Valor posicional y orden de los decimales
Lo que vas a aprender
- Nombrar el valor de cada cifra de un decimal en décimas, centésimas y milésimas.
- Leer y escribir decimales con palabras y con cifras.
- Comparar y ordenar decimales igualando el número de cifras decimales.
- Ubicar decimales en la recta numérica.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En el colegio se organizó una carrera de carritos de balineras (la carrera y sus tiempos son inventados). En la primera vuelta, el carrito de Luisa tardó 1,4 minutos y el de Andrés, 1,09 minutos. Luisa dijo: «Andrés tardó más, porque 9 es más que 4; así que gané yo». ¿Tiene razón?
No la tiene, y en esta lección vas a ver por qué. Los decimales aparecen en los tiempos de una carrera, en la estatura que te miden en la enfermería, en los kilos de una bolsa de arroz y en la temperatura de una nevera. Para saber cuál es mayor, no basta con mirar cuántas cifras tienen: hay que saber cuánto vale cada cifra.
Antes de empezar recuerda que en el número 352 el 3 vale tres centenas, el 5 cinco decenas y el 2 dos unidades. Con los decimales pasa lo mismo, pero hacia la derecha de la coma.
Explicación
Décimas, centésimas y milésimas
Si partes una unidad en 10 partes iguales, cada parte es una décima (0,1). Si partes cada décima en 10, obtienes centésimas (0,01), y la unidad queda partida en 100. Si partes cada centésima en 10, obtienes milésimas (0,001), y la unidad queda partida en 1000.
Cada lugar vale diez veces menos que el de su izquierda:
| Unidades | , | Décimas | Centésimas | Milésimas |
|---|---|---|---|---|
| 4 | , | 3 | 8 | 2 |
En 4,382 el 4 vale cuatro unidades, el 3 vale tres décimas, el 8 vale ocho centésimas y el 2 vale dos milésimas. Se lee «cuatro enteros, trescientas ochenta y dos milésimas»: se dice el número que forma la parte decimal y el nombre del último lugar.
Los ceros: unos cambian el número y otros no
Un cero al final de la parte decimal no cambia el valor: 0,5 es cinco décimas, y 0,50 es cincuenta centésimas, que es lo mismo. Por eso 1,4 = 1,40 = 1,400.
Un cero en medio sí cambia el valor, porque empuja las cifras a otro lugar. En 1,09 el 9 está en las centésimas; en 1,9 está en las décimas. Son números distintos.
Comparar decimales
El error más común es pensar que un decimal con más cifras es mayor. No es así. Mira las dos cuadrículas de abajo: cada una es una unidad partida en 100 cuadritos.
Dos unidades partidas en 100 cuadritos. A la izquierda, 0,5: cincuenta cuadritos pintados. A la derecha, 0,25: veinticinco. 0,25 tiene más cifras, pero ocupa menos.
Para comparar dos decimales, sigue estos pasos:
- Compara la parte entera. Si una es mayor, ese número es mayor, y ya terminaste.
- Si las partes enteras son iguales, iguala el número de cifras decimales agregando ceros al final. Así los dos números quedan en la misma unidad: décimas con décimas, centésimas con centésimas.
- Compara las partes decimales como si fueran números naturales.
Otra forma de pensarlo es ir lugar por lugar, de izquierda a derecha: primero las unidades, después las décimas, después las centésimas. El primer lugar en que las cifras son distintas decide.
Ejemplo resuelto
¿0,5 o 0,25?
¿Cuál es mayor, $0{,}5$ o $0{,}25$?
Ver la solución paso a paso
Igualamos las cifras decimales: un cero al final no cambia el número.
$$0{,}5 = 0{,}50$$
Ahora los dos están en centésimas:
$$0{,}50 = \frac{50}{100}$$
Lo mismo con 0,25:
$$0{,}25 = \frac{25}{100}$$
Cincuenta centésimas son más que veinticinco centésimas:
$$0{,}5 > 0{,}25$$
Respuesta: 0,5 es mayor que 0,25, aunque tenga menos cifras.
Ejemplo resuelto
La primera vuelta de Luisa y Andrés
Luisa tardó $1{,}4$ minutos y Andrés $1{,}09$ minutos. ¿Quién fue más rápido?
