Cantidades positivas y negativas
Lo que vas a aprender
- Representar con un número positivo o negativo una temperatura, una altura, un saldo o la posición de un objeto.
- Identificar cuál es el cero, o punto de referencia, de cada situación.
- Ubicar en la recta numérica los enteros que representan una situación.
- Describir con palabras la situación que corresponde a un entero dado.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Imagina que una amiga te escribe: «Mi saldo en la tienda del colegio es de tres mil pesos». ¿Tiene tres mil pesos a su favor o debe tres mil pesos? Con el mensaje no lo puedes saber. Lo mismo pasa si alguien dice que el congelador de una heladería «está a doce grados»: no es igual estar doce grados por encima del cero que doce grados por debajo.
Los números que usas para contar (los naturales) dicen cuánto, pero no dicen hacia qué lado. En esta lección vas a usar un signo delante del número para decir si una cantidad está por encima o por debajo, a favor o en contra. Así, un solo número cuenta la historia completa.
Antes de empezar recuerda cómo se ubican los naturales en una recta numérica: todos a la misma distancia uno del siguiente, empezando en el cero.
Explicación
Todo empieza en un cero
Para medir una altura, una temperatura o un saldo, primero hay que escoger un punto de referencia: el lugar o el valor que vamos a llamar cero. Algunos ejemplos:
- Para las alturas, muchas veces el cero es el nivel del mar, o el piso de un lugar.
- Para la temperatura, el cero es la marca $0$ del termómetro.
- Para el dinero, el cero es el saldo en el que no debes nada y no tienes nada.
- Una caldera tiene un tubo de vidrio marcado con rayas, con agua y un corcho que flota en ella. Cuando el agua está en su nivel normal, el corcho queda justo en la raya cero; si el agua sube o baja, el corcho sube o baja con ella.
Una vez escogido el cero, cada cantidad queda de uno de dos lados.
- Lo que está por encima del cero, o a favor, se escribe con un número positivo. Se puede poner el signo más o no ponerlo: $+25$ y $25$ son el mismo número.
- Lo que está por debajo del cero, o en contra, se escribe con un número negativo, que siempre lleva el signo menos: $-12$.
- El cero no es ni positivo ni negativo: es la referencia misma.
Por eso un buzo que nada a doce metros bajo el nivel del mar está en $-12$ m, y una cometa que vuela a veinticinco metros sobre el suelo está en $+25$ m. Si alguien debe cuatro mil quinientos pesos, su saldo es de $-4500$ pesos.
También los cambios llevan signo
El signo no solo sirve para decir dónde está algo. También sirve para decir hacia dónde se mueve. Si el corcho de la caldera sube cuatro rayas, ese movimiento es $+4$; si baja seis rayas, es $-6$. Lo mismo con el dinero: lo que recibes sube tu saldo y es positivo; lo que gastas, o lo que te fían en la tienda, baja tu saldo y se escribe con signo menos.
Los números enteros
Los naturales, el cero y los negativos forman juntos los números enteros. Su conjunto se escribe $\mathbb{Z}$:
$$\mathbb{Z} = \{\ldots,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\}$$
Los puntos suspensivos dicen que la lista no se acaba hacia ningún lado: siempre hay un entero más grande y uno más pequeño.
La recta numérica
Para dibujar los enteros se traza una recta y se marca el cero. Hacia la derecha se ponen los positivos, uno por cada marca, todas a la misma distancia. Hacia la izquierda se ponen los negativos, con la misma distancia entre marcas. Así, $4$ y $-4$ quedan a la misma distancia del cero, uno a cada lado.
La recta también se puede dibujar de pie, como un termómetro o como el tubo del corcho: entonces los positivos van arriba del cero y los negativos abajo. Es la misma recta, solo que girada.
Hay varias maneras de ubicar un número en la recta. Puedes contar marca por marca desde el cero. Cuando los números son grandes, conviene que cada marca valga más (de cinco en cinco o de mil en mil) y ubicar el número entre dos marcas.
Cuidado con dos confusiones
La primera: el signo cambia el sentido. «Tres grados» y «tres grados bajo cero» no son lo mismo, aunque los dos tengan un tres. Un saldo de $-3500$ pesos no es tener tres mil quinientos pesos: es deberlos.
