Fracciones decimales y porcentajes

45 min · DBA 1, 3

Lo que vas a aprender

Pasar una fracción de denominador 2, 4, 5, 10, 20 o 25 a fracción de denominador 100, a decimal y a porcentaje.
Calcular el 10 %, el 25 % y el 50 % de una cantidad.
Leer los porcentajes de una encuesta y hallar cuántas personas representan.
Comparar cantidades escritas como fracción, decimal o porcentaje.

Para qué

¿Para qué sirve esto?

«El 50 % del salón prefiere fútbol». «La batería del celular está al 25 %». «El 10 % de lo recogido en la rifa es para la excursión». Los porcentajes están en las noticias, en las encuestas y en las pantallas, y casi siempre se usan para decir qué parte de algo es una cantidad. (Las encuestas y los datos de esta lección son inventados.)

En esta lección vas a ver que un porcentaje es otra forma de escribir una fracción o un decimal, y vas a calcular de memoria el 10 %, el 25 % y el 50 % de una cantidad.

Antes de empezar recuerda cómo se amplifica una fracción: se multiplican el numerador y el denominador por el mismo número, y la fracción no cambia de valor.

Explicación

Fracciones decimales

Una fracción con denominador 10, 100 o 1000 se llama fracción decimal, y se escribe como decimal sin hacer ninguna división: siete décimas son 0,7; siete centésimas son 0,07; siete milésimas son 0,007.

Otras fracciones se pueden convertir en fracción decimal amplificándolas. La pregunta es: ¿por qué número multiplico el denominador para que dé 100? Para los denominadores de esta lección, siempre hay uno:

si el denominador es 2, se multiplica por 50;
si es 4, por 25;
si es 5, por 20;
si es 10, por 10;
si es 20, por 5;
si es 25, por 4.

Lo que se hace al denominador se hace también al numerador. Pero no todas las fracciones se pueden escribir así: un tercio no tiene ninguna fracción equivalente de denominador 100, porque 100 no es múltiplo de 3.

¿Qué es un porcentaje?

Por ciento quiere decir «de cada cien». El 75 % de algo son 75 partes de cada 100. Por eso un porcentaje es una fracción de denominador 100 escrita de otra forma:

$$75\ \% = \frac{75}{100} = 0{,}75$$

Y como 75/100 = 3/4, decir «el 75 %» es lo mismo que decir «tres cuartas partes».

Una unidad partida en 100 cuadritos, con 75 pintados: tres cuartas partes de la cuadrícula. Por eso 3/4 = 75/100 = 0,75 = 75 %.

Ejemplo resuelto

Tres cuartos como decimal y como porcentaje

Escribe $\tfrac{3}{4}$ como fracción de denominador $100$, como decimal y como porcentaje.

Ver la solución paso a paso

Partimos de la fracción.

$$\frac{3}{4}$$
Para que el denominador 4 llegue a 100, lo multiplicamos por 25, y el numerador también:

$$\frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25}$$
Queda una fracción decimal:

$$\frac{75}{100}$$
Setenta y cinco centésimas se escriben:

$$0{,}75$$
Y 75 de cada 100 es el 75 %.

Respuesta: 3/4 = 75/100 = 0,75 = 75 %.

Ejemplo resuelto

Siete de cada veinte

En un salón, $7$ de cada $20$ estudiantes usan gafas (dato inventado). ¿Qué porcentaje es?

Ver la solución paso a paso

«7 de cada 20» es la fracción:

$$\frac{7}{20}$$
Para llegar a 100, el denominador 20 se multiplica por 5:

$$\frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5}$$
Es una fracción decimal:

$$\frac{35}{100}$$
Como decimal:

$$0{,}35$$

Respuesta: 7 de cada 20 son 35 de cada 100: el 35 % usa gafas.

Sombrea 75 de los 100 cuadritos y lee la fracción, el decimal y el porcentaje. Después sombrea 35, los 7 de cada 20 estudiantes con gafas.

Comparar fracciones, decimales y porcentajes

Una misma cantidad se puede escribir de tres formas, y a veces hay que comparar números que vienen escritos de formas distintas: una fracción, un decimal y un porcentaje. El truco es escribirlos todos de la misma forma. La más cómoda suele ser en centésimas, porque una centésima es justo el 1 %.

Así, para saber qué es más, tres quintos o el 55 %, se escribe tres quintos con denominador 100: son 60 centésimas, el 60 %. Ahora se ve que tres quintos es más. Igual que con los decimales, no importa cuántas cifras tenga cada número, sino cuánto vale.

El porcentaje siempre es «de» algo

Un porcentaje solo no es una cantidad. «El 50 %» no dice cuántos son: el 50 % de 10 estudiantes son 5, y el 50 % de 40 estudiantes son 20. Siempre hay que preguntarse de qué total se habla. Ese total es el 100 %: el todo.

Hay tres porcentajes que se calculan de memoria:

El 50 % es la mitad: 50/100 = 1/2. Se divide entre 2.
El 25 % es la cuarta parte: 25/100 = 1/4. Se divide entre 4 (o se saca la mitad de la mitad).
El 10 % es la décima parte: 10/100 = 1/10. Se divide entre 10, es decir, la coma corre un lugar a la izquierda.

Como un porcentaje es una fracción de denominador 100, también se puede multiplicar por el decimal: el 25 % de 40 es 0,25 · 40. Da lo mismo que la cuarta parte de 40: 10.

Ejemplo resuelto

El 50 %, el 25 % y el 10 % de 80

Calcula el $50\ \%$, el $25\ \%$ y el $10\ \%$ de $80$.

