Multiplicación y división de decimales
Lo que vas a aprender
- Multiplicar y dividir un decimal por 10, 100 y 1000 corriendo la coma.
- Multiplicar dos decimales y ubicar la coma contando las cifras decimales.
- Dividir un decimal entre un natural, y dos naturales cuando el cociente es decimal.
- Calcular y comparar precios por unidad.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la tienda del barrio venden el queso por kilos, pero casi nunca se compra un kilo exacto: se pide medio kilo o tres cuartos. En el supermercado, una paca de jugos trae un precio y otra paca más grande trae otro. ¿Cuál conviene? Para responder hay que multiplicar y dividir con decimales. (Todos los precios de esta lección son inventados.)
También se necesitan estas cuentas para repartir una cantidad en partes iguales, para pasar de metros a centímetros o para calcular cuánto cuestan varias unidades de algo.
Antes de empezar recuerda que en 3,75 el 7 vale siete décimas y el 5 cinco centésimas, y que cada lugar vale diez veces más que el de su derecha.
Explicación
Multiplicar y dividir por 10, 100 y 1000
Al multiplicar por 10, cada cifra pasa a valer diez veces más: las décimas se vuelven unidades, las centésimas se vuelven décimas. En la escritura, eso se ve como si la coma corriera un lugar a la derecha. Por 100 corre dos lugares y por 1000, tres: tantos lugares como ceros tiene el número.
Al dividir entre 10, 100 o 1000 pasa lo contrario: la coma corre a la izquierda uno, dos o tres lugares. Si no hay cifras suficientes, se completan con ceros. Por ejemplo, para dividir 45,2 entre 1000 hay que poner ceros delante: queda 0,0452.
Multiplicar dos decimales
Se multiplican los números como si no tuvieran coma y, al final, el resultado lleva tantas cifras decimales como los dos factores juntos.
¿Por qué funciona? Porque 2,4 son 24 décimas y 1,5 son 15 décimas. Una décima por una décima es una centésima: la décima parte de una décima. Entonces 24 décimas por 15 décimas son 24 · 15 centésimas. Por eso el resultado lleva dos cifras decimales.
Multiplicar por un número menor que 1 achica
Con los naturales distintos de 0, multiplicar siempre daba un número mayor o igual. Con los decimales no: multiplicar por 0,5 es tomar la mitad, y multiplicar por 0,75 es tomar tres cuartas partes. Cuando el otro factor es positivo, si el factor es menor que 1, el resultado es menor que el otro factor, y si es mayor que 1, el resultado es mayor. Pensar en esto antes de calcular te ayuda a descubrir una coma mal puesta.
Ejemplo resuelto
El área de un jardín
Un jardín rectangular mide $2{,}4$ m de largo y $1{,}5$ m de ancho. ¿Cuál es su área?
Ver la solución paso a paso
El área de un rectángulo es el largo por el ancho.
$$2{,}4 \cdot 1{,}5$$
Multiplicamos sin coma, 24 · 15 = 360. Cada factor tiene una cifra decimal, dos en total, así que el resultado son centésimas:
$$\frac{24 \cdot 15}{100}$$
Son trescientas sesenta centésimas:
$$\frac{360}{100}$$
Que es lo mismo que:
$$3{,}6$$
Estimamos para comprobar: el largo está entre 2 y 3, y el ancho entre 1 y 2, así que el área tiene que quedar entre 2 · 1 y 3 · 2.
$$2 \cdot 1 < 2{,}4 \cdot 1{,}5 < 3 \cdot 2$$
Respuesta: El área del jardín es 3,6 m².
Ejemplo resuelto
Tres cuartos de kilo de queso
Un kilo de queso cuesta $18\,000$ pesos (precio inventado). ¿Cuánto cuestan $0{,}75$ kg?
Ver la solución paso a paso
Cada kilo cuesta 18 000 pesos; multiplicamos por la cantidad de kilos.
$$18\,000 \cdot 0{,}75$$
0,75 son setenta y cinco centésimas:
$$\frac{18\,000 \cdot 75}{100}$$
Hacemos la cuenta:
$$13\,500$$
Como 0,75 es menor que 1, el precio tenía que salir menor que el de un kilo. Y así es:
$$13\,500 < 18\,000$$
Respuesta: Los 0,75 kg de queso cuestan 13 500 pesos.
