Números primos y factorización
Lo que vas a aprender
- Clasificar un número natural mayor que 1 como primo o compuesto, y explicar por qué el 1 no es ni lo uno ni lo otro.
- Construir la criba de Eratóstenes hasta 100 y explicar por qué basta tachar los múltiplos de 2, 3, 5 y 7.
- Descomponer un número en factores primos con el árbol y con la tabla de divisiones.
- Escribir la descomposición con potencias y comprobarla multiplicando.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Con fichas de construcción armas casas, carros y robots; todas las figuras salen de unas pocas piezas básicas. Con los números pasa algo parecido: hay unos números especiales, los primos, que son las piezas básicas de la multiplicación. Todos los números mayores que 1 que no son primos se arman multiplicando primos.
Saber desarmar un número en sus piezas te va a servir en la próxima lección para encontrar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, y más adelante para simplificar fracciones de un solo golpe. Los primos también tienen usos fuera del colegio: con ellos se protegen las claves de muchas aplicaciones.
Antes de empezar repasa los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 10: los vas a usar todo el tiempo.
Explicación
Primos y compuestos
Un número es primo si tiene exactamente dos divisores distintos: el 1 y él mismo. El 7 es primo, porque solo lo dividen el 1 y el 7. Un número mayor que 1 es compuesto si tiene más de dos divisores: el 12 es compuesto, porque lo dividen 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
Hay una forma de verlo con baldosas. Con 12 baldosas cuadradas puedes armar varios rectángulos: de 2 por 6, de 3 por 4, además de la fila de 1 por 12. Con 7 baldosas solo puedes armar la fila larga. Los primos son los números mayores que 1 que solo forman la fila (con 1 baldosa también sale solo la fila, y el 1, ya lo verás, no es primo).
El 1 no es primo ni compuesto
El 1 tiene un solo divisor: él mismo. No tiene dos divisores distintos, así que no es primo, y tampoco tiene más de dos, así que no es compuesto. Es un número especial que queda aparte. Esto no es un capricho: si el 1 fuera primo, cada número se podría descomponer de infinitas maneras, agregando todos los unos que quisieras.
El 2 es el único primo par
Todo número par es divisible por 2. Si un número par es mayor que 2, entonces tiene por lo menos tres divisores (el 1, el 2 y él mismo) y es compuesto. Por eso el 2 es el único primo par; todos los demás primos son impares. Pero cuidado: no todo impar es primo.
La criba de Eratóstenes
Para encontrar todos los primos menores que 100 se usa un método muy antiguo, la criba de Eratóstenes. Hazla en tu cuaderno:
- Escribe los números del 1 al 100 en una cuadrícula y tacha el 1, que no es primo.
- Encierra el 2 en un círculo y tacha todos los demás múltiplos de 2.
- El primer número sin tachar es el 3: enciérralo y tacha sus otros múltiplos.
- Haz lo mismo con el 5 y con el 7.
- Todos los números que quedan sin tachar son primos.
¿Por qué basta llegar hasta el 7? Si un número menor que 100 fuera compuesto y no tuviera como factor ni al 2, ni al 3, ni al 5, ni al 7, sus factores serían por lo menos 11, y once por once ya pasa de 100. En el primer ejemplo usarás esta misma idea para decidir si un número es primo sin tener que probar todos los divisores.
Descomponer en factores primos
Descomponer un número en factores primos es escribirlo como una multiplicación en la que todos los factores son primos. Hay dos formas de hacerlo.
- El árbol. Escribes el número como un producto de dos factores cualesquiera, y cada factor que no sea primo lo vuelves a partir. Las ramas terminan cuando todos los números de abajo son primos.
- La tabla de divisiones. Trazas una raya vertical. A la derecha escribes el primo más pequeño que divide al número, y abajo a la izquierda, el cociente. Repites hasta que el cociente es 1. Los primos de la derecha son los factores.
Cuando un primo se repite, se escribe como potencia: en vez de 2 · 2 · 2 se escribe 2³. Al final, comprueba siempre multiplicando: tiene que volver a salir el número.
Hay un hecho muy importante: la descomposición de un número es una sola. Puedes empezar el árbol por donde quieras y llegar por caminos distintos, pero al final aparecen los mismos primos, las mismas veces; solo puede cambiar el orden en que los escribes.
Ejemplo resuelto
¿Primo o compuesto?
Decide si 91 y 97 son primos o compuestos.
