Múltiplos, divisores y criterios de divisibilidad
Lo que vas a aprender
- Encontrar múltiplos de un número y todos los divisores de un número por parejas de factores.
- Usar las palabras múltiplo, divisor y divisible sin confundirlas, y relacionarlas con par, impar, el doble, el triple y la mitad.
- Aplicar los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 10.
- Explicar con el valor posicional por qué funcionan esos criterios.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la clase de educación física, el profesor quiere armar equipos con el mismo número de jugadores y sin que nadie se quede por fuera. En la tienda, la señora quiere empacar los dulces en bolsas iguales sin que le sobren. En los dos casos la pregunta es la misma: ¿este número se puede repartir en partes iguales, de forma exacta?
Para responderla no siempre hace falta dividir. En esta lección vas a conocer los múltiplos y los divisores, y unas reglas, los criterios de divisibilidad, que te dicen si una división es exacta con solo mirar las cifras del número. Y lo más importante: vas a entender por qué funcionan, para que no sean trucos de memoria.
Antes de empezar recuerda la división con residuo: una división es exacta cuando el residuo es 0.
Explicación
Múltiplos
Los múltiplos de un número son los que se obtienen al multiplicarlo por 1, por 2, por 3, y así sin parar. Los múltiplos de 6 son 6, 12, 18, 24, 30… Si el número no es 0, la lista nunca termina: siempre puedes multiplicar por un número más grande. (El 0 también es múltiplo de todos, porque cualquier número por 0 da 0, pero en las listas empezamos por el número mismo).
Divisores
Un número es divisor de otro si lo divide de forma exacta, con residuo 0. Los divisores de un número distinto de 0 sí se acaban: ninguno es mayor que el número. Además, el 1 y el número mismo siempre son divisores. (El 0 es el caso raro: como es múltiplo de todos, todos los números distintos de 0 son divisores suyos).
Fíjate en que «múltiplo» y «divisor» son la misma relación leída en dos sentidos. Como 6 · 3 = 18, puedes decir tres frases que significan lo mismo:
- 18 es múltiplo de 6;
- 6 es divisor de 18;
- 18 es divisible por 6.
El múltiplo es el resultado de la multiplicación y el divisor es uno de los factores. Por eso, con números distintos de 0, el múltiplo nunca es menor que el divisor: decir «6 es múltiplo de 18» es un error.
Para encontrar todos los divisores de un número sin que se te escape ninguno, búscalos por parejas: cada vez que una división es exacta, encuentras dos divisores, el que divide y el cociente. Empiezas por el 1 y vas subiendo; cuando las parejas se empiezan a repetir, ya terminaste.
Par, impar, el doble, el triple y la mitad
Un número es par si es múltiplo de 2, y es impar si no lo es. El doble de un número es ese número por 2, así que el doble de cualquier número es par. El triple es el número por 3, y siempre es múltiplo de 3. La mitad es el número dividido entre 2, y solo es un número natural cuando el número es par: la mitad de 7 caramelos no se puede repartir sin partir uno.
Los criterios del 10, el 2 y el 5
Todo número se puede pensar como decenas más unidades. Por ejemplo, 347 son 34 decenas y 7 unidades.
- Por 10: las decenas ya van de 10 en 10, así que solo importan las unidades. Un número es divisible por 10 si termina en 0.
- Por 2: cada decena es 10, y 10 es par. Por eso las decenas siempre se pueden repartir entre 2, y solo hay que mirar la última cifra. Un número es divisible por 2 si termina en 0, 2, 4, 6 u 8.
- Por 5: como 10 = 5 · 2, también las decenas se reparten entre 5. Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.
Los criterios del 3 y el 9
Aquí la última cifra no sirve: 13 termina en 3 y no es divisible por 3. El truco está en que 10 es 9 + 1, 100 es 99 + 1 y 1000 es 999 + 1. Cada decena, cada centena y cada mil «deja» un 1 por fuera de un múltiplo de 9. Si juntas todo lo que queda por fuera, obtienes justamente la suma de las cifras.
- Por 9: un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
- Por 3: como 9 es múltiplo de 3, pasa lo mismo: un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Todo número divisible por 9 es divisible por 3, pero no al revés: 12 es divisible por 3 y no por 9. En el segundo ejemplo verás el truco con todas sus cuentas.
Ejemplo resuelto
Los equipos de educación física
Un curso tiene 36 estudiantes. El profesor quiere armar equipos con el mismo número de estudiantes, sin que nadie quede por fuera. ¿De cuántos estudiantes pueden ser los equipos?
