¿Qué tan posible es?
Lo que vas a aprender
- Distinguir situaciones aleatorias de situaciones que no lo son.
- Escribir la lista de todos los resultados posibles de un experimento simple y los favorables a un evento.
- Decir si un evento es seguro, posible o imposible y cuál de dos eventos es más posible, comparando casos favorables de casos posibles.
- Decidir si un juego de azar es justo y explicar por qué.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En el día de la recreación hay rifas, ruletas y juegos con dados. Antes de elegir un juego, conviene saber si se tienen buenas posibilidades de ganar, o si el juego favorece a otro.
Nadie puede saber qué número va a salir en un dado. Pero sí se puede saber qué tan posible es cada cosa. En esta lección vas a hacer la lista de todo lo que puede salir, a contar lo que te sirve y a comparar. Así vas a anticipar cuál evento es más posible y vas a descubrir si un juego es justo o tiene trampa.
Explicación
¿Aleatorio o no?
Una situación es aleatoria cuando sabemos qué puede pasar, pero no qué va a pasar. Al lanzar una moneda puede salir cara o sello, y nadie sabe cuál saldrá. Al sacar una balota de una bolsa sin mirar pasa lo mismo.
Otras situaciones no son aleatorias: ya se sabe qué va a pasar. Después del martes viene el miércoles. Si sueltas una piedra, cae. Si sumas 3 + 4, da 7.
Casos posibles y casos favorables
Para pensar en una situación aleatoria, primero se hace la lista de todos los resultados posibles. Son los casos posibles. En un dado son seis: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. En una moneda son dos: cara y sello.
Después se elige un evento, lo que nos interesa que salga. Por ejemplo, «sacar un número par». Los resultados que hacen que ese evento pase son los casos favorables. Para «sacar par» son tres: 2, 4 y 6. Decimos que el evento tiene 3 casos favorables de 6 casos posibles.
Seguro, posible o imposible
- Si todos los casos posibles son favorables, el evento es seguro. «Sacar un número menor que 7» en un dado tiene 6 de 6.
- Si ninguno es favorable, es imposible. «Sacar un 8» en un dado tiene 0 de 6.
- Si algunos son favorables, es posible. Y entre dos eventos posibles, unos son más posibles que otros.
¿Cuál es más posible?
Si los casos posibles son los mismos, gana el evento con más casos favorables. En un dado, «sacar par» tiene 3 de 6 y «sacar 5 o 6» tiene 2 de 6. Sacar par es más posible.
Cuidado cuando los casos posibles no son los mismos. Una bolsa puede tener más balotas rojas que otra y, aun así, ser peor para sacar roja, si tiene muchas más balotas de otro color. Hay que mirar los favorables y el total. Una buena ayuda es compararlos con la mitad: ¿las rojas son más de la mitad de la bolsa o menos? Si en las dos bolsas quedan del mismo lado de la mitad, esta ayuda no alcanza para decidir.
La moneda no tiene memoria
Imagina que lanzas una moneda y sale cara tres veces seguidas. Mucha gente piensa: «ahora tiene que salir sello». No es así. La moneda no se acuerda de lo que salió antes. En el cuarto lanzamiento sigue teniendo dos casos posibles, cara y sello, y cada uno tiene 1 caso favorable de 2. Puede salir cara otra vez. Lo mismo pasa con un dado: si el 6 salió varias veces, en el siguiente lanzamiento sigue siendo 1 de 6.
¿Es justo el juego?
Un juego es justo cuando cada jugador tiene los mismos casos favorables de los mismos casos posibles. Si uno tiene más, el juego lo favorece. Aun así, en un juego que no es justo puede ganar el otro alguna vez: es azar. Lo que cambia es quién tiene más posibilidades.
Las seis caras de un dado: son los 6 casos posibles al lanzarlo.
Ejemplo resuelto
Comparar eventos con un dado
Se lanza un dado de 6 caras. Compara los eventos «sacar par», «sacar 5 o 6», «sacar menor que 7» y «sacar 8».
Ver la solución paso a paso
Los casos posibles son 1, 2, 3, 4, 5 y 6:
$$1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1$$
Son $6$ casos posibles.
«Sacar par»: los favorables son 2, 4 y 6. «Sacar 5 o 6»: son 5 y 6. Con los mismos casos posibles, gana el que tiene más favorables:
$$3 > 2$$
«Sacar menor que 7»: los seis números son favorables. Es seguro.
$$6 = 6$$
«Sacar 8»: ningún número del dado es 8. Tiene 0 casos favorables: es imposible.
Respuesta: Sacar par (3 de 6) es más posible que sacar 5 o 6 (2 de 6). Sacar menor que 7 es seguro (6 de 6) y sacar 8 es imposible (0 de 6).