Ver la solución paso a paso
El 91 parece primo: es impar, no termina en 0 ni en 5 y sus cifras suman 10, que no es múltiplo de 3. Por eso no lo dividen ni el 2, ni el 3, ni el 5:
$$\operatorname{residuo}\left(91;\ 2\right) = 1 \quad\text{y}\quad \operatorname{residuo}\left(91;\ 3\right) = 1 \quad\text{y}\quad \operatorname{residuo}\left(91;\ 5\right) = 1$$
Pero falta probar con el 7, y el 7 sí lo divide. El 91 es compuesto:
$$91 = 7 \cdot 13$$
Ahora el 97. Probamos con los primos 2, 3, 5 y 7, y todos dejan residuo:
$$\operatorname{residuo}\left(97;\ 2\right) = 1 \quad\text{y}\quad \operatorname{residuo}\left(97;\ 3\right) = 1 \quad\text{y}\quad \operatorname{residuo}\left(97;\ 5\right) = 2 \quad\text{y}\quad \operatorname{residuo}\left(97;\ 7\right) = 6$$
El siguiente primo es el 11, y once por once ya pasa de 100. Si el 97 fuera compuesto sin tener como factor al 2, al 3, al 5 ni al 7, sus factores primos serían por lo menos 11, y su producto pasaría de 100. Así que no hace falta seguir probando:
$$97 < 100 < 11^{2}$$
Conclusión, comprobada:
$$97 \text{ es primo}$$
Respuesta: 91 es compuesto, porque 91 = 7 · 13; 97 es primo.
Ejemplo resuelto
El árbol de 60, por dos caminos
Descompón 60 en factores primos con un árbol, empezando de dos maneras distintas.
Ver la solución paso a paso
Primer camino: partimos el 60 en 6 por 10.
$$60 = 6 \cdot 10$$
Ni el 6 ni el 10 son primos, así que los partimos otra vez:
$$6 = 2 \cdot 3 \quad\text{y}\quad 10 = 2 \cdot 5$$
Todos los números de abajo son primos. El 2 aparece dos veces, así que lo escribimos como potencia:
$$60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$$
Segundo camino: partimos el 60 en 4 por 15.
$$60 = 4 \cdot 15$$
Partimos el 4 y el 15:
$$4 = 2 \cdot 2 \quad\text{y}\quad 15 = 3 \cdot 5$$
Aparecen los mismos primos, las mismas veces: la descomposición es la misma.
$$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$$
Comprobamos multiplicando:
$$60$$
Respuesta: Por los dos caminos, 60 = 2² · 3 · 5.
Ejemplo resuelto
La tabla de divisiones de 360
Descompón 360 en factores primos con la tabla de divisiones.
Ver la solución paso a paso
Dividimos siempre entre el primo más pequeño posible: tres veces entre 2, dos veces entre 3 y una vez entre 5, hasta llegar a 1.
Número Primo 360 2 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 Cada fila de la tabla dice que el número es el primo por el de abajo. Empezamos con la primera:
$$2 \cdot 180$$
Cambiamos el 180 por 2 · 90.
$$2 \cdot 2 \cdot 90$$
Cambiamos el 90 por 2 · 45.
$$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 45$$
El 45 ya no es par; sus cifras suman 9, así que lo divide el 3.
$$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 15$$
Y el 15 es 3 · 5.
$$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$$
Escribimos los primos repetidos como potencias.
$$2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$$
Comprobamos: el producto vuelve a dar el número.
$$360$$
Respuesta: 360 = 2³ · 3² · 5.
Práctica
Marca todos los números primos.
Marca todas las que apliquen.
2, 17, 29 y 53 solo tienen dos divisores. 9 = 3 · 3, 21 = 3 · 7 y 51 = 3 · 17 son compuestos (sus cifras suman múltiplos de 3). El 1 no es primo: tiene un solo divisor.
¿Verdadero o falso? $1 \text{ es primo}$
Un primo tiene exactamente dos divisores distintos. El 1 tiene uno solo, así que no es primo; y tampoco es compuesto.
¿Cuál de estos números es primo?
57 = 3 · 19 y 87 = 3 · 29 (sus cifras suman 12 y 15), y 91 = 7 · 13. El 89 no es divisible por 2, 3, 5 ni 7, y once por once ya pasa de 89: es primo.
¿Cuál es la descomposición en factores primos de 84?
84 = 2 · 42 = 2 · 2 · 21 = 2 · 2 · 3 · 7 = 2² · 3 · 7. Las otras opciones dan 42, 168 y 252.
