Comparar, ordenar y ubicar fracciones
Lo que vas a aprender
- Comparar dos fracciones eligiendo un criterio (igual denominador, igual numerador, comparar con un medio o con la unidad, productos cruzados) y justificar la elección.
- Ubicar fracciones propias e impropias en la recta numérica dividiendo la unidad en partes iguales.
- Ordenar listas de fracciones de menor a mayor.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Mariana y su hermano hacen la misma tarea de lectura. Ella ya leyó tres cuartos del libro y él, cinco sextos. ¿Quién va más adelante? En la cocina, una receta de arepas pide dos tercios de taza de queso y otra pide tres cuartos. ¿Cuál lleva más queso? Para responder no basta con mirar qué números son más grandes: hay que comparar fracciones.
En esta lección vas a aprender varios criterios para decidir cuál de dos fracciones es mayor, a escoger el más rápido en cada caso, a ubicar fracciones en la recta numérica y a ordenar listas de fracciones.
Antes de empezar recuerda cómo se amplifica una fracción y cómo se pasa una fracción impropia a número mixto.
Explicación
Con el mismo denominador
Si dos fracciones tienen el mismo denominador, las partes son del mismo tamaño. Entonces es mayor la que toma más partes: cinco octavos es más que tres octavos, porque son más pedazos del mismo tamaño.
Con el mismo numerador
Si dos fracciones tienen el mismo numerador, se toma el mismo número de partes, pero las partes son de distinto tamaño. Entre más partes se parta la unidad, más pequeña es cada parte: un sexto de torta es menos que un cuarto de la misma torta. Por eso, con el mismo numerador, la fracción mayor es la del denominador menor. Tres quintos es más que tres séptimos. Es el error más común: creer que un denominador más grande da una fracción más grande.
Comparar con un medio o con la unidad
A veces no hace falta ninguna cuenta larga: basta comparar cada fracción con una referencia. La unidad es la más fácil. Una fracción propia es menor que 1 y una impropia es mayor que 1, así que ocho novenos es menor que nueve octavos.
Un medio también sirve mucho. Una fracción es menor que un medio cuando el doble del numerador no alcanza al denominador, y es mayor que un medio cuando el doble del numerador pasa al denominador. Si una fracción queda por debajo de un medio y la otra por encima, ya sabes cuál es mayor.
Productos cruzados
Cuando ningún atajo sirve, hay un método que siempre funciona. Para comparar $\dfrac{a}{b}$ con $\dfrac{c}{d}$ se multiplica en cruz: se compara $a \cdot d$ con $c \cdot b$. Si el primer producto es mayor, la primera fracción es mayor.
¿Por qué funciona? Porque es lo mismo que amplificar las dos fracciones para que tengan el mismo denominador, $b \cdot d$. Al amplificar, los numeradores quedan justo $a \cdot d$ y $c \cdot b$, y con el mismo denominador ya sabes comparar. Los productos cruzados son un atajo de esa idea, no un truco de magia.
¿Qué criterio uso?
Antes de calcular, mira las dos fracciones y pregúntate en este orden: ¿tienen el mismo denominador?, ¿tienen el mismo numerador?, ¿una es propia y la otra impropia?, ¿una queda por debajo de un medio y la otra por encima? Si alguna respuesta es sí, ya puedes decidir casi sin cuentas. Si todas son no, multiplica en cruz. Escoger bien el criterio ahorra tiempo y también ayuda a explicar por qué tu respuesta es correcta.
Ejemplo resuelto
Escoger el criterio
Compara $\tfrac{5}{8}$ con $\tfrac{3}{8}$, $\tfrac{3}{5}$ con $\tfrac{3}{7}$, $\tfrac{8}{9}$ con $\tfrac{9}{8}$ y, por último, $\tfrac{5}{8}$ con $\tfrac{3}{5}$.
Ver la solución paso a paso
Las dos primeras tienen el mismo denominador: gana la de más partes.
$$\frac{5}{8} > \frac{3}{8}$$
Las dos siguientes tienen el mismo numerador: gana la de denominador menor, porque los quintos son más grandes que los séptimos. Lo mismo pasa con un sexto y un cuarto:
$$\frac{3}{5} > \frac{3}{7} \quad\text{y}\quad \frac{1}{6} < \frac{1}{4}$$
Ocho novenos es propia y nueve octavos es impropia, así que la unidad queda en medio:
$$\frac{8}{9} < 1 < \frac{9}{8}$$
Para cinco octavos y tres quintos no sirve ningún atajo: no comparten denominador ni numerador, y las dos están entre un medio y uno.
