MCD y mcm en problemas
Lo que vas a aprender
- Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o tres números por listas y por descomposición en factores primos.
- Explicar por qué el MCD toma los primos comunes con el menor exponente y el mcm todos los primos con el mayor.
- Decidir si un problema se resuelve con el MCD o con el mcm, y justificar la elección.
- Interpretar el resultado en el contexto del problema.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Piensa en dos situaciones. En la primera, tienes dos cintas de distinto largo y quieres cortarlas en trozos iguales, lo más largos posible, sin que sobre nada. En la segunda, dos rutas de bus salen juntas del paradero y cada una tiene su propia frecuencia: quieres saber cuándo vuelven a coincidir.
Las dos se parecen, pero no se resuelven igual. La primera pide partir en pedazos iguales: ahí trabaja el máximo común divisor. La segunda pide esperar a que dos cosas que se repiten caigan al mismo tiempo: ahí trabaja el mínimo común múltiplo. En esta lección vas a aprender a calcular los dos y, sobre todo, a saber cuál usar.
Antes de empezar repasa cómo se buscan los divisores por parejas y cómo se descompone un número en factores primos.
Explicación
El máximo común divisor (MCD)
Los divisores comunes de dos números son los que dividen a los dos. El mayor de todos es el máximo común divisor, que se escribe MCD. Por ejemplo, los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12, y los de 18 son 1, 2, 3, 6, 9 y 18. Los comunes son 1, 2, 3 y 6, así que el MCD de 12 y 18 es 6.
El MCD de dos números distintos de 0 nunca es mayor que el menor de ellos, porque tiene que dividirlo. Si dos números no tienen más divisor común que el 1, su MCD es 1.
El mínimo común múltiplo (mcm)
Los múltiplos comunes de dos números son los que son múltiplos de los dos a la vez. El menor de ellos, sin contar el 0, es el mínimo común múltiplo, que se escribe mcm. Una forma rápida por listas: escribe los múltiplos del número mayor hasta encontrar el primero que también sea múltiplo del menor. Para 4 y 6: los múltiplos de 6 son 6, 12, 18…; el 6 no es múltiplo de 4, pero el 12 sí. El mcm es 12.
El mcm nunca es menor que el mayor de los números, porque tiene que ser múltiplo de él (puede ser igual: mcm(2; 4) = 4). Si dos números no tienen divisores comunes distintos de 1, su mcm es su producto.
Con la descomposición en factores primos
Con números grandes, las listas se vuelven largas. Entonces conviene descomponer cada número en factores primos:
- MCD: se toman solo los primos que aparecen en todos los números, cada uno con el menor exponente.
- mcm: se toman todos los primos que aparecen, cada uno con el mayor exponente.
¿Por qué el menor para el MCD? Porque el MCD tiene que dividir a los dos números: si uno de ellos tiene dos factores 2 y el otro tres, el divisor común solo puede llevar dos, o no dividiría al primero. ¿Y por qué el mayor para el mcm? Porque el mcm tiene que contener a cada número completo: si uno necesita tres factores 2, el mcm tiene que tener por lo menos tres.
¿MCD o mcm?
La pregunta del problema te da la pista:
- Se usa el MCD cuando hay que partir, repartir o agrupar en partes iguales lo más grandes posible, sin que sobre nada: cortar tablas o cintas, sembrar en filas iguales. También cuando, con dos cantidades, se quiere armar el mayor número posible de grupos iguales (kits, bolsas, atados): el número de grupos es el MCD. En los dos casos el MCD divide a los datos.
- Se usa el mcm cuando algo se repite y queremos saber cuándo coincide otra vez, o cuándo dos cantidades que vienen en paquetes distintos quedan iguales: buses, alarmas, turnos, paquetes de panes y salchichas. El mcm es múltiplo de los datos.
Después de calcular, vuelve siempre a la pregunta. A veces lo que se pide no es el MCD o el mcm, sino algo que sale de él: cuántos trozos, a qué hora, cuántos paquetes. Los precios, horarios y cantidades de los problemas son inventados.
Ejemplo resuelto
Las cintas del salón
Para decorar el salón hay una cinta de 24 m y otra de 36 m. Se quieren cortar en trozos iguales, lo más largos posible, sin que sobre nada. ¿Cuánto mide cada trozo y cuántos trozos salen?
Ver la solución paso a paso
Hay que partir en trozos iguales lo más grandes posible: es un problema de MCD. El largo de cada trozo tiene que dividir a 24 y a 36.
Por listas: los divisores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24; los de 36 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36. El mayor divisor común es el 12:
$$\operatorname{MCD}\left(24;\ 36\right) = 12$$
Comprobamos que el 12 cabe exacto en las dos cintas:
$$24 = 12 \cdot 2 \quad\text{y}\quad 36 = 12 \cdot 3$$
De la primera cinta salen 2 trozos y de la segunda, 3. Los sumamos:
$$2 + 3$$
En total salen:
$$5$$
Respuesta: Cada trozo mide 12 m y salen 5 trozos.