¿Qué número tiene esta descomposición en factores primos? $2^{3} \cdot 3 \cdot 5^{2}$
2³ = 8 y 5² = 25. Entonces 8 · 3 · 25 = 24 · 25 = 600.
¿Verdadero o falso? $90 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5$
2 · 9 · 5 = 90, y 2, 3 y 5 son primos. Es la descomposición de 90.
¿Verdadero o falso? $54 = 2 \cdot 3^{2}$
2 · 3² = 2 · 9 = 18. Falta un 3: 54 = 2 · 27 = 2 · 3³. Multiplicar para comprobar evita este error.
¿Cuál es el número más pequeño que tiene en su descomposición a los primos 2, 3 y 5?
El más pequeño lleva cada primo una sola vez: 2 · 3 · 5 = 30. Cualquier otro número que tenga los tres primos es múltiplo de 30.
Pedro escribe 72 = 8 · 9 y dice que ya descompuso el 72 en factores primos. ¿Qué le dirías?
Una descomposición en factores primos solo tiene primos. 8 = 2³ y 9 = 3², así que 72 = 2³ · 3². Empezar por 8 · 9 o por 2 · 36 da lo mismo al final, y el 1 no se escribe porque no es primo.
Juan dice: «Como el 2 es primo y los primos son impares, todo número impar es primo». ¿Qué está mal?
El 2 es el único primo par. Y ser impar no basta para ser primo: 9 = 3 · 3 y 15 = 3 · 5 son impares y compuestos.
Reto
¿Cuál no es como los demás?
En cada ronda hay un número que se distingue por ser primo o por no serlo. Tócalo.
Reto
Une cada número con su descomposición en factores primos.
Toca un número y luego su descomposición. Si dudas, multiplica.
Reto
Completa el árbol de 90.
Elige en cada espacio el número que sigue en el árbol.
Cierre
En resumen
Un número primo tiene exactamente dos divisores distintos, el 1 y él mismo; un compuesto tiene más de dos.
El 1 no es primo ni compuesto, y el 2 es el único primo par.
La criba de Eratóstenes encuentra los primos menores que 100 tachando los múltiplos de 2, 3, 5 y 7.
Descomponer en factores primos es escribir el número como producto de primos, con el árbol o con la tabla de divisiones.
La descomposición es una sola; los primos repetidos se escriben como potencias, y se comprueba multiplicando.
Vocabulario
- Número primo
Número natural que tiene exactamente dos divisores distintos: el 1 y él mismo. Por ejemplo, 7.
- Número compuesto
Número natural mayor que 1 que tiene más de dos divisores. Por ejemplo, 12, que tiene seis.
- Criba de Eratóstenes
Un método para encontrar los primos de una lista tachando los múltiplos de cada primo.
- Descomposición en factores primos
Escribir un número como un producto en el que todos los factores son primos, como 60 = 2² · 3 · 5.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Entregue a cada grupo un número de fichas cuadradas (7, 12, 13, 18…) y pida armar todos los rectángulos posibles.
- Explicación · 15 min — Primos y compuestos desde los rectángulos; el caso del 1; la criba en una cuadrícula del 1 al 100 que cada estudiante tache con colores; el árbol y la tabla en el tablero.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el dominó y los huecos en parejas, comprobando cada descomposición con la multiplicación.
- Cierre · 5 min — Pida a la mitad del curso descomponer 120 con el árbol y a la otra mitad con la tabla, y comparar los resultados.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué con 7 fichas solo se puede armar una fila y con 12 se arman varios rectángulos?
- ¿Por qué en la criba hasta 100 no hace falta tachar los múltiplos de 11?
- Si dos compañeros empiezan el árbol de 60 de maneras distintas, ¿pueden llegar a primos distintos?
Errores típicos
- Decir que el 1 es primo, o que todos los impares son primos. Vuelva a la definición (exactamente dos divisores distintos) y pida contar los divisores del 1, del 9 y del 15.
- Dejar factores compuestos en la descomposición (72 = 8 · 9). Pida rodear cada número del final del árbol y preguntarse si es primo antes de dar por terminado.
- Contar mal los factores repetidos al pasar a potencias. Pida multiplicar siempre la descomposición para comprobar que vuelve a dar el número.
Tarea sugerida
Hacer la criba de Eratóstenes hasta 100 con un color para cada primo que tacha; descomponer 48, 150 y 252 con el árbol y con la tabla, y escribirlos con potencias; explicar por qué 1001 no es primo (pista: prueba con el 7).