Dividir un decimal entre un natural
Se divide como con los naturales. Cuando vas a bajar la primera cifra que está después de la coma, pones la coma en el cociente. Por ejemplo, para repartir 8,4 entre 4: el 8 entre 4 da 2; al bajar el 4 de las décimas, se pone la coma, y 4 entre 4 da 1. El cociente es 2,1.
Cuando la división de naturales no es exacta
Si al dividir dos naturales sobra residuo, no hay que quedarse ahí. Se escribe el dividendo con coma y ceros (9 es lo mismo que 9,00) y se sigue dividiendo. Cada cero que se baja parte el residuo en diez partes más pequeñas.
Toda división se comprueba con la multiplicación: el cociente por el divisor tiene que dar el dividendo.
Ejemplo resuelto
Repartir arroz en bolsas
Se reparten $9$ kg de arroz en $4$ bolsas iguales. ¿Cuántos kilos lleva cada bolsa?
Ver la solución paso a paso
Repartir en partes iguales es dividir.
$$9 \div 4$$
9 entre 4 da 2 y sobra 1. Para seguir, escribimos 9 como 9,00 y ponemos la coma en el cociente:
$$9{,}00 \div 4$$
Bajamos un cero: 10 entre 4 da 2 y sobra 2. Bajamos otro cero: 20 entre 4 da 5 y no sobra nada.
$$2{,}25$$
Comprobamos con la multiplicación:
$$2{,}25 \cdot 4 = 9$$
Respuesta: Cada bolsa lleva 2,25 kg de arroz.
Reparte los 9 kg en 4 bolsas. Cuando sobre un kilo, rómpelo en 10 décimas; cuando sobren décimas, rómpelas en centésimas. Mira cuánto le queda a cada bolsa.
El precio por unidad
Una paca grande cuesta más que una pequeña, pero eso no dice cuál conviene, porque trae más unidades. Para comparar de verdad hay que averiguar cuánto cuesta una sola unidad en cada oferta: se divide el precio total entre el número de unidades. Gana la que tenga el precio por unidad más bajo.
Al revés, si ya conoces el precio de una unidad, multiplicas por la cantidad para saber cuánto pagas. Esa cantidad puede ser decimal, como 1,5 kg o 0,75 kg, y entonces la idea de «menor que 1 achica» te dice si el precio debe salir mayor o menor que el de una unidad.
Ejemplo resuelto
¿Qué paca de jugos conviene?
Una paca de $4$ jugos cuesta $9800$ pesos y una paca de $6$ jugos del mismo tamaño cuesta $14\,100$ pesos (precios inventados). ¿En cuál sale más barato cada jugo?
Ver la solución paso a paso
Precio por jugo en la paca pequeña: el total entre el número de jugos.
$$9800 \div 4$$
Cada jugo sale a:
$$2450$$
Precio por jugo en la paca grande:
$$14\,100 \div 6$$
Cada jugo sale a:
$$2350$$
Comparamos los dos precios por unidad:
$$2350 < 2450$$
Respuesta: En la paca de 6 cada jugo sale a 2350 pesos, más barato que los 2450 de la paca de 4.
Práctica
Calcula $0{,}36 \cdot 100$.
Por 100, la coma corre dos lugares a la derecha: 0,36 · 100 = 36.
Calcula $45{,}2 \div 1000$.
Entre 1000, la coma corre tres lugares a la izquierda. Como solo hay dos cifras antes de la coma, se completa con un cero: 0,0452.
¿Cuánto es $0{,}4 \cdot 0{,}2$?
4 · 2 = 8, y los dos factores tienen una cifra decimal cada uno: el resultado lleva dos, 0,08. El 0,6 sale de sumar en vez de multiplicar.
Calcula $3{,}5 \cdot 1{,}2$.
35 · 12 = 420, con dos cifras decimales: 4,20, que es 4,2. Estimando: 3,5 · 1 = 3,5, y como 1,2 es un poco más que 1, el resultado es un poco más que 3,5.
¿Verdadero o falso? $6 \cdot 0{,}5 > 6$
Multiplicar por 0,5 es tomar la mitad: 6 · 0,5 = 3, que es menor que 6. Multiplicar por un número menor que 1 achica.
Sin hacer la cuenta, marca los productos que dan menos de 40. Piensa si el otro factor es mayor o menor que 1.
Marca todas las que apliquen.
0,9, 0,25 y 0,99 son menores que 1: el producto es menor que 40. 1,1 y 1,5 son mayores que 1: el producto es mayor que 40.