Multiplicamos en cruz: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el numerador de la segunda por el denominador de la primera. Da veinticinco contra veinticuatro:
$$5 \cdot 5 > 3 \cdot 8$$
¿Por qué sirve? Si amplificamos las dos fracciones a cuarentavos, los numeradores son justo esos productos:
$$\frac{5}{8} = \frac{25}{40} \quad\text{y}\quad \frac{3}{5} = \frac{24}{40}$$
Con el mismo denominador, es mayor la que tiene el numerador mayor.
$$\frac{5}{8} > \frac{3}{5}$$
Respuesta: 5/8 > 3/8, 3/5 > 3/7, 8/9 < 9/8 y 5/8 > 3/5.
Ejemplo resuelto
Comparar con un medio
Compara $\tfrac{3}{7}$ y $\tfrac{5}{9}$ sin multiplicar en cruz.
Ver la solución paso a paso
El doble de 3 no alcanza a 7:
$$2 \cdot 3 < 7$$
Entonces tres séptimos es menos de un medio.
$$\frac{3}{7} < \frac{1}{2}$$
El doble de 5 pasa de 9:
$$2 \cdot 5 > 9$$
Entonces cinco novenos es más de un medio.
$$\frac{5}{9} > \frac{1}{2}$$
Un medio queda entre las dos, así que ya sabemos cuál es mayor:
$$\frac{3}{7} < \frac{1}{2} < \frac{5}{9}$$
Respuesta: 3/7 es menor que 5/9.
Tres séptimos queda a la izquierda de un medio y cinco novenos a la derecha.
Ubicar fracciones en la recta
En la recta numérica, cada número ocupa un punto, y el mayor siempre queda a la derecha. Para ubicar una fracción, se parte cada unidad en tantas partes iguales como dice el denominador y se cuentan, desde el 0, tantas partes como dice el numerador.
Si la fracción es impropia, se pasa del 1. Conviene escribirla primero como número mixto: la parte entera te dice entre qué dos números naturales está, y la fracción que sobra te dice cuántas partes contar después de ese natural.
Ordenar una lista
Para ordenar varias fracciones, lo más seguro es pasarlas todas a un mismo denominador, amplificando, y ordenar los numeradores. Busca un denominador que sea múltiplo de todos los denominadores de la lista. Otra estrategia es separar primero las fracciones en grupos: las menores que un medio, las que están entre un medio y uno, y las mayores que uno. Después solo hay que comparar dentro de cada grupo.
Ejemplo resuelto
Ubicar cinco tercios
Ubica $\tfrac{5}{3}$ en la recta numérica.
Ver la solución paso a paso
Cinco tercios. Como el numerador es mayor que el denominador, la fracción pasa de 1.
$$\frac{5}{3}$$
Tres tercios forman una unidad y sobran dos tercios:
$$\frac{3}{3} + \frac{2}{3}$$
Como número mixto:
$$1 + \frac{2}{3}$$
Así que está entre 1 y 2. Partimos el tramo de 1 a 2 en tres partes iguales y contamos dos partes desde el 1: ahí va cinco tercios.
$$1 < \frac{5}{3} < 2$$
Respuesta: 5/3 = 1 + 2/3: está entre 1 y 2, en la segunda rayita después del 1, cuando el tramo de 1 a 2 se parte en tercios.
La ranita salta de tercio en tercio. Cuenta cinco saltos: pasa el 1 en el tercer salto y se queda entre el 1 y el 2, en 5/3.
La recta con cada unidad partida en tercios. Cinco tercios está entre 1 y 2.
Ejemplo resuelto
Ordenar cuatro fracciones
Ordena de menor a mayor $\tfrac{3}{4}$, $\tfrac{2}{3}$, $\tfrac{5}{6}$ y $\tfrac{7}{12}$.
Ver la solución paso a paso
Los denominadores 4, 3 y 6 caben exactamente en 12, así que amplificamos todas a doceavos:
$$\frac{3}{4} = \frac{9}{12} \quad\text{y}\quad \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \quad\text{y}\quad \frac{5}{6} = \frac{10}{12}$$
Con el mismo denominador, ordenamos los numeradores.
$$\frac{7}{12} < \frac{8}{12} < \frac{9}{12} < \frac{10}{12}$$
Volvemos a escribir las fracciones como estaban al principio.
$$\frac{7}{12} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6}$$
Respuesta: De menor a mayor: 7/12, 2/3, 3/4 y 5/6.
Práctica
¿Cuál es mayor: 5/9 o 5/7?
Las dos toman 5 partes, pero los séptimos son más grandes que los novenos, porque la unidad se parte en menos pedazos. Por eso 5/7 es mayor.
¿Cuál es la menor de estas fracciones: 2/3, 3/5, 7/10 y 5/8?
Todas están entre un medio y uno. Comparando en cruz, 3/5 es menor que cada una de las otras: 3 · 3 = 9 < 10 = 2 · 5; 3 · 10 = 30 < 35 = 7 · 5; 3 · 8 = 24 < 25 = 5 · 5.
¿Verdadero o falso? $\frac{4}{9} > \frac{3}{7}$
En cruz: 4 · 7 = 28 y 3 · 9 = 27. Como 28 > 27, 4/9 es mayor, aunque por muy poco.
