Operaciones con naturales y sus propiedades
Lo que vas a aprender
- Calcular un mismo resultado de dos maneras usando las propiedades conmutativa, asociativa, modulativa y distributiva.
- Resolver cadenas de operaciones con paréntesis y potencias siguiendo la jerarquía de las operaciones.
- Escribir y calcular potencias como productos repetidos, en especial cuadrados y cubos.
- Interpretar el cociente y el residuo de una división en un problema.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Imagina que vas con tu curso a una salida pedagógica y te toca llevar las cuentas: cuántos buses hay que pedir, cuánto cuestan las boletas de todos, cuántas onces se compran. Con una calculadora sale, pero muchas veces no la tienes a mano, o quieres saber rápido si un resultado tiene sentido.
En esta lección vas a ver que una misma cuenta se puede hacer de varias maneras, y que algunas son mucho más fáciles que otras. Las propiedades de las operaciones te dicen qué cambios puedes hacer sin que el resultado cambie. También vas a aprender en qué orden se resuelve una cadena de operaciones, para que todos lleguen al mismo resultado, y qué es una potencia.
Antes de empezar repasa las tablas de multiplicar: son la herramienta que más vas a usar en toda esta unidad.
Explicación
Las cuatro operaciones
Los números naturales son los que usamos para contar: 0, 1, 2, 3… Con ellos hacemos cuatro operaciones. En la suma los números se llaman sumandos; en la resta, el número del que se quita es el minuendo y el que se quita, el sustraendo; en la multiplicación se llaman factores, y el resultado, producto. En la división hay un dividendo, un divisor, un cociente y, si la división no es exacta, un residuo.
Con los naturales no siempre se puede restar: a 5 no le puedes quitar 8 y quedarte con un natural. Por eso, en esta lección, el número que se resta nunca es mayor que el otro.
Las propiedades: cambiar la cuenta sin cambiar el resultado
Conmutativa. En la suma y en la multiplicación, el orden de los números no cambia el resultado: dos bolsas de tres mangos son tantos mangos como tres bolsas de dos. Ojo: en la resta y en la división no se cumple. No es lo mismo repartir 12 dulces entre 3 niños que 3 dulces entre 12.
Asociativa. Cuando sumas o multiplicas tres números, puedes agrupar primero los que te convengan. Esto sirve para buscar parejas fáciles, como dos números que suman 100 o un 25 con un 4, que dan 100. No vale para la resta ni para la división: en las preguntas lo vas a comprobar con números.
Modulativa. Sumar 0 no cambia un número, y multiplicar por 1 tampoco. Por eso al 0 se le llama el módulo de la suma y al 1, el de la multiplicación.
Distributiva. Multiplicar un número por una suma es lo mismo que multiplicarlo por cada sumando y después sumar. ¿Por qué funciona? Piensa en 3 paquetes que traen cada uno 5 galletas y 2 jugos. Puedes contar lo que trae un paquete y multiplicar por 3, o contar todas las galletas, contar todos los jugos y sumar. Es la misma comida contada de dos maneras. Esta propiedad es la base del cálculo mental: para multiplicar por un número de dos cifras, lo partes en decenas y unidades.
Las potencias
Una potencia es una multiplicación de factores iguales escrita de forma corta. En $2^3$, el 2 es la base (el factor que se repite) y el 3 es el exponente (cuántas veces se repite). Cuidado con un error muy común: $2^3$ no es $2 \cdot 3$.
Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados, porque $5^2$ es la cantidad de baldosas de un piso cuadrado de 5 baldosas por lado. Las de exponente 3 se llaman cubos, porque $4^3$ es la cantidad de cubitos de un cubo grande de 4 cubitos por arista.
La jerarquía de las operaciones
Si cada persona resolviera una cadena de operaciones en el orden que quisiera, saldrían resultados distintos. Por eso hay un acuerdo, que se llama jerarquía de las operaciones:
- Primero, lo que está dentro de los paréntesis.
- Después, las potencias.
- Luego, las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
- Al final, las sumas y restas, de izquierda a derecha.
Los paréntesis sirven justamente para cambiar ese orden cuando queremos hacer primero una suma. Una división también se puede escribir con la raya de fracción o con una barra (/): las dos quieren decir «dividido entre», y lo de arriba y lo de abajo se calculan antes de dividir.
La división y su residuo
Cuando una división no es exacta, sobra algo: el residuo. Siempre se cumple que el dividendo es igual al divisor por el cociente más el residuo, y que el residuo es menor que el divisor (si no lo fuera, cabría una vez más). Esta igualdad sirve para comprobar cualquier división. En un problema, además, hay que pensar qué significa el residuo: a veces se descarta y a veces obliga a sumar uno más.
Ejemplo resuelto
Multiplicar partiendo en decenas y unidades
Una papelería recibe 6 cajas con 47 colores cada una. ¿Cuántos colores recibe?
