna torre tenía 4.
Ejemplo resuelto
Igualar las torres
Las torres tienen 3, 7, 5 y 1 cubos. ¿De qué alto quedan todas si se igualan?
Ver la solución paso a paso
Juntamos todos los cubos: $3 + 7 + 5 + 1$
Hay $16$ cubos.
Los repartimos en 4 torres iguales: $16 \div 4$
A cada torre le tocan $4$ cubos.
Es lo mismo que la media de los cuatro datos: $4$.
Respuesta: Todas quedan de 4 cubos. La media es 4, y ningún niño había hecho una torre de 4: la media no tiene que ser uno de los datos.
Ejemplo resuelto
Primero se ordena
Cinco niños de 5.º leyeron 8, 2, 9, 5 y 3 libros en el año. Mateo dice que la mediana es 9, porque es el número del medio. ¿Tiene razón?
Ver la solución paso a paso
Mateo tomó el del medio de la lista sin ordenar. Eso no es la mediana. Ordenamos de menor a mayor: 2, 3, 5, 8, 9.
Son 5 datos. El del medio es el tercero, con dos datos a cada lado: la mediana es $5$.
El 9 de Mateo es, en realidad, el dato más grande. Para comparar, la media es: $\left(8 + 2 + 9 + 5 + 3\right) \div 5$
La suma es 27, y la dividimos entre 5:
$$27 \div 5$$
Da un número con coma, que no está en la lista:
$$5{,}4$$
Respuesta: No. La mediana es 5, el dato del medio de la lista ordenada. La media es 5,4.
Ejemplo resuelto
Un dato muy distinto
Cinco amigos ahorraron en el mes 3000, 4000, 4000, 5000 y 24 000 pesos. El último recibió un regalo de su abuela. ¿Qué número cuenta mejor cuánto ahorra el grupo?
Ver la solución paso a paso
La media: sumamos y dividimos entre 5. $\left(3000 + 4000 + 4000 + 5000 + 24\,000\right) \div 5$
$40\,000 \div 5$
La media es $8000$ pesos.
La mediana: los datos ya están en orden, y el del medio es el tercero, $4000$ pesos.
Cuatro de los cinco ahorraron menos que la media. La media subió por un solo dato:
$$5000 < 8000$$
Respuesta: La mediana, 4000 pesos, cuenta mejor cuánto ahorra la mayoría. La media, 8000, la sube el regalo de un solo niño.
Ejemplo resuelto
Treinta minutos en promedio
Valentina hizo ejercicio esta semana 20, 45, 25, 10, 40, 35 y 35 minutos. ¿Cumplió con 30 minutos diarios en promedio, aunque ningún día hizo 30?
Ver la solución paso a paso
Sumamos los minutos de los 7 días: $20 + 45 + 25 + 10 + 40 + 35 + 35$
Son $210$ minutos en la semana.
Los repartimos entre los 7 días: $210 \div 7$
A cada día le tocan $30$ minutos.
Es la media de los siete datos: $30$ minutos.
Respuesta: Sí cumplió: su promedio es 30 minutos, aunque ningún día hizo 30 exactos. A los días de más de 30 (45, 40, 35 y 35) les sobran 15 + 10 + 5 + 5 = 35 minutos, y a los de menos (20, 25 y 10) les faltan 10 + 5 + 20 = 35: unos compensan a los otros. Decir que hay que hacer exactamente 30 cada día es falso.
Minutos de ejercicio de Valentina cada día (datos inventados). La raya punteada es la media, 30 minutos: lo que sobra arriba de la raya llena lo que falta abajo.
Práctica
En cinco días, la tienda de doña Marta vendió 6, 8, 7, 9 y 10 docenas de arepas. ¿Cuál es la media de docenas por día?
Se suman las ventas: 6 + 8 + 7 + 9 + 10 = 40. Se reparten entre los 5 días: 40 ÷ 5 = 8 docenas.
Los puntajes de cinco niños en un juego fueron 12, 7, 15, 9 y 11. ¿Cuál es la mediana?
Primero se ordena: 7, 9, 11, 12, 15. El del medio es 11. Si tomas el del medio sin ordenar te da 15, que es el más grande.
Cuatro gallinas pusieron 3, 9, 4 y 8 huevos en la semana. ¿Cuál es la mediana?
Ordenados: 3, 4, 8, 9. Son 4 datos, así que hay dos en el medio: 4 y 8. La mediana está justo entre ellos: (4 + 8) ÷ 2 = 6. La opción 6,5 sale de tomar los del medio sin ordenar, 9 y 4.
En la huerta, cuatro matas de tomate dieron 3, 4, 6 y 5 tomates. ¿Cuál es la media? Escríbela con coma.
La suma es 3 + 4 + 6 + 5 = 18 y hay 4 matas: 18 ÷ 4 = 4,5. Ninguna mata dio 4,5 tomates: la media no tiene que ser uno de los datos.
¿Verdadero o falso? Con los datos 2, 4 y 9, la media es 4, que es el dato del medio.
4 es la mediana, el dato del medio. La media es (2 + 4 + 9) ÷ 3 = 15 ÷ 3 = 5. Media y mediana no son lo mismo.