Ver la solución paso a paso
Buscamos los divisores de 36 por parejas. Empezamos por el 1 y el 2:
$$36 = 1 \cdot 36 \quad\text{y}\quad 36 = 2 \cdot 18$$
Seguimos con el 3 y el 4, que también dividen a 36 de forma exacta:
$$36 = 3 \cdot 12 \quad\text{y}\quad 36 = 4 \cdot 9$$
El 5 no sirve, porque la división deja residuo. El 6 forma pareja consigo mismo:
$$\operatorname{residuo}\left(36;\ 5\right) = 1 \quad\text{y}\quad 36 = 6 \cdot 6$$
Después del 6 las parejas se repiten (9 y 4, 12 y 3…), así que ya tenemos todos los divisores:
$$D\left(36\right) = \left\{1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 6;\ 9;\ 12;\ 18;\ 36\right\}$$
Respuesta: Los equipos pueden ser de 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 o 36 estudiantes. Equipos de 1 o de 36 cumplen la regla, aunque no sirven mucho para jugar.
Ejemplo resuelto
Por qué funciona el criterio del 9
Sin dividir, decide si 342 es divisible por 9, y explica por qué basta con sumar sus cifras.
Ver la solución paso a paso
Escribimos el número con su valor posicional: 3 centenas, 4 decenas y 2 unidades.
$$342 = 3 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 2$$
Cambiamos cada 100 por 99 + 1 y cada 10 por 9 + 1. Lo que queda es un múltiplo de 99, un múltiplo de 9 y, por fuera, las cifras sueltas:
$$342 = 3 \cdot 99 + 4 \cdot 9 + \left(3 + 4 + 2\right)$$
Las dos primeras partes ya son múltiplos de 9. Solo falta mirar la suma de las cifras:
$$3 + 4 + 2 = 9$$
La suma es 9, que es múltiplo de 9, así que 342 también lo es. Lo comprobamos:
$$342 = 9 \cdot 38$$
Respuesta: 342 es divisible por 9, porque la suma de sus cifras es 9; el cociente es 38.
Ejemplo resuelto
Los tornillos en bolsas
Una ferretería tiene 4710 tornillos. ¿Puede empacarlos todos, sin que sobre ninguno, en bolsas de 2, de 3, de 5, de 9 o de 10?
Ver la solución paso a paso
El número termina en 0, así que es divisible por 10, por 2 y por 5:
$$4710 = 10 \cdot 471 \quad\text{y}\quad 4710 = 2 \cdot 2355 \quad\text{y}\quad 4710 = 5 \cdot 942$$
Para el 3 y el 9 sumamos las cifras:
$$4 + 7 + 1 + 0 = 12$$
12 es múltiplo de 3, pero no de 9. Entonces 4710 es divisible por 3:
$$4710 = 3 \cdot 1570$$
Y no es divisible por 9: la división deja residuo.
$$\operatorname{residuo}\left(4710;\ 9\right) = 3$$
Respuesta: Sí se pueden empacar en bolsas de 2, de 3, de 5 o de 10; en bolsas de 9 sobrarían 3 tornillos.
Práctica
¿Cuáles son todos los divisores de 20?
Por parejas: 1 · 20, 2 · 10 y 4 · 5. El 1 y el 20 también son divisores. La última lista tiene múltiplos de 20, no divisores.
¿Cuál es el sexto múltiplo de 7, si se empieza a contar por el 7?
Los múltiplos de 7 son 7, 14, 21, 28, 35, 42… El sexto es 7 · 6 = 42.
¿Qué frase dice lo mismo que «6 es divisor de 42»?
Como 6 · 7 = 42, el 42 es múltiplo de 6 y el 6 es divisor de 42. El 42 es el resultado de la multiplicación, el múltiplo; el 6 es uno de los factores, el divisor.
¿Verdadero o falso? El número 5682 es divisible por 9.
La suma de las cifras es 5 + 6 + 8 + 2 = 21, que no es múltiplo de 9. Al dividir 5682 entre 9 sobran 3.
Atrapa los números divisibles por 9 antes de que caigan. No hace falta dividir: suma las cifras y mira si da 9 o un múltiplo de 9.
¿Verdadero o falso? El número 5682 es divisible por 3.
La suma de las cifras es 21, y 21 es múltiplo de 3. En efecto, 5682 = 3 · 1894.
¿Verdadero o falso? El número 12 es divisible por 3 y también por 9.
12 = 3 · 4, así que sí es divisible por 3. Pero 9 no divide a 12: sobran 3. Un número divisible por 3 no siempre lo es por 9.
La raya de fracción indica una división. ¿Cuál de estas divisiones es exacta?
Sumamos las cifras: 2471 da 14, 2474 da 17, 2472 da 15 y 2470 da 13. Solo 15 es múltiplo de 3, así que solo 2472 es divisible por 3: 2472 = 3 · 824.
Marca todas las divisiones exactas. Usa los criterios: no hace falta dividir.
Marca todas las que apliquen.
