Suma y resta de fracciones
Lo que vas a aprender
- Sumar y restar fracciones con el mismo denominador y explicar por qué el denominador no se suma.
- Sumar y restar fracciones con distinto denominador cambiándolas por fracciones equivalentes con un denominador común.
- Sumar y restar números mixtos.
- Resolver problemas de repartos y particiones con suma y resta de fracciones.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la huerta del colegio, un grupo siembra tomate en una parte del terreno y otro grupo siembra cilantro en otra parte. ¿Cuánto terreno queda libre para las cebollas? En la cocina, una receta pide media taza de leche y un cuarto de taza de agua. ¿Cuánto líquido lleva en total? Para responder hay que sumar y restar fracciones.
En esta lección vas a sumar y restar fracciones con el mismo denominador y con denominadores distintos, a trabajar con números mixtos y a resolver problemas de repartos. También vas a conocer el error más común con las fracciones, y a cazarlo sin hacer cuentas.
Antes de empezar recuerda cómo se amplifica una fracción y cómo se encuentran los múltiplos de un número.
Explicación
Con el mismo denominador
Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador (se llaman homogéneas), las partes son del mismo tamaño. Para sumarlas, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador. Dos séptimos más tres séptimos son cinco séptimos, igual que dos manzanas más tres manzanas son cinco manzanas.
El denominador dice qué clase de parte es (séptimos, octavos), no cuántas partes hay. Por eso no se suma: sumar dos séptimos y tres séptimos no convierte las partes en catorceavos. Para restar se hace lo mismo: se restan los numeradores y se deja el denominador. Al final, si se puede, se simplifica el resultado.
El error que hay que evitar
Mucha gente suma un medio más un tercio así: arriba uno más uno, abajo dos más tres, y dice que da dos quintos. Eso está mal, y lo puedes descubrir sin hacer la cuenta correcta: dos quintos es menos que un medio, y si a un medio le sumas algo, el resultado tiene que ser más que un medio. El problema es que medios y tercios son pedazos de distinto tamaño, y no se pueden juntar contándolos como si fueran iguales.
Con distinto denominador
Cuando los denominadores son distintos (fracciones heterogéneas), la salida es cambiar cada fracción por una equivalente, de modo que las dos queden con el mismo denominador. Entonces las partes ya son del mismo tamaño y se suman como antes.
Para encontrar ese denominador común, escribe algunas fracciones equivalentes de cada una, amplificando, y busca el primer denominador que aparezca en las dos listas. Fíjate en que ese número es un múltiplo de los dos denominadores: es el mínimo común múltiplo que conociste en la unidad anterior. Cualquier múltiplo común sirve, por ejemplo el producto de los denominadores, pero con el más pequeño los números quedan más cómodos.
Un medio (barra de arriba) y un tercio (barra del centro) se juntan en la barra de abajo, partida en sextos: el medio son tres sextos y el tercio son dos sextos.
Ejemplo resuelto
Con el mismo denominador
Calcula $\tfrac{2}{7} + \tfrac{3}{7}$ y $\tfrac{7}{8} - \tfrac{3}{8}$.
Ver la solución paso a paso
Los dos sumandos son séptimos.
$$\frac{2}{7} + \frac{3}{7}$$
Sumamos los numeradores y dejamos el denominador:
$$\frac{2 + 3}{7}$$
Son cinco séptimos.
$$\frac{5}{7}$$
En la resta, las dos fracciones son octavos.
$$\frac{7}{8} - \frac{3}{8}$$
Restamos los numeradores y dejamos el denominador:
$$\frac{7 - 3}{8}$$
Quedan cuatro octavos.
$$\frac{4}{8}$$
Y simplificamos dividiendo entre 4.
$$\frac{1}{2}$$
Respuesta: 2/7 + 3/7 = 5/7, y 7/8 − 3/8 = 4/8, que simplificado es 1/2.
Ejemplo resuelto
Un medio más un tercio
Calcula $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3}$.
Ver la solución paso a paso
Buscamos un denominador común. Equivalentes de un medio: dos cuartos, tres sextos, cuatro octavos… Equivalentes de un tercio: dos sextos, tres novenos… El primer denominador que se repite es el 6, el mínimo común múltiplo de 2 y 3:
$$\operatorname{mcm}\left(2;\ 3\right) = 6$$
Partimos de la suma.
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$$
Cambiamos cada fracción por su equivalente en sextos.
$$\frac{3}{6} + \frac{2}{6}$$
Ahora las partes son del mismo tamaño y sumamos los numeradores.
$$\frac{5}{6}$$
Comprobamos que dos quintos no podía ser la respuesta: es menos que un medio, y la suma tiene que pasar de un medio.
$$\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$$
Respuesta: 1/2 + 1/3 = 5/6, no 2/5.