Ver la solución paso a paso
Hay que calcular el producto:
$$6 \cdot 47$$
Partimos el 47 en decenas y unidades.
$$6 \cdot \left(40 + 7\right)$$
Aplicamos la propiedad distributiva: multiplicamos el 6 por cada parte.
$$6 \cdot 40 + 6 \cdot 7$$
Las dos multiplicaciones salen de memoria.
$$240 + 42$$
Y sumamos.
$$282$$
Respuesta: $282$
Ejemplo resuelto
Agrupar para calcular de memoria
Calcula mentalmente $25 \cdot 13 \cdot 4$ y también $38 + 47 + 62$.
Ver la solución paso a paso
Partimos de la multiplicación.
$$25 \cdot 13 \cdot 4$$
Por las propiedades conmutativa y asociativa, podemos juntar primero el 25 con el 4.
$$13 \cdot \left(25 \cdot 4\right)$$
Como cuatro veces 25 es 100, la cuenta queda muy fácil.
$$13 \cdot 100$$
Multiplicar por 100 es agregar dos ceros.
$$1300$$
Ahora la suma. Buscamos dos sumandos que den un número redondo.
$$38 + 47 + 62$$
El 38 y el 62 suman 100: los agrupamos.
$$\left(38 + 62\right) + 47$$
Queda una suma sin llevar.
$$100 + 47$$
Y el resultado es:
$$147$$
Respuesta: La multiplicación da 1300 y la suma da 147.
Ejemplo resuelto
Una cadena de operaciones en orden
Calcula $40 - 3 \cdot \left(2 + 4\right) + 2^{3}$.
Ver la solución paso a paso
Antes de empezar, recuerda que la potencia es un producto repetido:
$$2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2$$
Esta es la cadena.
$$40 - 3 \cdot \left(2 + 4\right) + 2^{3}$$
Primero el paréntesis, que da 6, y la potencia, que da 8.
$$40 - 3 \cdot 6 + 8$$
Después la multiplicación.
$$40 - 18 + 8$$
Al final, la resta y la suma, de izquierda a derecha.
$$30$$
Si alguien resta primero, sin respetar la jerarquía, calcula otra cosa: estaría resolviendo esta expresión, que da un resultado muy distinto.
$$\left(40 - 3\right) \cdot \left(2 + 4\right) + 2^{3} = 230$$
Respuesta: $30$
Ejemplo resuelto
¿Cuántos buses?
Un colegio lleva 150 estudiantes de salida pedagógica en buses de 40 puestos. ¿Cuántos buses necesita?
Ver la solución paso a paso
Dividimos 150 entre 40: el 40 cabe 3 veces y sobran 30. Lo comprobamos con la igualdad de la división y vemos que el residuo es menor que el divisor:
$$150 = 40 \cdot 3 + 30 \quad\text{y}\quad 30 < 40$$
Con 3 buses quedan 30 estudiantes sin puesto. Esos estudiantes no se pueden quedar, así que el residuo obliga a pedir un bus más:
$$3 + 1$$
El número de buses es:
$$4$$
Respuesta: Necesita 4 buses; tres van llenos y el último lleva 30 estudiantes.
Práctica
Calcula $12 + 3 \cdot 5$.
La multiplicación va antes que la suma: 3 · 5 = 15, y 12 + 15 = 27. Si sumas primero, obtienes 75, que es el resultado de otra expresión: (12 + 3) · 5.
¿Cuánto vale $5 + 2 \cdot 3^{2}$?
Primero la potencia: 3² = 9. Luego la multiplicación: 2 · 9 = 18. Al final, 5 + 18 = 23. 63 sale de sumar 5 + 2 antes de multiplicar; 41, de calcular 2 · 3 antes de la potencia; 121, de resolver primero 5 + 2 · 3 = 11 y elevar al final, como si la potencia afectara a toda la expresión: (5 + 2 · 3)².
Calcula $2^{5}$.
2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. No es 2 · 5 = 10: el exponente dice cuántas veces se repite el factor.
¿Verdadero o falso? $\left(20 - 8\right) - 2 = 20 - \left(8 - 2\right)$
A la izquierda queda 12 − 2 = 10 y a la derecha 20 − 6 = 14. La resta no es asociativa: cambiar los paréntesis cambia el resultado.
¿Verdadero o falso? $7 \cdot \left(10 + 3\right) = 7 \cdot 10 + 7 \cdot 3$
Es la propiedad distributiva. Los dos lados valen 91: 7 · 13 = 91 y 70 + 21 = 91.
Marca todas las expresiones que valen 36.
Marca todas las que apliquen.
6² = 36, (2 + 4)² = 6² = 36, 4 · 9 = 36 y 9 · 4 = 36. En cambio, 2 + 4² = 2 + 16 = 18 y 4 · 3 + 6 = 12 + 6 = 18: sin paréntesis, la potencia y la multiplicación van primero.
Una boleta de cine cuesta 9000 pesos y una caja de crispetas, 6000. Cuatro amigos compran cada uno una boleta y una caja de crispetas. ¿Cuántos pesos pagan en total?
