Fracción de una cantidad y producto de fracciones
Lo que vas a aprender
- Calcular la fracción de una cantidad, como tres quintos de cuarenta, y explicar el procedimiento.
- Multiplicar un natural por una fracción y una fracción por otra, y justificar la regla con el modelo del área.
- Simplificar antes de multiplicar.
- Predecir si un producto será mayor o menor que uno de sus factores.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En un salón, tres quintos de los estudiantes llegan al colegio en bus. ¿Cuántos son? En la casa, la receta de galletas es para muchas personas y quieres hacer solo la mitad: ¿cuánta azúcar necesitas si la receta completa pide tres cuartos de taza? En la finca, un lote rectangular mide dos tercios de kilómetro de largo y medio kilómetro de ancho: ¿cuál es su área? Todas estas preguntas se responden multiplicando con fracciones.
En esta lección vas a calcular la fracción de una cantidad, a multiplicar fracciones con un dibujo que explica la regla, a simplificar antes de multiplicar y a descubrir algo que sorprende: multiplicar no siempre agranda.
Antes de empezar recuerda cómo se simplifica una fracción y las tablas de multiplicar.
Explicación
La fracción de una cantidad
Para calcular tres quintos de cuarenta, piensa en lo que dice la fracción: el denominador dice que la cantidad se parte en cinco partes iguales, y el numerador dice que se toman tres de esas partes. Cuarenta entre cinco da ocho, y tres partes de ocho son veinticuatro.
El procedimiento es siempre el mismo: se divide la cantidad entre el denominador y el resultado se multiplica por el numerador. También puedes multiplicar primero por el numerador y dividir después entre el denominador: da lo mismo, aunque los números del camino quedan más grandes.
Un natural por una fracción
Tres veces dos quintos es dos quintos más dos quintos más dos quintos, o sea, seis quintos. Al multiplicar un natural por una fracción, se multiplica el natural por el numerador y el denominador se queda igual: el denominador dice el tamaño de las partes, y ese tamaño no cambia.
Fíjate en algo importante: «tres quintos de cuarenta» es lo mismo que «tres quintos por cuarenta». En matemáticas, el «de» de una fracción de algo se convierte en una multiplicación. Por eso «la mitad de un tercio» también se calcula multiplicando.
Una fracción por una fracción: el modelo del área
Toma un cuadrado cuya área es 1. Pártelo en tres columnas iguales y sombrea dos: eso son dos tercios del cuadrado. Ahora parte el cuadrado en cinco filas iguales y sombrea cuatro de otro color. La zona que queda con las dos sombras es cuatro quintos de los dos tercios. Mira la figura.
El cuadrado de área 1 partido en tres columnas y cinco filas: quince casillas iguales. La zona con las dos sombras tiene dos columnas por cuatro filas, ocho casillas.
Las columnas y las filas parten el cuadrado en casillas iguales. El número de casillas es el producto de los denominadores, y el número de casillas con doble sombra es el producto de los numeradores. De ahí sale la regla:
$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$
Numerador por numerador y denominador por denominador. Para multiplicar no hace falta buscar un denominador común, como en la suma.
Simplificar antes de multiplicar
Si un numerador y un denominador tienen un divisor común, aunque estén en fracciones distintas, puedes dividir los dos entre ese número antes de multiplicar. El resultado es el mismo, pero con números más pequeños y sin tener que simplificar al final una fracción grande.
¿Multiplicar siempre agranda?
Con los naturales distintos de 0, multiplicar por un número mayor que 1 siempre da un resultado más grande. Con fracciones no es así. Si multiplicas un número positivo por una fracción menor que 1, estás tomando solo una parte, y el resultado es más pequeño que el número de partida: la mitad de algo es menos que ese algo. Si multiplicas un número positivo por una fracción mayor que 1, el resultado es más grande. Y si multiplicas por 1, queda igual. (El 0 es la excepción: por lo que lo multipliques, sigue dando 0).
¿Mi resultado es razonable?
Antes de dar por buena una cuenta, compárala con referencias fáciles. Tres quintos es más que un medio y menos que uno, así que tres quintos de cuarenta tiene que dar más que la mitad de cuarenta y menos que cuarenta. Si te da un número más grande que la cantidad de partida, o más pequeño que la mitad, algo salió mal: revisa si dividiste entre el numerador en vez del denominador.