Junta un medio y un tercio. Parte las dos tiras en sextos, el denominador común, y cuenta los pedazos de los dos colores.
Ejemplo resuelto
La huerta del colegio
En la huerta del colegio, $\tfrac{1}{4}$ del terreno tiene tomate y $\tfrac{2}{5}$ tiene cilantro. ¿Qué parte del terreno queda libre?
Ver la solución paso a paso
Lo que queda libre es el terreno entero, que es 1, menos lo sembrado:
$$1 - \left(\frac{1}{4} + \frac{2}{5}\right)$$
Pasamos a veinteavos, porque 20 es el primer múltiplo común de 4 y de 5:
$$1 - \left(\frac{5}{20} + \frac{8}{20}\right)$$
Primero el paréntesis: lo sembrado son trece veinteavos.
$$1 - \frac{13}{20}$$
El terreno entero son veinte veinteavos.
$$\frac{20}{20} - \frac{13}{20}$$
Restamos los numeradores.
$$\frac{7}{20}$$
El denominador común que usamos es el mínimo común múltiplo de 4 y 5:
$$\operatorname{mcm}\left(4;\ 5\right) = 20$$
Respuesta: Queda libre 7/20 del terreno.
Números mixtos
Para sumar números mixtos hay dos caminos. El primero es sumar los enteros con los enteros y las fracciones con las fracciones. Si la suma de las fracciones pasa de la unidad, de ahí sale otro entero, que se junta con los demás. El segundo camino es pasar todo a fracciones impropias, sumar y volver al número mixto al final.
Para restar mixtos, el segundo camino suele ser más seguro: si la fracción del primer número es menor que la del segundo, con el primer camino no alcanza para restar sin pedir prestado un entero.
Problemas de repartos y particiones
En un problema, lo primero es saber cuál es la unidad: el terreno, la botella, la torta. Todo lo que se reparte son fracciones de esa misma unidad. Cuando el problema pregunta por «lo que queda», es la unidad entera menos lo que se usó, y la unidad entera se escribe con el denominador que haga falta: cuatro cuartos, veinte veinteavos.
Antes de calcular, estima: ¿el resultado debería ser más o menos de la mitad?, ¿debería pasar de 1? Si tu cuenta da algo que no cuadra con lo que estimaste, revísala.
Ejemplo resuelto
La caminata del fin de semana
Lucía camina $(2 + \tfrac{1}{2})$ km el sábado y $(1 + \tfrac{3}{4})$ km el domingo. ¿Cuántos kilómetros camina en total?
Ver la solución paso a paso
Escribimos la suma de los dos números mixtos.
$$\left(2 + \frac{1}{2}\right) + \left(1 + \frac{3}{4}\right)$$
Juntamos los enteros por un lado y las fracciones por otro.
$$\left(2 + 1\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4}\right)$$
Sumamos los enteros y pasamos el medio a cuartos.
$$3 + \left(\frac{2}{4} + \frac{3}{4}\right)$$
Las fracciones dan cinco cuartos.
$$3 + \frac{5}{4}$$
Cinco cuartos pasan de la unidad: son un entero y un cuarto.
$$3 + 1 + \frac{1}{4}$$
Juntamos los enteros.
$$4 + \frac{1}{4}$$
Respuesta: Camina (4 + 1/4) km en total, es decir, 17/4 km.
Práctica
Calcula $\frac{3}{8} + \frac{1}{8}$. Escribe el resultado como fracción irreducible.
Son octavos: 3 + 1 = 4, así que da 4/8. Simplificado entre 4 es 1/2.
¿Cuánto es $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$?
Un medio son dos cuartos: 2/4 + 1/4 = 3/4. La fracción 2/6 sale de sumar arriba y abajo, y es menos que un medio: no puede ser.
Calcula $\frac{5}{6} - \frac{1}{4}$. Escribe el resultado como fracción irreducible.
El primer múltiplo común de 6 y 4 es 12: 5/6 = 10/12 y 1/4 = 3/12. Entonces 10/12 − 3/12 = 7/12.
¿Verdadero o falso? $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2}{7}$
No se suman los denominadores. Con denominador 12: 4/12 + 3/12 = 7/12. Además, 2/7 es menos que 1/3, y la suma tiene que ser mayor que cada sumando.
¿Verdadero o falso? $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
Son cuartos: 3 − 1 = 2, así que da 2/4, que es 1/2.
Vas a sumar 2/3 y 3/4. ¿Cuál es el denominador común más pequeño que puedes usar?
Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12…, y los de 4 son 4, 8, 12… El primero común es 12. El 24 también sirve, pero no es el más pequeño, y 7 es la suma de los denominadores, que no sirve.
Juana caminó 3/5 de kilómetro por la mañana y 1/4 de kilómetro por la tarde. ¿Cuántos kilómetros caminó en total? Escribe el resultado como fracción.
Con denominador 20: 3/5 = 12/20 y 1/4 = 5/20. En total, 17/20 de kilómetro.
De una botella llena de jugo, Pedro se sirve 1/3 y Camila 1/2. ¿Qué fracción de la botella queda?
Entre los dos se sirven 2/6 + 3/6 = 5/6 de la botella. La botella entera son 6/6, así que queda 1/6.
Una cinta mide (3 + 1/3) metros, y se cortan (1 + 1/2) metros. ¿Cuántos metros de cinta quedan? Escribe el resultado como fracción impropia irreducible.
Como impropias: 3 + 1/3 = 10/3 = 20/6, y 1 + 1/2 = 3/2 = 9/6. Entonces 20/6 − 9/6 = 11/6, que es 1 + 5/6 metros.
Sin hacer la cuenta completa, marca todas las sumas que dan más de 1.
Marca todas las que apliquen.
Una suma pasa de 1 cuando un sumando aporta más de lo que al otro le falta para llegar a 1. A 1/2 le falta 1/2, y 2/3 es más que 1/2. A 5/6 le falta 1/6, y 1/3 es más que 1/6. La suma 3/5 + 2/5 da justo 1, no más, y 1/4 + 1/2 y 1/3 + 1/3 no llegan a 1.
Daniel suma un cuarto más un cuarto: suma arriba y suma abajo, y le da dos octavos. ¿Qué le dirías?
Un cuarto más un cuarto son dos cuartos, o sea, un medio. El denominador dice el tamaño de las partes y no se suma. Dos octavos es igual a un cuarto: sería como si sumar no hubiera agregado nada.
Reto
Une cada operación con su resultado.
Toca una operación y luego su resultado. Algunos resultados están simplificados.
Reto
Abre el candado sumando y restando fracciones.
Cada pista da un dígito. Calcula y escríbelo en su casilla.
Cierre
En resumen
Con el mismo denominador se suman o se restan los numeradores y se deja el denominador, porque las partes son del mismo tamaño.
El denominador no se suma; 1/2 + 1/3 no es 2/5, porque 2/5 es menos que 1/2.
Con distinto denominador, se cambian las fracciones por equivalentes con un denominador común; el más pequeño es el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Los números mixtos se suman juntando enteros con enteros y fracciones con fracciones, o pasándolos a fracciones impropias.
En un problema, «lo que queda» es la unidad entera menos lo que se usó; estimar antes ayuda a cazar errores.
Vocabulario
- Denominador común
Un mismo denominador para dos o más fracciones, que se consigue amplificándolas. Sirve para sumarlas, restarlas o compararlas.
- Fracciones homogéneas
Fracciones con el mismo denominador, como 2/7 y 3/7.
- Fracciones heterogéneas
Fracciones con distinto denominador, como 1/2 y 1/3.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Escriba 1/2 + 1/3 = 2/5 en el tablero y pregunte si está bien. Deje que discutan antes de explicar.
- Explicación · 15 min — Suma con el mismo denominador, el error de sumar denominadores refutado con barras, el denominador común con listas de equivalentes y los mixtos; los cuatro ejemplos.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el dominó y el candado en parejas. En la pregunta de las sumas mayores que 1, pida estimar antes de calcular.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe en una tarjeta por qué el denominador no se suma, con un dibujo.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué dos séptimos más tres séptimos no da cinco catorceavos?
- ¿Se puede usar como denominador común el producto de los denominadores? ¿Siempre es el más pequeño?
- Si sumo dos fracciones menores que un medio, ¿el resultado puede pasar de 1?
Errores típicos
- Sumar numeradores con numeradores y denominadores con denominadores. Pida comparar el resultado con cada sumando: si la suma no da más que cada uno de ellos, la cuenta está mal (1/4 + 1/4 «da» 2/8, que es igual a 1/4). Muéstrelo con barras.
- Amplificar solo el denominador al buscar el denominador común. Pida escribir la equivalencia completa (1/2 = 3/6) y comprobarla con la barra antes de sumar.
- Olvidar el entero que sale cuando las fracciones de los mixtos suman más de 1. Pida revisar al final que la fracción del resultado sea propia; si no lo es, sacar el entero.
Tarea sugerida
Calcular 3/10 + 2/5, 7/9 − 1/3 y (1 + 2/3) + (2 + 1/2); inventar un problema de una torta repartida entre tres personas y calcular qué parte sobra.