Significados de la fracción y equivalencia
Lo que vas a aprender
- Interpretar una fracción como parte de un todo partido en partes iguales, como reparto y como medida en la recta.
- Obtener fracciones equivalentes amplificando y simplificando.
- Simplificar una fracción hasta su forma irreducible.
- Pasar una fracción impropia a número mixto y un número mixto a fracción impropia.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la casa de Valentina compraron una torta para celebrar un cumpleaños y la partieron para toda la familia. En la tienda del barrio, don Jairo vende media libra de queso y un cuarto de libra de mantequilla. En el colegio, alguien pregunta cuánto falta para la salida y le responden que tres cuartos de hora. En todas esas frases hay fracciones.
Las fracciones sirven para hablar de cantidades que no son enteras: un pedazo de torta, un trozo de cinta, lo que le toca a cada uno en un reparto. En esta lección vas a ver tres maneras de entender una fracción, a reconocer cuándo dos fracciones valen lo mismo y a escribir una fracción mayor que la unidad como número mixto.
Antes de empezar recuerda qué son los divisores de un número y cómo se halla el máximo común divisor: los vas a usar para simplificar.
Explicación
La fracción como parte de un todo
Una fracción se escribe con dos números separados por una raya: $\dfrac{a}{b}$. El de abajo es el denominador: dice en cuántas partes iguales se partió la unidad. El de arriba es el numerador: dice cuántas de esas partes se toman.
Si una chocolatina se parte en cuatro pedazos iguales y te comes tres, te comiste tres cuartos de la chocolatina. Lo que se parte (la chocolatina, la torta, la hoja) se llama la unidad o el todo.
La palabra clave es iguales. Si la chocolatina se parte en cuatro pedazos de tamaños distintos, cada pedazo no es un cuarto, aunque sean cuatro pedazos. Mira la figura: a la izquierda hay cuatro partes iguales; a la derecha, cuatro partes desiguales. Solo en la de la izquierda se puede decir que lo sombreado son tres cuartos.
A la izquierda, la barra está partida en cuatro partes iguales y hay tres sombreadas: son tres cuartos. A la derecha, las cuatro partes son desiguales: ninguna es un cuarto.
La fracción como reparto
Una fracción también es el resultado de un reparto. Si tres arepas se reparten en partes iguales entre cuatro amigos, no alcanza para darle una arepa entera a cada uno. Una manera de repartir es partir cada arepa en cuatro pedazos iguales: cada amigo recibe un pedazo de cada arepa, o sea, tres cuartos de arepa. Por eso la fracción $\dfrac{a}{b}$ también quiere decir a repartido entre b, es decir, $a \div b$.
La fracción como medida
Cuando mides algo y la medida no da un número exacto de unidades, usas fracciones. Para eso se parte la unidad en partes iguales, como las rayitas pequeñas de un metro de costurera. En la recta numérica pasa lo mismo: si partes el tramo de 0 a 1 en cuatro partes iguales, cada rayita avanza un cuarto, y la tercera rayita es el punto de los tres cuartos. Si sigues contando cuartos después del 1, llegas a cinco cuartos, seis cuartos, siete cuartos… Esas fracciones son mayores que la unidad.
La recta con la unidad partida en cuartos: cada punto avanza un cuarto. Cuatro cuartos llegan justo al 1.
Fracciones equivalentes
Mira las tres barras de la figura. Son del mismo tamaño. La primera está partida en dos partes iguales y tiene una sombreada; la segunda, en cuatro, con dos sombreadas; la tercera, en ocho, con cuatro sombreadas. Las tres tienen sombreado lo mismo. Las fracciones que representan la misma cantidad se llaman equivalentes.
Un medio, dos cuartos y cuatro octavos cubren el mismo pedazo de la barra: son fracciones equivalentes.
Hay dos maneras de conseguir fracciones equivalentes:
- Amplificar: multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número, distinto de cero. Si partes cada pedazo en dos, tienes el doble de pedazos y tomas el doble de pedazos: la cantidad no cambia.