Ejemplo resuelto
Tres quintos de cuarenta
Calcula $\tfrac{3}{5}$ de $40$.
Ver la solución paso a paso
El «de» se convierte en una multiplicación.
$$\frac{3}{5} \cdot 40$$
Partimos el 40 en cinco partes iguales y tomamos tres de esas partes:
$$3 \cdot \frac{40}{5}$$
Cada parte es 8.
$$3 \cdot 8$$
Tres partes de 8.
$$24$$
Por el otro camino: primero multiplicamos por el numerador y luego dividimos entre el denominador.
$$\frac{3 \cdot 40}{5}$$
El número del camino es más grande…
$$\frac{120}{5}$$
… pero el resultado es el mismo.
$$24$$
¿Es razonable? Tres quintos es más que un medio y menos que uno, así que el resultado tiene que quedar entre la mitad de 40 y 40. Y así es:
$$\frac{1}{2} \cdot 40 < 24 < 40$$
Respuesta: Tres quintos de 40 son 24.
Ejemplo resuelto
El modelo del área
Calcula $\tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{4}{5}$ con el modelo del área.
Ver la solución paso a paso
Las tres columnas y las cinco filas parten el cuadrado en quince casillas iguales:
$$3 \cdot 5 = 15$$
La zona con doble sombra tiene dos columnas por cuatro filas, ocho casillas:
$$2 \cdot 4 = 8$$
Por eso el producto son ocho de las quince casillas. Con la regla:
$$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}$$
Numerador por numerador y denominador por denominador.
$$\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5}$$
Da ocho quinceavos.
$$\frac{8}{15}$$
Respuesta: 2/3 · 4/5 = 8/15.
Ejemplo resuelto
Simplificar antes de multiplicar
Calcula $\tfrac{4}{9} \cdot \tfrac{3}{8}$ simplificando antes de multiplicar.
Ver la solución paso a paso
Escribimos el producto en una sola fracción, sin hacer todavía las multiplicaciones.
$$\frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 8}$$
El 4 de arriba y el 8 de abajo se dividen entre 4; el 3 de arriba y el 9 de abajo, entre 3:
$$\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2}$$
Ahora multiplicamos números pequeños.
$$\frac{1}{6}$$
Sin simplificar antes habría salido doce setentaidosavos, y habría que simplificar al final:
$$\frac{12}{72}$$
Es el mismo resultado, con números más grandes en el camino.
$$\frac{1}{6}$$
Respuesta: 4/9 · 3/8 = 1/6.
Ejemplo resuelto
La mitad de la receta
Una receta de galletas pide $\tfrac{3}{4}$ de taza de azúcar. Marta va a hacer la mitad de la receta. ¿Cuánta azúcar necesita?
Ver la solución paso a paso
La mitad de tres cuartos es un medio por tres cuartos.
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$$
Numerador por numerador y denominador por denominador.
$$\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}$$
Da tres octavos de taza.
$$\frac{3}{8}$$
Multiplicar por un medio achica: la mitad de algo es menos que ese algo.
$$\frac{3}{8} < \frac{3}{4}$$
Respuesta: Necesita 3/8 de taza de azúcar.
Práctica
¿Cuánto es 2/3 de 27?
27 entre 3 da 9, y dos partes de 9 son 18.
En un curso de 30 estudiantes, 2/5 llegan al colegio en bus. ¿Cuántos estudiantes llegan en bus?
30 entre 5 da 6, y dos partes de 6 son 12 estudiantes.
¿Cuánto es $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}$?
3 · 2 = 6 y 4 · 5 = 20: da 6/20, que simplificado es 3/10. La fracción 5/9 sale de sumar arriba y abajo, y 15/8 de multiplicar en cruz, que sirve para comparar, no para multiplicar.
Calcula $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}$. Escribe el resultado como fracción irreducible.
Simplificando antes: el 5 y el 10 se dividen entre 5, y el 3 y el 6 entre 3. Queda 1/2 · 1/2 = 1/4.
Calcula $4 \cdot \frac{2}{7}$. Escribe el resultado como fracción.
Cuatro veces dos séptimos son ocho séptimos: se multiplica el 4 por el numerador y el denominador se queda igual.