Ejemplo resuelto
Más rojas no siempre es más posible
La bolsa A tiene 3 balotas rojas y 1 azul. La bolsa B tiene 4 rojas y 6 azules. Sin mirar, se saca una balota. ¿En qué bolsa es más posible sacar roja?
Ver la solución paso a paso
Casos posibles en la bolsa A: $3 + 1$
Son $4$ balotas. Las rojas son 3 de 4.
Casos posibles en la bolsa B: $4 + 6$
Son $10$ balotas. Las rojas son 4 de 10.
La bolsa B tiene más rojas que la A. Pero comparemos con la mitad de cada bolsa. En A, la mitad son 2 balotas, y hay 3 rojas: más de la mitad.
$$3 > 4 \div 2$$
En B, la mitad son 5 balotas, y hay 4 rojas: menos de la mitad.
$$4 < 10 \div 2$$
Respuesta: Es más posible sacar roja de la bolsa A. Aunque B tiene más rojas, también tiene muchas más azules: no basta contar los favorables, hay que mirar el total.
Es la bolsa A: 3 rojas y 1 azul. Saca balotas muchas veces, devolviendo cada una, y mira qué color sale más. Es el que tiene más casos favorables.
Ejemplo resuelto
Tres caras seguidas
Juliana lanzó una moneda y salió cara, cara y cara. Dice que en el siguiente lanzamiento es más posible sello. ¿Tiene razón?
Ver la solución paso a paso
Los casos posibles del siguiente lanzamiento son cara y sello: $1 + 1$
Son $2$, los mismos de siempre.
Sello tiene 1 caso favorable de 2, y cara también tiene 1 de 2. Ninguno tiene más:
$$1 = 1$$
Lo que salió antes no cambia la moneda. No tiene memoria.
Respuesta: No tiene razón. Cara y sello siguen igual de posibles, 1 de 2 cada uno. Puede salir cara una cuarta vez.
Las ruletas de Javier y Arturo, de 6 partes iguales cada una. La de Javier tiene los números 2, 4, 5, 6, 8 y 9; la de Arturo, 1, 2, 3, 4, 6 y 8. En azul, las partes con número par; en naranja, las de número impar.
Ejemplo resuelto
Las ruletas de Javier y Arturo
En el día de la recreación, Javier gira la ruleta 1 (2, 4, 5, 6, 8, 9) y gana si saca par. Arturo gira la ruleta 2 (1, 2, 3, 4, 6, 8) y gana si saca impar. ¿Es justo el juego?
Ver la solución paso a paso
Cada ruleta tiene 6 partes iguales: los dos tienen 6 casos posibles.
Javier: los pares de su ruleta son 2, 4, 6 y 8. Arturo: los impares de la suya son 1 y 3. Comparamos los favorables:
$$4 > 2$$
Javier tiene $2$ casos favorables más que Arturo.
Para que fuera justo, los dos tendrían que tener los mismos favorables. Si en la ruleta 2 el 6 se cambia por un 9 y el 8 por un 7, Arturo tendría 1, 3, 7 y 9, tantos como Javier:
$$1 + 1 + 1 + 1 = 4$$
Respuesta: No es justo: Javier tiene 4 casos favorables de 6 y Arturo solo 2 de 6. Arturo puede ganar alguna vez, pero el juego favorece a Javier.
Práctica
En una bolsa hay 5 balotas rojas, 3 verdes y 4 amarillas. Se saca una sin mirar. ¿Cuántos casos posibles hay?
Cada balota es un caso posible: 5 + 3 + 4 = 12.
En la misma bolsa de 5 rojas, 3 verdes y 4 amarillas, ¿cuántos casos favorables tiene el evento «no sacar roja»?
«No sacar roja» se cumple con las verdes y con las amarillas: 3 + 4 = 7 casos favorables de 12.
Se lanza un dado de 6 caras. ¿Cuántos casos favorables tiene «sacar un número mayor que 2»?
Los números mayores que 2 son 3, 4, 5 y 6: son 4. La opción 3 olvida el 6, y la 5 cuenta también el 2, que no es mayor que 2.
Una ruleta tiene 8 partes iguales con los números del 1 al 8. ¿Cuántos casos favorables tiene «sacar un número par»?
Los pares del 1 al 8 son 2, 4, 6 y 8: 4 casos favorables de 8. Es justo la mitad.
Una ruleta tiene 10 partes iguales: 4 azules, 3 rojas y el resto verdes. ¿Cuántos casos favorables tiene «sacar verde»?
Las verdes son las que quedan: 10 − 4 − 3 = 3. Verde y rojo tienen los mismos casos favorables, 3 de 10: son igual de posibles.
¿Verdadero o falso? Con un dado, «sacar par» es más posible que «sacar 5 o 6».
Par tiene 2, 4 y 6, que son 3 casos favorables. «5 o 6» tiene 2. Los casos posibles son los mismos, 6, así que gana el que tiene más favorables.