Ver la solución paso a paso

El 50 % es la mitad:

$$\frac{50}{100} = \frac{1}{2}$$
La mitad de 80:

$$80 \div 2$$
Es decir:

$$40$$
El 25 % es la cuarta parte:

$$\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$$
La cuarta parte de 80, que también es la mitad de 40:

$$80 \div 4$$
Es decir:

$$20$$
El 10 % es la décima parte:

$$\frac{10}{100} = \frac{1}{10}$$
La décima parte de 80:

$$80 \div 10$$
Es decir:

$$8$$

Respuesta: El 50 % de 80 es 40, el 25 % de 80 es 20 y el 10 % de 80 es 8.

Leer los porcentajes de una encuesta

En una encuesta en la que cada persona da una sola respuesta, cada respuesta tiene su porcentaje, y entre todas forman el total: los porcentajes de todas las respuestas suman el 100 %. Si falta una parte, se averigua restando de 100.

El porcentaje dice qué parte del grupo escogió cada respuesta, pero no cuántas personas fueron. Para saberlo hay que conocer el total de encuestados y calcular el porcentaje de ese total. Al final conviene comprobar que las personas de todas las respuestas suman el total.

Ejemplo resuelto

Leer una encuesta

En una encuesta inventada, $40$ estudiantes escogieron su deporte favorito: el $50\ \%$, fútbol; el $25\ \%$, baloncesto; el $10\ \%$, voleibol, y el resto, patinaje. ¿Cuántos estudiantes escogieron cada deporte?

Ver la solución paso a paso

Fútbol: el 50 % de 40, la mitad. Lo calculamos multiplicando por el decimal:

$$0{,}50 \cdot 40$$
Son:

$$20$$
Baloncesto: el 25 % de 40, la cuarta parte.

$$0{,}25 \cdot 40$$
Son:

$$10$$
Voleibol: el 10 % de 40, la décima parte.

$$0{,}10 \cdot 40$$
Son:

$$4$$
Patinaje es el resto. Los que faltan:

$$40 - 20 - 10 - 4$$
Son:

$$6$$
Comprobamos con los porcentajes: el resto es 100 % − 50 % − 25 % − 10 % = 15 %, y el 15 % de 40 es justo 6.

$$100 - 50 - 25 - 10 = 15 \quad\text{y}\quad 0{,}15 \cdot 40 = 6$$

Respuesta: Fútbol, 20 estudiantes; baloncesto, 10; voleibol, 4, y patinaje, 6.

La encuesta inventada de los 40 estudiantes: cuántos escogieron cada deporte.

Cierre

En resumen

Una fracción decimal tiene denominador 10, 100 o 1000 y se escribe directamente como decimal.
Las fracciones de denominador 2, 4, 5, 20 y 25 se amplifican hasta denominador 100 para escribirlas como decimal y como porcentaje (3/4 = 75/100 = 0,75 = 75 %).
Un porcentaje es una parte de cada 100, y siempre es el porcentaje de un total; el total es el 100 %.
El 50 % es la mitad, el 25 % es la cuarta parte y el 10 % es la décima parte.
Para comparar fracciones, decimales y porcentajes conviene escribirlos todos de la misma forma.

Vocabulario

Fracción decimal: Fracción cuyo denominador es 10, 100, 1000… Se escribe directamente como decimal: 7/100 = 0,07.
Porcentaje: Una parte de cada 100. El 35 % de algo son 35 partes de cada 100 partes iguales de ese algo.
El total: La cantidad completa de la que se toma el porcentaje. El total es el 100 %.

Guía para el docente

Tiempos

Inicio · 5 min — Pregunte qué quiere decir «la batería está al 25 %» y pida que lo dibujen en una pila partida en cuatro.
Explicación · 15 min — Fracción decimal, amplificar hasta 100, la cuadrícula de 100 cuadritos y los porcentajes de memoria. Resuelva los cuatro ejemplos; en la encuesta, pida que comprueben que los estudiantes suman 40.
Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el dominó y el candado en parejas.
Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe una frase con un porcentaje que haya visto y dice de qué total habla.

Preguntas para el salón

Si el 50 % del salón A y el 50 % del salón B prefieren fútbol, ¿son la misma cantidad de estudiantes?
¿Por qué 3/4 y 75 % son lo mismo?
¿Cómo se saca el 25 % de una cantidad sin dividir entre 4?

Errores típicos

Tratar el porcentaje como una cantidad (el 25 % de 60 estudiantes son 25 estudiantes). Pida que digan siempre «el 25 % de…» y que escriban el total antes de calcular.
Escribir una fracción como decimal pegando sus números (3/25 = 0,325). Pida amplificar primero hasta denominador 100 y leer cuántas centésimas son.
Confundir 0,5 con el 5 %. Pinte 0,5 en la cuadrícula de 100: son 50 cuadritos, la mitad.

Tarea sugerida

Escribir 1/4, 3/5, 9/20 y 11/25 como decimal y como porcentaje; calcular el 10 %, el 25 % y el 50 % de 240; inventar una encuesta de 20 personas con tres respuestas y escribir el porcentaje de cada una.

Fracciones decimales y porcentajes

Para qué

¿Para qué sirve esto?

Explicación

Fracciones decimales

¿Qué es un porcentaje?

Tres cuartos como decimal y como porcentaje

Siete de cada veinte

Comparar fracciones, decimales y porcentajes

El porcentaje siempre es «de» algo

El 50 %, el 25 % y el 10 % de 80

Leer los porcentajes de una encuesta

Leer una encuesta

Práctica

Une cada fracción con su decimal.

Abre el candado de los porcentajes.

Cierre

En resumen

Vocabulario

Tiempos

Preguntas para el salón

Errores típicos

Tarea sugerida