¿Verdadero o falso? $\frac{7}{10} < \frac{2}{3}$
En cruz: 7 · 3 = 21 y 2 · 10 = 20. Como 21 > 20, 7/10 es mayor que 2/3.
¿Verdadero o falso? $\frac{1}{3} < \frac{2}{5} < \frac{1}{2}$
Con denominador 30: 1/3 = 10/30, 2/5 = 12/30 y 1/2 = 15/30. Los numeradores van en orden.
Marca todas las fracciones mayores que 1.
Marca todas las que apliquen.
Son mayores que 1 las que tienen el numerador mayor que el denominador: 9/8 y 12/11. La fracción 4/4 es exactamente 1, no más.
En una recta, el tramo de 0 a 1 está partido en 6 partes iguales. Un punto está en la quinta rayita después del 0. ¿Qué fracción le corresponde?
Cada parte es un sexto de la unidad. Cinco partes desde el 0 son 5/6.
La fracción 17/5 está entre dos números naturales consecutivos. ¿Cuál es el menor de ellos?
17 ÷ 5 da cociente 3 y residuo 2: 17/5 = 3 + 2/5. Está entre 3 y 4.
Tomás leyó 3/4 de un libro y Ana leyó 5/6 del mismo libro. ¿Qué fracción del libro leyó quien va más adelante?
Con denominador 12: 3/4 = 9/12 y 5/6 = 10/12. Ana va más adelante. A Tomás le falta 1/4 del libro y a Ana solo 1/6, que es menos.
Ordena de menor a mayor 5/12, 1/3 y 1/2. ¿Qué fracción queda en el medio?
En doceavos: 1/3 = 4/12 y 1/2 = 6/12. El orden es 4/12 < 5/12 < 6/12, así que la del medio es 5/12.
Sara dice que un octavo es mayor que un sexto porque 8 es mayor que 6. ¿Qué le dirías?
Con el mismo numerador, gana el denominador menor. Una torta partida en 8 da pedazos más pequeños que la misma torta partida en 6.
Reto
¿Menor o mayor que la unidad?
Arrastra cada fracción a su canasta. Mira si el numerador es menor o mayor que el denominador.
Reto
Ordena las tres fracciones.
Elige en cada espacio la fracción que va. Puedes compararlas con un medio.
Cierre
En resumen
Con el mismo denominador es mayor la fracción de numerador mayor; con el mismo numerador es mayor la de denominador menor.
Comparar con un medio o con la unidad resuelve muchas comparaciones sin cuentas largas.
Los productos cruzados siempre funcionan, porque equivalen a amplificar las dos fracciones al mismo denominador.
Para ubicar una fracción en la recta se parte la unidad en partes iguales y se cuentan desde el 0; una impropia se ubica mejor como número mixto.
Para ordenar una lista, se pasan todas las fracciones a un mismo denominador y se ordenan los numeradores.
Vocabulario
- Productos cruzados
Para comparar a/b con c/d se comparan a · d (lleva el numerador de a/b) y c · b (lleva el numerador de c/d): si a · d es mayor, a/b es la mayor.
- Fracción de referencia
Una fracción conocida, como un medio o la unidad, que sirve para comparar otras sin hacer cuentas largas.
- Recta numérica
Una recta en la que cada número ocupa un punto; los mayores quedan a la derecha.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee la pregunta de la lectura (tres cuartos o cinco sextos) y pida que voten antes de calcular; registre los argumentos.
- Explicación · 15 min — Los cuatro criterios con barras de papel o en el tablero; dibuje la recta y ubique tercios y cuartos; los cuatro ejemplos.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; antes de cada comparación, pida que digan qué criterio van a usar y por qué es el más rápido.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante ubica en una recta común del tablero una fracción que usted le asigne y justifica el lugar.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué un denominador más grande puede dar una fracción más pequeña?
- Si una fracción es menor que un medio y otra es mayor que un medio, ¿hace falta hacer cuentas para compararlas?
- ¿Entre dos fracciones distintas siempre hay otra fracción? Busquen una entre 1/3 y 1/2.
Errores típicos
- Creer que la fracción con el denominador más grande es la mayor. Compare con tiras de papel del mismo largo partidas en 6 y en 8: se ve que el octavo es más pequeño.
- Comparar solo los numeradores cuando los denominadores son distintos. Pregunte de qué tamaño son las partes y pida pasar las dos fracciones a un mismo denominador antes de decidir.
- Ubicar una fracción impropia antes del 1, o dividir toda la recta (de 0 a 2) en el número de partes del denominador. Pida escribirla como número mixto y partir cada unidad, no la recta entera, en partes iguales.
Tarea sugerida
Comparar 4/7 y 4/9, 5/8 y 3/8, 6/11 y 4/9 diciendo qué criterio usó en cada caso; ubicar en una misma recta 1/4, 3/2 y 9/4; ordenar 2/3, 5/9, 1/2 y 7/9.