Cada amigo gasta 9000 + 6000 = 15 000 pesos, y los cuatro, 4 · 15 000 = 60 000. También se puede calcular 4 · 9000 + 4 · 6000 = 36 000 + 24 000: es la propiedad distributiva.
En una finca se recogen 250 naranjas y se empacan en bolsas de 12. ¿Cuántas naranjas quedan sueltas?
El 12 cabe 20 veces en 250, porque 12 · 20 = 240, y sobran 250 − 240 = 10. El residuo es 10, que es menor que 12.
Un cubo grande está armado con cubitos: 5 a lo largo, 5 a lo ancho y 5 de alto. ¿Cuántos cubitos tiene?
Cada capa tiene 5 · 5 = 25 cubitos y hay 5 capas: 25 · 5 = 125. Es el cubo de 5: 5³ = 125.
Sara calcula 8 · 99 así: «8 · 100 es 800, y le quito 8: da 792». ¿Qué propiedad usó?
Sara escribió 99 como 100 − 1 y multiplicó el 8 por cada parte. La distributiva también funciona con una resta dentro del paréntesis, y 800 − 8 = 792 es correcto.
¿Verdadero o falso? $\frac{\frac{24}{4}}{2} = \frac{24}{\frac{4}{2}}$
La raya quiere decir «dividido entre». A la izquierda queda 6 ÷ 2 = 3 y a la derecha 24 ÷ 2 = 12. La división tampoco es asociativa: cambiar los paréntesis cambia el resultado.
Reto
Resuelve la cadena en orden.
Elige en cada espacio el valor correcto, siguiendo la jerarquía de las operaciones.
Reto
Une cada cuenta con otra que vale lo mismo.
Toca una cuenta y luego la que da el mismo resultado. Usa las propiedades para no calcular de más.
Reto
Abre el candado de las potencias.
Cada pista da un dígito. Calcula y escríbelo en su casilla.
Cierre
En resumen
La suma y la multiplicación son conmutativas y asociativas; la resta y la división no lo son.
Sumar 0 o multiplicar por 1 no cambia un número (propiedad modulativa).
La distributiva permite multiplicar por partes, y es la base del cálculo mental.
Una potencia es un producto de factores iguales; 2³ = 2 · 2 · 2, no 2 · 3.
Una cadena se resuelve en orden: paréntesis, potencias, multiplicaciones y divisiones, sumas y restas. En una división, el residuo siempre es menor que el divisor.
Vocabulario
- Número natural
Cada uno de los números 0, 1, 2, 3, 4… que usamos para contar.
- Propiedad distributiva
Multiplicar un número por una suma da lo mismo que multiplicarlo por cada sumando y sumar los resultados.
- Jerarquía de las operaciones
El orden en que se resuelve una cadena de operaciones: paréntesis, potencias, multiplicaciones y divisiones, y al final sumas y restas.
- Potencia
Un producto de factores iguales escrito de forma corta. En 2³ la base es 2 y el exponente 3, y vale 2 · 2 · 2.
- Residuo
Lo que sobra en una división que no es exacta. Siempre es menor que el divisor.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee cuántos buses hacen falta para llevar al curso a una salida, con números del propio colegio, y deje que propongan cómo calcularlo.
- Explicación · 15 min — Propiedades con ejemplos de objetos del salón; los ejemplos de la distributiva y de la jerarquía en el tablero, pidiendo dos caminos para cada cuenta.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; los huecos y el dominó en parejas, explicando en voz alta qué propiedad usa cada uno.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante inventa una multiplicación que se pueda hacer de memoria con la distributiva y la explica a un compañero.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué la resta no es conmutativa? Den un ejemplo con objetos del salón.
- ¿Cuántas veces es más grande 2⁵ que 2⁴? ¿Y cuánto más grande es 2 · 5 que 2 · 4?
- En un problema con residuo, ¿cuándo se descarta lo que sobra y cuándo obliga a sumar uno más?
Errores típicos
- Resolver la cadena de izquierda a derecha sin respetar la jerarquía (12 + 3 · 5 = 75). Pida subrayar primero las multiplicaciones y potencias, y resolverlas antes de tocar las sumas.
- Confundir la potencia con el producto de la base por el exponente (2³ = 6). Pida escribir siempre la potencia como producto repetido antes de calcularla, y dibujar el cuadrado o el cubo de cubitos.
- Aplicar la distributiva solo al primer sumando (8 · (10 + 5) = 80 + 5). Use el ejemplo de los paquetes con galletas y jugos: cada paquete trae las dos cosas, y se multiplican las dos.
Tarea sugerida
Calcular 9 · 52 y 7 · 98 de memoria con la distributiva y explicar el camino; resolver 60 − 2 · (3 + 4) + 3² paso a paso; inventar un problema de buses o de bolsas en el que el residuo obligue a sumar uno más.