Ver la solución paso a paso
Las partes enteras son iguales: las dos son 1. Igualamos las cifras decimales de 1,4:
$$1{,}4 = 1{,}40$$
Comparamos las centésimas: 40 centésimas frente a 9 centésimas.
$$1{,}40 > 1{,}09$$
Lugar por lugar se ve lo mismo: en las décimas, Luisa tiene un 4 y Andrés un 0. Así que el tiempo de Andrés es el menor:
$$1{,}09 < 1{,}4$$
En una carrera gana el que tarda menos. Andrés fue más rápido.
Respuesta: Andrés fue más rápido: 1,09 < 1,4.
Ubicar decimales en la recta
La recta numérica también sirve para comparar: de dos números, el que queda más a la derecha es el mayor. Para ubicar un decimal, primero busca entre qué enteros está. Después parte ese tramo en diez partes iguales: cada marca es una décima. Si necesitas más precisión, parte en diez el tramo entre dos décimas, y cada marca nueva es una centésima.
Es como hacer zoom con la cámara del celular: cada vez que acercas, aparecen marcas más pequeñas entre las que ya veías. Por eso entre dos decimales siempre cabe otro: entre 1,2 y 1,3 están 1,21, 1,25 y muchos más.
Entre 1 y 1,5, la recta partida en décimas. 1,09 queda casi encima del 1,1 y 1,4 queda mucho más a la derecha.
Ejemplo resuelto
Ordenar los tiempos de una vuelta
Cuatro carritos marcaron estos tiempos, en minutos: $1{,}235$; $1{,}23$; $1{,}3$ y $1{,}205$. Ordénalos de menor a mayor.
Ver la solución paso a paso
Todos tienen parte entera 1. Escribimos los cuatro con tres cifras decimales:
$$1{,}23 = 1{,}230 \quad\text{y}\quad 1{,}3 = 1{,}300$$
Ahora comparamos las milésimas como naturales: 205, 230, 235 y 300.
$$1{,}205 < 1{,}230 < 1{,}235 < 1{,}300$$
Volvemos a escribir cada tiempo como estaba:
$$1{,}205 < 1{,}23 < 1{,}235 < 1{,}3$$
Respuesta: De menor a mayor: 1,205; 1,23; 1,235; 1,3.
La ranita sale de 1,2 y cada salto es de 5 milésimas. Cuenta los saltos hasta cada tiempo de los carritos: el que pide menos saltos es el más rápido.
El tramo entre 1,2 y 1,3, partido en centésimas: los tiempos 1,205, 1,23 y 1,235 quedan en orden de izquierda a derecha.
¿Por qué en la carrera los tiempos llevan tres cifras decimales?
En una carrera, los carritos pueden llegar casi al tiempo. Si el cronómetro solo mostrara décimas o centésimas, dos tiempos distintos se podrían ver iguales y no se sabría quién ganó. Cada cifra que se agrega a la derecha parte en diez el lugar anterior y permite ver diferencias más pequeñas.
Ejemplo resuelto
Un empate que no lo era
Sara marcó $1{,}231$ minutos e Iván $1{,}234$ minutos. Un cronómetro que solo muestra centésimas marcaría $1{,}23$ para los dos. ¿Quién fue más rápido?
Ver la solución paso a paso
Los dos tiempos están entre 1,23 y 1,24: tienen las mismas unidades, décimas y centésimas.
$$1{,}23 < 1{,}231 < 1{,}234 < 1{,}24$$
La diferencia está en las milésimas: 1 milésima frente a 4.
$$1{,}231 < 1{,}234$$
Sara fue más rápida, por tres milésimas de minuto. Con solo dos cifras decimales habría parecido un empate.
$$1{,}234 - 1{,}231 = 0{,}003$$
Respuesta: Sara fue más rápida: 1,231 < 1,234.
Práctica
¿Verdadero o falso? $0{,}25 > 0{,}5$
0,5 = 0,50, que son cincuenta centésimas; 0,25 son veinticinco centésimas. Tener más cifras no hace mayor a un decimal.
¿Verdadero o falso? $1{,}4 = 1{,}40$
Un cero al final de la parte decimal no cambia el valor: cuatro décimas son cuarenta centésimas.
¿Verdadero o falso? $1{,}09 < 1{,}1$
1,1 = 1,10. Nueve centésimas son menos que diez centésimas, así que 1,09 < 1,1.
¿Cuál de estos números es el mayor?
Con tres cifras decimales son 0,500; 0,250; 0,125 y 0,090. El mayor es 0,5, quinientas milésimas: el número de cifras no decide.
¿Cuál de estos números es el menor?
Todos tienen parte entera 3. Con tres cifras decimales son 3,100; 3,010; 3,001 y 3,110. El menor es 3,001.