- Simplificar: dividir el numerador y el denominador entre un mismo divisor común. Es como juntar los pedazos de a dos o de a tres: hay menos pedazos, más grandes, y la cantidad tampoco cambia.
Cuidado con dos trampas. Sumar el mismo número arriba y abajo no es una manera de hacer equivalentes: a un medio le sumas 1 arriba y abajo y sale dos tercios, que no vale lo mismo. Y multiplicar solo el numerador, o solo el denominador, tampoco: eso cambia la cantidad.
Cuando el numerador y el denominador ya no tienen ningún divisor común aparte del 1, la fracción es irreducible: ya no se puede simplificar más. Puedes llegar a ella poco a poco, dividiendo entre 2, entre 3…, o en un solo paso, dividiendo entre el máximo común divisor de los dos números.
Fracciones impropias y números mixtos
Una fracción con el numerador menor que el denominador, como tres cuartos, es propia: es menor que la unidad. Si el numerador es mayor que el denominador, la fracción es impropia: es mayor que la unidad, porque tiene más partes de las que caben en un entero. Y si el numerador y el denominador son iguales, como en cuatro cuartos, la fracción vale exactamente 1.
Una fracción impropia se puede escribir como número mixto: un número natural más una fracción propia. Once cuartos son dos unidades enteras, que son ocho cuartos, y tres cuartos más: $2 + \tfrac{3}{4}$, que se lee «dos y tres cuartos». En este curso los números mixtos se escriben siempre así, con el signo +, para que se vea lo que quieren decir; en otros libros lo vas a encontrar abreviado, sin el signo: $2\tfrac{3}{4}$.
Para pasar de impropia a mixto, divides el numerador entre el denominador: el cociente es la parte entera y el residuo es el numerador de la fracción que sobra. Si la división es exacta, no sobra nada y la fracción es un número natural: ocho cuartos son 2.
Ejemplo resuelto
El reparto de las arepas
Se reparten $3$ arepas entre $4$ amigos en partes iguales. ¿Qué parte de una arepa le toca a cada uno?
Ver la solución paso a paso
Repartir tres entre cuatro da la fracción de numerador 3 y denominador 4:
$$\frac{3}{4}$$
Lo comprobamos: si juntamos lo que recibió cada uno de los cuatro amigos, tienen que salir las tres arepas. Juntamos cuatro veces tres cuartos:
$$\frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4}$$
Son doce cuartos.
$$\frac{12}{4}$$
Y doce cuartos son tres arepas enteras, porque cada cuatro cuartos forman una arepa.
$$3$$
Respuesta: A cada amigo le tocan 3/4 de arepa.
Ejemplo resuelto
Amplificar y simplificar
Encuentra dos fracciones equivalentes a $\tfrac{2}{3}$ amplificando, y simplifica $\tfrac{18}{24}$ hasta la fracción irreducible.
Ver la solución paso a paso
Partimos de dos tercios.
$$\frac{2}{3}$$
Amplificamos por 2: multiplicamos el numerador y el denominador por 2.
$$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}$$
Obtenemos cuatro sextos.
$$\frac{4}{6}$$
Amplificamos dos tercios por 5.
$$\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}$$
Obtenemos diez quinceavos. Las tres fracciones valen lo mismo.
$$\frac{10}{15}$$
Ahora simplificamos dieciocho veinticuatroavos. Los dos números son pares, así que dividimos los dos entre 2:
$$\frac{18}{24}$$
Queda nueve doceavos.
$$\frac{9}{12}$$
9 y 12 son múltiplos de 3: dividimos los dos entre 3.
$$\frac{3}{4}$$
3 y 4 solo tienen el 1 como divisor común, así que tres cuartos es irreducible:
$$\operatorname{MCD}\left(3;\ 4\right) = 1$$
En un solo paso: el máximo común divisor de 18 y 24 es 6, y al dividir los dos entre 6 se llega directo a tres cuartos.
$$\operatorname{MCD}\left(18;\ 24\right) = 6$$
Respuesta: 4/6 y 10/15 son equivalentes a 2/3, y 18/24 simplificada hasta el final es 3/4.