¿Verdadero o falso? $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} > \frac{2}{3}$
El producto es 6/12 = 1/2, que es menor que 2/3. Multiplicar por 3/4, una fracción menor que 1, achica.
¿Verdadero o falso? $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
La mitad de un tercio es un sexto: si partes cada tercio en dos, la unidad queda en seis partes iguales.
Un tanque de 120 litros está lleno hasta 3/8 de su capacidad. ¿Cuántos litros de agua tiene?
120 entre 8 da 15, y tres partes de 15 son 45 litros. El 15 es solo un octavo, y 320 sale de dividir y multiplicar al revés.
Un lote rectangular mide 2/3 de kilómetro de largo y 1/2 kilómetro de ancho. ¿Cuál es su área, en km²?
El área es largo por ancho: 2/3 · 1/2 = 2/6 = 1/3 de km². La fracción 7/6 es la suma, no el producto, y 3/5 sale de sumar arriba y abajo.
Marca todos los productos que dan más de 1.
Marca todas las que apliquen.
3/2 · 4/5 = 6/5, 5 · 1/4 = 5/4 y 3 · 1/2 = 3/2 pasan de 1. En cambio, 2/3 · 3/4 = 1/2, y 7/8 · 8/7 = 1 exacto, no más.
En el modelo del área para dos tercios por cuatro quintos, ¿qué representa la zona con las dos sombras?
Las columnas sombreadas son dos tercios del cuadrado, y de esa parte las filas sombreadas toman cuatro quintos. Lo que tiene las dos sombras es una parte de una parte: el producto.
Reto
Une cada producto con su resultado.
Toca un producto y luego su resultado irreducible. Simplifica antes de multiplicar.
Reto
Abre el candado con fracciones de cantidades.
Cada pista da un dígito. Calcula y escríbelo en su casilla.
Cierre
En resumen
Para calcular una fracción de una cantidad, se divide la cantidad entre el denominador y se multiplica por el numerador.
El «de» de una fracción de algo es una multiplicación; un natural por una fracción multiplica solo al numerador.
Para multiplicar fracciones se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador; el modelo del área explica por qué.
Simplificar antes de multiplicar da el mismo resultado con números más pequeños.
Multiplicar un número positivo por una fracción menor que 1 lo achica; por una mayor que 1, lo agranda.
Vocabulario
- Fracción de una cantidad
La parte de una cantidad que indica una fracción. Tres quintos de cuarenta es lo que resulta de partir cuarenta en cinco partes iguales y tomar tres.
- Producto de fracciones
El resultado de multiplicar fracciones: numerador por numerador y denominador por denominador.
- Modelo del área
Un cuadrado de área 1 partido en filas y columnas iguales; la zona que queda en las dos partes sombreadas representa el producto de dos fracciones.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte cuántos estudiantes del salón serían tres quintos del total y deje que propongan cómo calcularlo.
- Explicación · 15 min — Fracción de una cantidad con fichas o dibujos; el modelo del área en papel cuadriculado; simplificar antes; los cuatro ejemplos.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el dominó y el candado en parejas. Antes de cada producto, pida predecir si el resultado será mayor o menor que el primer factor.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante dibuja en papel cuadriculado el modelo del área de un producto que usted dicte.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué la mitad de un tercio es un sexto y no dos tercios?
- Si multiplico 12 por una fracción y me da menos de 12, ¿qué puedo decir de la fracción?
- ¿Por qué para multiplicar no hace falta un denominador común y para sumar sí?
Errores típicos
- Multiplicar el natural por el numerador y también por el denominador. Vuelva a la suma repetida: tres veces dos quintos son quintos, no quinceavos.
- Buscar un denominador común antes de multiplicar, o sumar los numeradores. Compare la regla de la suma con la del producto en dos columnas del tablero y relacione el producto con el modelo del área.
- Creer que multiplicar siempre da un número más grande. Pida calcular la mitad de 10 como 1/2 · 10 y pregunte si dio más o menos que 10.
Tarea sugerida
Calcular 3/4 de 36 y 5/6 de 42; dibujar el modelo del área de 3/4 · 2/3; calcular 6/7 · 14/15 simplificando antes; escribir un problema de una receta a la mitad.