135 termina en 5; 333 suma 9; 1010 termina en 0; 990 es par. En cambio, 245 es impar, así que no se reparte entre 2, y 472 suma 13, que no es múltiplo de 3.
Lleva cada número a su lugar con los criterios: termina en cifra par para el 2, sus cifras suman un múltiplo de 3 para el 3. Los que cumplen los dos van en el medio; los que no cumplen ninguno, afuera.
En el número 7□4 falta la cifra de las decenas. ¿Qué cifra hay que poner en el cuadro para que el número sea divisible por 9?
Las cifras que hay suman 7 + 4 = 11. El siguiente múltiplo de 9 es 18, así que falta 18 − 11 = 7. El número queda 774 = 9 · 86. Para llegar a 9 habría que restar, y para llegar a 27 haría falta una cifra mayor que 9.
Andrés tiene el triple de canicas que su hermana, y su hermana tiene la mitad de las que tiene su primo. Si el primo tiene 18 canicas, ¿cuántas tiene Andrés?
La hermana tiene la mitad de 18, que es 9. Andrés tiene el triple de 9: 3 · 9 = 27.
¿Cuántos múltiplos de 4 hay desde el 4 hasta el 50?
Son 4 · 1, 4 · 2, … hasta 4 · 12 = 48; el siguiente, 4 · 13 = 52, ya pasa de 50. Hay 12.
Tomás dice: «Si un número termina en 3, es divisible por 3». ¿Qué le responderías?
La última cifra solo decide para el 2, el 5 y el 10, porque 10 es múltiplo de ellos. 10 no es múltiplo de 3. Y ojo con «nunca es divisible por 3»: 33 termina en 3 y sí es divisible por 3.
Reto
¿Cuál división no es exacta?
En cada ronda, toca la división que deja residuo. Usa los criterios de divisibilidad.
Reto
Revisa el número 2475.
Elige en cada espacio el valor correcto.
Reto
El crucigrama de la divisibilidad.
Lee cada pista y escribe la palabra. No lleva tildes.
Cierre
En resumen
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicándolo por 1, 2, 3…; si el número no es 0, la lista nunca termina.
Un divisor divide al número de forma exacta; los divisores de un número distinto de 0 se buscan por parejas y siempre incluyen al 1 y al número mismo.
«18 es múltiplo de 6», «6 es divisor de 18» y «18 es divisible por 6» dicen lo mismo.
Por 2, 5 y 10 se mira la última cifra, porque 10 es múltiplo de los tres.
Por 3 y por 9 se suman las cifras, porque 10, 100 y 1000 son un múltiplo de 9 más 1.
Vocabulario
- Múltiplo
Un número es múltiplo de otro si se obtiene multiplicando ese otro por un número natural. 18 es múltiplo de 6 porque 18 = 6 · 3.
- Divisor
Un número es divisor de otro si lo divide de forma exacta, es decir, con residuo 0. 6 es divisor de 18.
- Divisible
Un número es divisible por otro cuando la división entre ese otro es exacta. 18 es divisible por 6.
- Número par
Un número que es múltiplo de 2. Los que no lo son se llaman impares.
- Criterio de divisibilidad
Una regla que permite saber si un número es divisible por otro mirando sus cifras, sin hacer la división.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Con el número de estudiantes del curso, pregunte de cuántos se pueden armar los equipos sin que nadie quede por fuera.
- Explicación · 15 min — Múltiplos y divisores con la misma multiplicación leída en dos sentidos; los criterios con el valor posicional, haciendo en el tablero el ejemplo del 342 con otro número que propongan.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el intruso y los huecos en parejas, justificando cada respuesta con un criterio.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe un número de cuatro cifras divisible por 3 y no por 9, y explica cómo lo armó.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué los múltiplos de un número distinto de 0 nunca se acaban y sus divisores sí? ¿Qué pasa con el 0?
- ¿Por qué para el 2 basta mirar la última cifra y para el 3 no?
- ¿Todo número divisible por 9 es divisible por 3? ¿Y al revés?
Errores típicos
- Confundir múltiplo con divisor («6 es múltiplo de 18»). Pida escribir la multiplicación (6 · 3 = 18) y señalar cuál es el resultado: ese es el múltiplo.
- Usar la última cifra para el criterio del 3 (13 sería divisible por 3). Pida probar con 13, 23 y 43, y luego explicar con 10 = 9 + 1 por qué el 3 necesita la suma de las cifras.
- Olvidar el 1 o el número mismo al listar los divisores. Pida buscar siempre por parejas desde el 1, que trae consigo al número.
Tarea sugerida
Encontrar todos los divisores de 48 por parejas; decidir con los criterios si 7380 es divisible por 2, 3, 5, 9 y 10; explicar por escrito, con 10 = 9 + 1 y 100 = 99 + 1, por qué el criterio del 3 funciona para 453.