La tira tiene 2/3 sombreados. Parte cada tercio en 2 y después en 3: lo sombreado no cambia, pero la fracción se escribe con otros números. Así se amplifica.
Ejemplo resuelto
De impropia a mixto, y al revés
Escribe $\tfrac{11}{4}$ como número mixto, y $3 + \tfrac{2}{5}$ como fracción impropia.
Ver la solución paso a paso
Once cuartos.
$$\frac{11}{4}$$
Cada cuatro cuartos forman una unidad. En once caben dos grupos de cuatro, que son ocho cuartos, y sobran tres cuartos:
$$\frac{8}{4} + \frac{3}{4}$$
Ocho cuartos son dos unidades enteras.
$$2 + \frac{3}{4}$$
Al revés: tres y dos quintos es tres más dos quintos.
$$3 + \frac{2}{5}$$
Cada unidad tiene cinco quintos, así que tres unidades son quince quintos:
$$\frac{15}{5} + \frac{2}{5}$$
Juntamos los quintos.
$$\frac{17}{5}$$
Respuesta: 11/4 es el número mixto 2 + 3/4, y 3 + 2/5 es la fracción impropia 17/5.
Práctica
¿Qué fracción es equivalente a $\frac{3}{5}$?
Amplificamos por 2: 3 · 2 = 6 y 5 · 2 = 10. La fracción 4/6 sale de sumar 1 arriba y abajo, y eso no da equivalentes; 6/5 multiplica solo el numerador, y 5/3 voltea la fracción.
Simplifica $\frac{12}{18}$ hasta la fracción irreducible.
El MCD de 12 y 18 es 6. Al dividir los dos entre 6 queda 2/3. También se puede ir por partes: 12/18 = 6/9 = 2/3.
Quieres escribir una fracción equivalente a 4/7 que tenga denominador 21. ¿Qué numerador le pones?
Para pasar de 7 a 21 hay que multiplicar el denominador por 3. Se multiplica también el numerador: 4 · 3 = 12, y 4/7 = 12/21.
Se reparten 5 panelas entre 8 personas en partes iguales. ¿Qué parte de una panela recibe cada persona?
Repartir 5 entre 8 es 5/8: se parte cada panela en 8 pedazos iguales y cada persona recibe un pedazo de cada una. 8/5 sería repartir 8 panelas entre 5 personas, y 1/8 es lo que recibe cada una de una sola panela.
Un metro de cinta se parte en 8 trozos iguales y se usan 3 para un moño. ¿Qué fracción del metro sobra?
El metro tiene 8 octavos. Si se usan 3, sobran 5 octavos: 5/8. La fracción 3/8 es lo que se usó, no lo que sobra.
¿Verdadero o falso? $\frac{2}{3} = \frac{3}{4}$
Pasar de 2/3 a 3/4 es sumar 1 arriba y abajo, y eso no da fracciones equivalentes. Si las amplificas a doceavos, 2/3 = 8/12 y 3/4 = 9/12: no son iguales.
¿Verdadero o falso? $\frac{15}{20} = \frac{3}{4}$
Al dividir 15 y 20 entre 5, su MCD, queda 3/4. Las dos fracciones son equivalentes.
¿Qué número mixto es igual a $\frac{19}{6}$?
19 ÷ 6 da cociente 3 y residuo 1: son 3 unidades enteras (18 sextos) y sobra 1 sexto. Por eso 19/6 = 3 + 1/6.
Escribe el número mixto 4 + 2/3 como fracción impropia.
Cada unidad tiene 3 tercios, así que 4 unidades son 12 tercios. Con los 2 tercios que sobran, son 14 tercios: 14/3.
Marca todas las fracciones impropias.