En el número 4,382, ¿cuánto vale la cifra 8?
El 8 está en el segundo lugar después de la coma, el de las centésimas: vale ocho centésimas, 0,08.
¿Cuántas centésimas forman el número 0,37?
0,37 son tres décimas y siete centésimas. Como cada décima son diez centésimas, en total son 37 centésimas.
Escribe con cifras el número «tres enteros, cuarenta y cinco milésimas».
Las milésimas ocupan tres lugares después de la coma. Cuarenta y cinco milésimas se escriben 045: el número es 3,045. Si escribes 3,45, tienes cuarenta y cinco centésimas.
Marca los números que están entre 2,3 y 2,4 (sin contar 2,3 ni 2,4).
Marca todas las que apliquen.
2,3 = 2,300 y 2,4 = 2,400. Entre ellos están 2,350, 2,399 y 2,310. 2,04 es menor que 2,3 porque tiene 0 décimas, y 2,5 es mayor que 2,4.
En otra carrera inventada, las mejores vueltas de tres carritos duraron 1,52 minutos, 1,475 minutos y 1,5 minutos. ¿Cuál fue el menor tiempo?
Con tres cifras decimales son 1,520; 1,475 y 1,500. El menor es 1,475: tiene 4 décimas, y los otros tienen 5.
Luisa dice: «1,09 es mayor que 1,4 porque 9 es mayor que 4». ¿Qué le respondes?
El 9 de 1,09 está en las centésimas y el 4 de 1,4 está en las décimas: no valen lo mismo. Al igualar las cifras, 1,40 > 1,09.
Reto
¿Cuál no es como los demás?
En cada ronda, toca el número distinto. Fíjate si es mayor o menor que 1, o si vale lo mismo que un entero.
Reto
Une cada decimal con su fracción.
Cuenta los lugares después de la coma: uno son décimas, dos son centésimas y tres son milésimas.
Cierre
En resumen
Después de la coma están las décimas, las centésimas y las milésimas; cada lugar vale diez veces menos que el de su izquierda.
Un cero al final de la parte decimal no cambia el número (1,4 = 1,40); un cero en medio sí lo cambia (1,09 no es 1,9).
Para comparar decimales se igualan las cifras decimales con ceros y se comparan como naturales, o se compara lugar por lugar.
Un decimal con más cifras no es por eso mayor; 0,5 es mayor que 0,25.
En la carrera de la lección los tiempos se dan con tres cifras decimales para distinguir llegadas muy parejas.
Vocabulario
- Décima
Cada una de las 10 partes iguales en que se divide la unidad. Se escribe 0,1.
- Centésima
Cada una de las 100 partes iguales en que se divide la unidad. Se escribe 0,01. Diez centésimas forman una décima.
- Milésima
Cada una de las 1000 partes iguales en que se divide la unidad. Se escribe 0,001. Diez milésimas forman una centésima.
- Parte decimal
Las cifras que van a la derecha de la coma. En 4,382 la parte decimal es 382 milésimas.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee la discusión de Luisa y Andrés y pida que voten quién ganó antes de explicar.
- Explicación · 15 min — Tabla de valor posicional, los ceros que cambian y los que no, y la cuadrícula de 100 para 0,5 y 0,25. Resuelva en el tablero los cuatro ejemplos.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el intruso y el dominó en parejas, pidiendo que expliquen en voz alta cada elección.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe dos decimales distintos que estén entre 1,2 y 1,3 y los ubica en la recta.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué 0,5 y 0,50 son el mismo número, pero 1,09 y 1,9 no?
- ¿Hay algún número entre 1,23 y 1,24? ¿Cuántos se podrían escribir?
- Si un cronómetro solo mostrara décimas, ¿qué podría salir mal en una carrera?
Errores típicos
- Creer que el decimal con más cifras es el mayor (0,25 > 0,5). Pinte 0,5 y 0,25 en dos cuadrículas de 100 y pregunte cuál cubre más.
- Comparar las partes decimales sin igualar los lugares (1,09 > 1,4 porque 9 > 4). Pida escribir los dos números en una tabla de valor posicional, con ceros donde falten cifras.
- Escribir cuarenta y cinco milésimas como 0,45. Recuerde que las milésimas ocupan tres lugares y que el nombre del número dice cuál es el último lugar.
Tarea sugerida
Pedir en la casa tres medidas con decimales (estatura, peso de un paquete, precio por kilo en un recibo), escribir cómo se leen y ordenarlas de menor a mayor dentro de cada tipo.