Calcula $8{,}4 \div 4$.
8 entre 4 da 2; al bajar las décimas se pone la coma, y 4 entre 4 da 1: 2,1. Se comprueba: 2,1 · 4 = 8,4.
Divide 3 entre 8. Agrega ceros al dividendo y sigue hasta que no quede residuo.
3 = 3,000. 30 entre 8 da 3 y sobran 6; 60 entre 8 da 7 y sobran 4; 40 entre 8 da 5 y no sobra nada: 0,375.
Un paquete de 5 lápices cuesta 6500 pesos (precio inventado). ¿Cuánto cuesta cada lápiz?
El precio por unidad es el total entre el número de lápices: 6500 ÷ 5 = 1300 pesos. Se comprueba: 1300 · 5 = 6500.
Un kilo de fríjol cuesta 7200 pesos (precio inventado). ¿Cuántos pesos cuesta 1,5 kg?
7200 · 1,5 = 7200 + 3600 = 10 800 pesos: un kilo más medio kilo. Como 1,5 es mayor que 1, cuesta más que un kilo.
Sofía dice: «Multiplicar siempre da un número más grande». ¿Qué le respondes?
Multiplicar por 0,5 es tomar la mitad, y la mitad de 8 es 4. Multiplicar por 1,5 sí agranda. Depende de si el factor es mayor o menor que 1.
Reto
Une cada operación con su resultado.
Por 10, 100 o 1000 la coma corre a la derecha; entre 10, 100 o 1000 corre a la izquierda.
Reto
¿Qué resultado no es como los demás?
Calcula cada operación y toca la que da un resultado de otra clase: mayor o menor que 1, entero o no entero.
Cierre
En resumen
Por 10, 100 o 1000 la coma corre a la derecha uno, dos o tres lugares; entre 10, 100 o 1000 corre a la izquierda.
Para multiplicar decimales se multiplica sin coma y el resultado lleva tantas cifras decimales como los dos factores juntos.
Multiplicar un número positivo por otro menor que 1 da un resultado menor; por uno mayor que 1, uno mayor.
Para dividir un decimal entre un natural, la coma va en el cociente al bajar la primera cifra decimal; si sobra residuo, se agregan ceros y se sigue.
El precio por unidad es el precio total dividido entre el número de unidades, y sirve para comparar ofertas.
Vocabulario
- Factor
Cada uno de los números que se multiplican. En 2,4 · 1,5 los factores son 2,4 y 1,5.
- Cociente
El resultado de una división. En 9 ÷ 4 = 2,25 el cociente es 2,25.
- Precio por unidad
Lo que cuesta una sola unidad (un jugo, un kilo, un lápiz). Se halla dividiendo el precio total entre el número de unidades.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte si 0,75 kg de queso cuesta más o menos que un kilo, y por qué. Anote las respuestas sin corregir.
- Explicación · 15 min — La coma que corre al multiplicar o dividir por 10, 100 y 1000; el producto de decimales y por qué lleva esas cifras decimales; la división con ceros. Los cuatro ejemplos en el tablero.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el dominó y el intruso en parejas, pidiendo que anticipen si cada resultado será mayor o menor que 1.
- Cierre · 5 min — Cada pareja inventa dos ofertas de un mismo producto y decide cuál conviene con el precio por unidad.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué 0,4 · 0,2 tiene dos cifras decimales y no una?
- ¿Cuándo una multiplicación da un resultado menor que uno de sus factores?
- Si 9 entre 4 da 2 y sobra 1, ¿qué se puede hacer con ese 1?
Errores típicos
- Poner en el producto las cifras decimales de un solo factor (0,4 · 0,2 = 0,8). Recuerde que una décima por una décima es una centésima y estime: 0,4 · 0,2 tiene que ser menor que 0,4.
- Correr la coma hacia el lado equivocado al dividir entre 10, 100 o 1000. Pregunte si al dividir el número debe crecer o achicarse, antes de mover la coma.
- Dejar la división en el residuo (9 ÷ 4 = 2 y sobra 1) cuando se pide un cociente decimal. Escriba el dividendo con coma y ceros y muestre que cada cero parte el residuo en diez partes.
Tarea sugerida
Calcular 2,5 · 0,4, 1,25 · 100 y 7,2 ÷ 6; repartir 5 m de cinta en 4 trozos iguales; buscar en un folleto de supermercado dos presentaciones de un mismo producto y calcular cuál sale más barata por unidad.