Marca todas las que apliquen.
Una fracción es impropia cuando el numerador es mayor que el denominador: 7/4, 5/2 y 13/10 pasan de la unidad. En 3/8 y 11/12 el numerador es menor.
Juan partió una hoja en cuatro pedazos de distinto tamaño y pintó uno de azul. Dice que pintó un cuarto de la hoja. ¿Tiene razón?
El denominador cuenta partes IGUALES. Si los pedazos son de distinto tamaño, el que pintó puede ser más o menos que un cuarto de la hoja, según cuál haya sido.
Reto
Une cada fracción con su equivalente.
Busca las parejas que valen lo mismo. Puedes amplificar o simplificar.
Reto
¿Cuál no es como las demás?
En cada ronda, toca la fracción que es de una clase distinta. Pista: mira si la fracción es un número entero o si es menor que la unidad.
Cierre
En resumen
Una fracción a/b toma a partes de una unidad partida en b partes iguales; si las partes no son iguales, contar pedazos no dice qué fracción es cada uno.
Una fracción también es un reparto (a/b es a repartido entre b) y una medida en la recta, contando partes iguales de la unidad.
Amplificar o simplificar (multiplicar o dividir arriba y abajo por el mismo número) da fracciones equivalentes; sumar el mismo número no.
Una fracción es irreducible cuando el numerador y el denominador solo tienen el 1 como divisor común.
Una fracción impropia es mayor que la unidad y se escribe como número mixto dividiendo el numerador entre el denominador; si la división es exacta, es un número natural (8/4 = 2).
Vocabulario
- Fracción
Número que se escribe a/b, con b distinto de cero. Si la unidad se parte en b partes iguales, a/b son a de esas partes.
- Denominador
El número de abajo de una fracción. Dice en cuántas partes iguales se partió la unidad.
- Numerador
El número de arriba de una fracción. Dice cuántas de esas partes se toman.
- Fracciones equivalentes
Fracciones que representan la misma cantidad, como 1/2 y 2/4.
- Fracción irreducible
Fracción cuyo numerador y denominador solo tienen el 1 como divisor común. Ya no se puede simplificar.
- Número mixto
Un número natural distinto de 0 más una fracción propia, como 2 + 3/4, que se lee «dos y tres cuartos».
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Lleve tiras de papel y pida partirlas «en cuatro». Muestre en el tablero alguna tira partida en pedazos desiguales y pregunte si cada pedazo es un cuarto.
- Explicación · 15 min — Los tres significados (parte, reparto y medida en la recta), las fracciones equivalentes con las barras, y los mixtos; los tres ejemplos en el tablero.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el dominó y el intruso en parejas, pidiendo que expliquen en voz alta cómo decidieron.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe tres fracciones equivalentes a una que usted dicte y una fracción impropia con su número mixto.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué no se puede decir que un pedazo es un tercio si las tres partes no son iguales?
- Si amplifico una fracción, ¿los pedazos se vuelven más grandes o más pequeños? ¿Cambia la cantidad?
- ¿Cuántas fracciones equivalentes a un medio hay? ¿Se acaban alguna vez?
Errores típicos
- Contar partes sin fijarse en que sean iguales. Pida superponer los pedazos recortados para comprobar si tienen el mismo tamaño antes de nombrar la fracción.
- Sumar el mismo número al numerador y al denominador para «hacer» una equivalente. Compare con barras 1/2 y 2/3 (que sale de sumar 1): se ve que no cubren lo mismo.
- Simplificar dividiendo solo el numerador o solo el denominador. Recuerde que simplificar es juntar pedazos: si se juntan de a dos, hay la mitad de pedazos en total y la mitad de pedazos tomados.
Tarea sugerida
Escribir cuatro fracciones equivalentes a 3/5; simplificar 24/36 hasta la irreducible; pasar 23/5 a número mixto y 2 + 5/6 a fracción impropia; inventar un reparto cuya respuesta sea 4/7.