Ejemplo resuelto
Dos rutas de bus
La ruta A sale del paradero cada 12 minutos y la ruta B cada 18 minutos. A las 6 de la mañana salieron juntas. ¿A qué hora vuelven a salir juntas por primera vez?
Ver la solución paso a paso
Las salidas se repiten y queremos saber cuándo coinciden: es un problema de mcm.
Escribimos los múltiplos del mayor, el 18. El primero es el 18, que no es múltiplo de 12, porque la división deja residuo:
$$\operatorname{residuo}\left(18;\ 12\right) = 6$$
El siguiente múltiplo de 18 es el 36, y ese sí es múltiplo de 12:
$$36 = 18 \cdot 2 \quad\text{y}\quad 36 = 12 \cdot 3$$
Así que el mcm es 36:
$$\operatorname{mcm}\left(12;\ 18\right) = 36$$
Respuesta: Vuelven a salir juntas 36 minutos después, a las 6:36 de la mañana. Desde las 6:00, la ruta A ha salido 3 veces más y la B, 2 más.
Cada ranita es una ruta: la A salta de 12 en 12 minutos y la B de 18 en 18. Hazlas saltar y busca el primer número, después del 0, donde caen juntas.
Ejemplo resuelto
MCD y mcm con factores primos
Calcula el MCD y el mcm de 60 y 72 con la descomposición en factores primos.
Ver la solución paso a paso
Descomponemos los dos números:
$$60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \quad\text{y}\quad 72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$$
Para el MCD tomamos los primos que están en los dos, el 2 y el 3, con el menor exponente. El 5 no entra porque el 72 no lo tiene.
$$2^{2} \cdot 3$$
Así que el MCD es:
$$12$$
Para el mcm tomamos todos los primos, el 2, el 3 y el 5, con el mayor exponente:
$$2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$$
Multiplicamos:
$$360$$
En resumen:
$$\operatorname{MCD}\left(60;\ 72\right) = 12 \quad\text{y}\quad \operatorname{mcm}\left(60;\ 72\right) = 360$$
Respuesta: MCD(60; 72) = 12 y mcm(60; 72) = 360.
Ejemplo resuelto
Panes y salchichas
Las salchichas vienen en paquetes de 10 y los panes en paquetes de 8. Para un bazar se quiere comprar la misma cantidad de salchichas que de panes, la menor posible. ¿Cuántos paquetes de cada uno hay que comprar?
Ver la solución paso a paso
La cantidad de salchichas va de 10 en 10 y la de panes de 8 en 8. Queremos que las dos cantidades coincidan: es un mcm.
$$\operatorname{mcm}\left(10;\ 8\right) = 40$$
Para tener 40 salchichas, los paquetes son:
$$\frac{40}{10}$$
Es decir,
$$4$$
Y para tener 40 panes:
$$\frac{40}{8}$$
Es decir,
$$5$$
Respuesta: Hay que comprar 4 paquetes de salchichas y 5 de panes, para 40 perros calientes.
Práctica
Calcula $\operatorname{MCD}\left(18;\ 30\right)$.
Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. El mayor común es 6.
Calcula $\operatorname{mcm}\left(6;\ 8\right)$.
Múltiplos de 8: 8, 16, 24… El 8 y el 16 no son múltiplos de 6; el 24 sí. El mcm es 24.
¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 8 y 12?
Múltiplos de 12: 12, 24… y 24 ya es múltiplo de 8. 96 es el producto 8 · 12 y 48 también es múltiplo común, pero ninguno es el menor. 4 es el MCD, no el mcm.
Si a = $2^{3} \cdot 3 \cdot 5$ y b = $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 7$, ¿cuál es el MCD de a y b?
Los primos comunes son el 2 y el 3. Con el menor exponente quedan 2² y 3: el MCD es 2² · 3 = 12. 2³ · 3² · 5 · 7 es el mcm; 2² · 3² toma el 3 con el exponente mayor.
Una profesora tiene 48 lápices y 60 borradores. Quiere armar el mayor número posible de kits iguales, sin que sobre nada. ¿Cuántos kits arma?
El número de kits tiene que dividir a 48 y a 60, y queremos el mayor posible: MCD(48; 60) = 12 kits. Cada kit lleva 48 ÷ 12 = 4 lápices y 60 ÷ 12 = 5 borradores.
Ana va a la biblioteca cada 4 días y Beto cada 6 días. Hoy coincidieron allá. ¿Dentro de cuántos días vuelven a coincidir por primera vez?
Las visitas se repiten y se pregunta cuándo coinciden: mcm(4; 6) = 12. Ana habrá ido 3 veces más y Beto 2.