Andrés tiene cuatro notas y su promedio es 7. Tres de ellas son 6, 8 y 5. ¿Cuánto sacó en la cuarta?
Si el promedio de cuatro notas es 7, entre todas suman 4 × 7 = 28. Las tres que conocemos suman 6 + 8 + 5 = 19. La que falta es 28 − 19 = 9.
Los cinco amigos de antes compraron dulces: 4, 2, 3, 6 y 5 dulces. Hay que repartirlos todos de manera que cada uno quede con lo mismo. ¿Cuántos le tocan a cada uno?
Se juntan los dulces, 4 + 2 + 3 + 6 + 5 = 20, y se reparten entre 5: 20 ÷ 5 = 4. Repartir en partes iguales es justo lo que hace la media.
En una calle hay seis casas. Cinco pagan entre 40 000 y 50 000 pesos de luz al mes, y la sexta tiene una panadería con horno y paga mucho más. ¿Qué número cuenta mejor lo que paga una casa normal de esa calle?
La panadería es un dato muy distinto. La media lo reparte entre todos y queda más alta que lo que paga casi cualquier casa. La mediana queda en el medio, donde están las cinco casas parecidas.
Un cartel dice: «En promedio, cada niño debe hacer 30 minutos de ejercicio al día». Camilo dice que entonces tiene que hacer exactamente 30 minutos todos los días. ¿Qué le responderías?
El promedio es la media: los minutos de la semana repartidos en partes iguales. Valentina hizo 10 un día y 45 otro, y su promedio dio 30. Un solo día de 30 no alcanza: la semana tendría muy pocos minutos.
Con las notas 3, 4, 4, 9 y 10, ¿qué dice la mediana, que es 4?
La mediana parte los datos ordenados en dos mitades. Lo de repartir en partes iguales es la media, que aquí es (3 + 4 + 4 + 9 + 10) ÷ 5 = 6.
Reto
Ordena y halla las medidas.
Primero ordena de menor a mayor. La media es la suma dividida entre el número de datos.
Reto
Abre el candado de las medidas.
Cada pista da un dígito. ¡Ordena antes de buscar la mediana!
Cierre
En resumen
La media es lo que le toca a cada dato si se junta todo y se reparte en partes iguales: la suma dividida entre el número de datos.
La media no tiene que ser uno de los datos, y puede tener coma.
La mediana es el dato del medio de la lista ordenada; primero se ordena siempre. Con dos datos en el medio, es el número que queda justo entre ellos.
Con un dato muy distinto, la media se va hacia él y la mediana casi no se mueve: la mediana cuenta mejor cómo es la mayoría.
Un promedio de 30 minutos diarios no exige 30 minutos exactos cada día: unos días compensan a otros.
Vocabulario
- Media
También se llama promedio. Es lo que le tocaría a cada dato si se juntara todo y se repartiera en partes iguales: la suma de los datos dividida entre cuántos datos hay.
- Mediana
El dato del medio cuando los datos están ordenados de menor a mayor. Si hay dos en el medio, es el número que queda justo entre ellos.
- Dato muy distinto
Un dato mucho más grande o mucho más pequeño que los demás.
- Representativo
Un número que cuenta bien cómo son la mayoría de los datos.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Con cubos o tapas, cuatro estudiantes arman torres de 3, 7, 5 y 1 y el curso las iguala pasando piezas. Pregunte si alguna torre tenía al principio el alto final.
- Explicación · 15 min — Escriba la media como suma ÷ número de datos y relaciónela con las torres. Para la mediana, pida a cinco estudiantes pasar al frente con un número y ordenarse de menor a mayor: el del medio es la mediana. Repítalo con seis estudiantes. Lean el ejemplo del ahorro y el de los 30 minutos.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales y retos en parejas. En cada pregunta de mediana, el compañero revisa que la lista se haya ordenado antes.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe una lista de cinco datos en la que la media no sea uno de los datos y se la pasa a un compañero para comprobarla.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué al igualar las torres no cambia el número total de cubos?
- ¿Por qué hay que ordenar antes de buscar la mediana? Den un ejemplo en el que, sin ordenar, salga otro número.
- Si a una lista le agregamos un dato muy grande, ¿qué se mueve más, la media o la mediana?
Errores típicos
- Creer que la media siempre es uno de los datos. Vuelva a las torres de 3, 7, 5 y 1: la media es 4 y ninguna torre tenía 4. Pida inventar listas así.
- Tomar como mediana el dato del medio de la lista sin ordenar. Pida escribir siempre la lista ordenada en un renglón aparte antes de marcar el del medio, y tachar uno de cada punta hasta llegar al centro.
- Con un número par de datos, elegir uno de los dos del medio. Ubique los dos números del medio en la recta y busque el punto que queda justo entre ellos.
- Dividir la suma entre un número equivocado (entre 2, o entre el dato mayor). Pida contar los datos con el dedo y escribir «son ___ datos» antes de dividir.
- Creer que un promedio obliga a que cada dato sea igual al promedio. Use la semana de Valentina: los días de más compensan los de menos, como al igualar torres.
Tarea sugerida
Anotar durante cinco días cuántos minutos se tarda en llegar al colegio o cuántos minutos de ejercicio se hacen. Hallar la media y la mediana y escribir cuál de las dos cuenta mejor un día normal y por qué.