¿Verdadero o falso? Si al lanzar una moneda salió cara tres veces seguidas, en el siguiente lanzamiento sello tiene más casos favorables que cara.
Es falso. Cara y sello siguen teniendo 1 caso favorable de 2 cada uno. La moneda no recuerda lo que salió: puede salir cara otra vez.
¿Cuál de estas situaciones es aleatoria?
En el sorteo se sabe quiénes pueden salir, pero no quién va a salir: es aleatorio. Después de marzo siempre viene abril, la suma siempre da 40 y el timbre programado suena a la hora fija.
La bolsa A tiene 2 balotas negras y 2 blancas. La bolsa B tiene 3 negras y 9 blancas. Pablo quiere sacar negra y elige B porque tiene más negras. ¿Qué le dirías?
En A hay 2 negras de 4: la mitad. En B hay 3 negras de 12, y la mitad de 12 es 6: las negras no llegan a la mitad. Hay que mirar el total, no solo los favorables.
Lina y Óscar giran una ruleta de 6 partes iguales. ¿Con cuál ruleta el juego «Lina gana con rojo, Óscar gana con azul» es justo?
Es justo cuando los dos tienen los mismos favorables de los mismos posibles: 3 de 6 y 3 de 6. En las demás, Lina tiene 4, 4 o 5 casos favorables y Óscar solo 2, 2 o 1.
Reto
Se lanza un dado de 6 caras. ¿Seguro, posible o imposible?
Cuenta los casos favorables: todos, algunos o ninguno.
Reto
Abre el candado del azar.
Cada pista da un dígito. Haz primero la lista de los casos.
Reto
El crucigrama del azar.
Cierre
En resumen
Una situación es aleatoria cuando se sabe qué puede pasar, pero no qué va a pasar.
Los casos posibles son todos los resultados que pueden salir; los casos favorables son los que hacen que el evento ocurra.
Un evento es seguro si todos los casos son favorables, imposible si ninguno lo es y posible si algunos lo son.
Con los mismos casos posibles, es más posible el evento con más casos favorables; si los totales son distintos, hay que mirar también el total.
La moneda y el dado no tienen memoria: lo que salió antes no cambia lo que puede salir. Un juego es justo si todos tienen los mismos favorables de los mismos posibles.
Vocabulario
- Situación aleatoria
Una situación en la que se sabe qué puede pasar, pero no qué va a pasar: lanzar un dado, girar una ruleta.
- Casos posibles
Todos los resultados que pueden salir en un experimento. En un dado son 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
- Evento
Lo que nos interesa que salga, por ejemplo «sacar un número par».
- Casos favorables
Los resultados que hacen que el evento ocurra. Para «sacar par» en un dado son 2, 4 y 6.
- Juego justo
Un juego en el que todos los jugadores tienen los mismos casos favorables de los mismos casos posibles.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Lance una moneda tres veces delante del curso y, antes del cuarto lanzamiento, pregunte qué saldrá. Anote cuántos dicen «sello porque ya toca» y déjelo para el final.
- Explicación · 15 min — Hagan la lista de casos del dado y de una bolsa con tapas de colores. Comparen las dos bolsas del ejemplo con tapas de verdad. Presente las ruletas de Javier y Arturo y pida a cada pareja contar los favorables antes de decidir si el juego es justo.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales y retos en parejas. Cada pareja arma una ruleta de papel con 6 partes iguales para que un juego sea justo y otra para que no lo sea.
- Cierre · 5 min — Vuelvan a la moneda del inicio: lancen varias veces y miren que después de tres caras puede salir cara de nuevo.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué después de tres caras no «toca» sello?
- Si una bolsa tiene más balotas rojas que otra, ¿siempre es más fácil sacar roja de ella? Den un ejemplo.
- ¿Qué habría que cambiar en las ruletas de Javier y Arturo para que el juego sea justo?
Errores típicos
- Creer que si salió cara tres veces, la próxima tiene que salir sello. Recuerde que la moneda no tiene memoria y haga lanzar en parejas: aparecerán rachas de cuatro o cinco caras.
- Olvidar casos al hacer la lista (contar 5 caras en el dado) o contar uno dos veces. Pida escribir la lista completa en orden antes de contar y tachar cada caso al revisarlo.
- Decidir solo por los casos favorables cuando los totales son distintos. Pida escribir «___ de ___» para cada bolsa y comparar cada parte con la mitad del total.
- Confundir «poco posible» con «imposible». Pregunte si hay al menos un caso favorable: si hay uno, ya es posible.
- Creer que si un juego no es justo, el favorecido gana siempre. Jueguen varias rondas con las ruletas y vean que Arturo también gana a veces.
Tarea sugerida
Con un adulto de la casa, inventar un juego con un dado o con tapas de colores en una bolsa. Escribir la lista de casos posibles, los favorables de cada jugador y si el juego es justo. Si no lo es, cambiar una regla para que lo sea.