En una huerta escolar se van a sembrar 36 matas de lechuga y 54 de cilantro en surcos con el mismo número de matas, un solo tipo de planta por surco y los surcos lo más largos posible. ¿Cuántos surcos salen en total?
Cada surco lleva MCD(36; 54) = 18 matas. De lechuga salen 36 ÷ 18 = 2 surcos y de cilantro 54 ÷ 18 = 3. En total, 5 surcos.
En un árbol de Navidad, una luz se prende cada 2 segundos, otra cada 3 y otra cada 5. Se acaban de prender las tres juntas. ¿Cuántos segundos pasan hasta que vuelven a prenderse juntas?
2, 3 y 5 son primos distintos, así que su mcm es el producto: 2 · 3 · 5 = 30.
¿Verdadero o falso? $\operatorname{mcm}\left(7;\ 9\right) = 7 \cdot 9$
7 y 9 no tienen divisores comunes distintos de 1, así que su mcm es su producto: 63.
¿Verdadero o falso? $\operatorname{mcm}\left(6;\ 9\right) = 6 \cdot 9$
6 y 9 comparten el divisor 3. Los múltiplos de 9 son 9, 18…, y 18 ya es múltiplo de 6: mcm(6; 9) = 18, no 54.
¿Cuál de estas situaciones se resuelve con el MCD?
Partir en partes iguales lo más grandes posible es un MCD. Las otras tres hablan de cosas que se repiten hasta coincidir: son problemas de mcm.
Reto
Une cada cálculo con su resultado.
Toca un MCD o un mcm y luego su valor. Fíjate bien si es el divisor o el múltiplo.
Reto
Abre el candado del taller de carpintería.
Cada pista da un dígito. Decide si es un MCD o un mcm, calcula y escríbelo.
Cierre
En resumen
El MCD es el mayor divisor común de dos o más números; si ninguno es 0, nunca es mayor que el menor de ellos.
El mcm es el menor múltiplo común, sin contar el 0; nunca es menor que el mayor de ellos.
Con factores primos, el MCD toma los primos comunes con el menor exponente y el mcm todos los primos con el mayor.
Partir en partes iguales lo más grandes posible, o armar el mayor número posible de grupos iguales, es un MCD; esperar a que algo que se repite coincida es un mcm.
Después de calcular hay que volver a la pregunta: cuántos trozos, a qué hora, cuántos paquetes.
Vocabulario
- Divisor común
Un número que divide de forma exacta a dos o más números. 3 es divisor común de 12 y 18.
- Máximo común divisor (MCD)
El mayor de los divisores comunes de dos o más números. MCD(12; 18) = 6.
- Múltiplo común
Un número que es múltiplo de dos o más números a la vez. 24 es múltiplo común de 4 y 6.
- Mínimo común múltiplo (mcm)
El menor de los múltiplos comunes de dos o más números, sin contar el 0. mcm(4; 6) = 12.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee las dos situaciones del para qué (cintas y buses) y pida que voten si se resuelven igual, sin calcular todavía.
- Explicación · 20 min — MCD y mcm por listas con números pequeños; luego por factorización con el ejemplo de 60 y 72; cierre con la tabla de pistas para decidir cuál usar.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el candado en parejas, pidiendo que antes de calcular escriban si cada pista es MCD o mcm y por qué.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante inventa un problema de MCD y uno de mcm con situaciones de su casa o del barrio y se los intercambia con un compañero.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué el MCD de dos números no puede ser mayor que el menor de ellos?
- ¿Cuándo el mcm de dos números es igual a su producto? ¿Y cuándo es el mayor de los dos?
- En el problema de los buses, ¿qué pasaría si buscáramos el MCD en lugar del mcm?
Errores típicos
- Confundir cuál se usa: calcular el MCD en un problema de coincidencias, o al revés. Pida decidir antes si el número que buscan (el largo del trozo, el número de kits, el minuto en que coinciden, la cantidad común) tiene que dividir a los datos o ser múltiplo de ellos: si los divide, es un MCD; si es múltiplo, un mcm. No sirve mirar la respuesta final, que puede ser un cociente (los 4 y 5 paquetes de los panes salen de un mcm).
- Tomar como mcm el producto de los números siempre. Compare mcm(4; 6) = 12 con 4 · 6 = 24 y pida encontrar un múltiplo común más pequeño que el producto.
- En la factorización, tomar los exponentes al revés (el mayor para el MCD). Pida comprobar que el resultado divide a los dos números: si no los divide, no es un divisor común.
- Responder con el MCD o el mcm cuando la pregunta pide otra cosa (cuántos trozos, a qué hora). Pida subrayar la pregunta y escribir la respuesta con su unidad y en una frase completa.
Tarea sugerida
Calcular MCD y mcm de 45 y 75 por listas y por factorización; resolver «¿cada cuántos días coinciden dos vecinos que riegan sus matas cada 6 y cada 10 días?», e inventar un problema de MCD con cintas, tablas o kits.