La segunda: el cero depende de la situación. Si en un parque el cero es el piso, el fondo de un pozo de ese parque es negativo, aunque el pozo esté en una montaña muy alta sobre el nivel del mar. Por eso, antes de escribir un entero, pregúntate siempre: ¿cuál es el cero aquí?
Ejemplo resuelto
Tres situaciones, tres enteros
Escribe el entero que representa cada situación. Un buzo nada a 12 m bajo el nivel del mar. Una cometa vuela a 25 m sobre el suelo. Mateo debe 4500 pesos en la tienda del colegio.
Ver la solución paso a paso
El cero del buzo es el nivel del mar. Está por debajo, así que su posición es negativa:
$$-12 < 0$$
El cero de la cometa es el suelo. Está por encima, así que su altura es positiva (se puede escribir con el signo más o sin él):
$$25 > 0$$
El cero del dinero es no deber ni tener. Deber es estar en contra, así que el saldo de Mateo es negativo:
$$-4500 < 0$$
En los tres casos, el número dice cuánto y el signo dice de qué lado del cero está la cantidad.
Respuesta: El buzo está en −12 m, la cometa en +25 m y el saldo de Mateo es −4500 pesos.
Ejemplo resuelto
El corcho de la caldera
El corcho de una caldera está en la raya +6. Después baja 10 rayas. ¿En qué raya queda? Ubica las dos posiciones en la recta.
Ver la solución paso a paso
El corcho empieza arriba del cero, en la raya $+6$, que es positiva:
$$6 > 0$$
Para bajar 10 rayas, primero baja 6 hasta llegar al cero. Le faltan rayas por bajar, y esas las baja por debajo del cero:
$$6 + 4 = 10$$
Baja entonces 4 rayas por debajo del cero. Esa posición es negativa:
$$-4 < 0$$
El movimiento del corcho fue hacia abajo, así que también lo podemos escribir con signo: el desplazamiento fue de $-10$ rayas.
Respuesta: El corcho queda en la raya −4.
El corcho pasa de la raya +6 a la raya −4: baja 6 rayas hasta el cero y 4 más por debajo.
Ejemplo resuelto
Del número a la situación
Di con palabras qué significa cada número. El termómetro de un cuarto frío marca −8 °C. El saldo de la cuenta de ahorros de Daniela es 12 000 pesos. Un pez nada en −3 m, si el cero es la superficie del agua.
Ver la solución paso a paso
$-8$ es negativo, así que la temperatura está por debajo del cero del termómetro: son ocho grados bajo cero.
$$-8 < 0$$
$12\,000$ es positivo, así que el dinero está a favor de Daniela: tiene doce mil pesos ahorrados.
$$12\,000 > 0$$
$-3$ es negativo y el cero es la superficie, así que el pez está debajo de la superficie: a tres metros de profundidad.
$$-3 < 0$$
Respuesta: −8 °C son ocho grados bajo cero; 12 000 pesos son doce mil pesos a favor; −3 m son tres metros bajo la superficie.
Práctica
Un buzo está a 14 m bajo el nivel del mar. ¿Qué entero representa su posición, en metros?
El cero es el nivel del mar y el buzo está por debajo, así que su posición es negativa: −14 m.
El termómetro de un congelador marca 6 grados bajo cero. ¿Qué número representa esa temperatura, en grados?
«Bajo cero» quiere decir por debajo de la referencia, y eso se escribe con el signo menos: −6 °C. El número 6, sin signo, sería seis grados sobre cero.
En la tienda del colegio, Valeria debe 3500 pesos. ¿Qué número representa su saldo, en pesos?
Deber es estar en contra del cero (no deber ni tener). El saldo de Valeria es −3500 pesos.
El corcho de la caldera está 8 rayas por encima de la raya cero. ¿Qué número indica su posición?
Por encima del cero es positivo: el corcho está en la raya +8, que también se escribe 8.
El corcho de la caldera baja 7 rayas. ¿Qué número representa ese desplazamiento?
Los desplazamientos hacia abajo se escriben con el signo menos: bajar 7 rayas es −7. Subir 7 rayas sería +7.
Marca todos los números que quedan a la izquierda del cero en la recta numérica.
Marca todas las que apliquen.
A la izquierda del cero están los negativos: −3, −12 y −1. El 5 y el 8 (que es lo mismo que +8) están a la derecha, y el 0 es el punto de partida: no está a ningún lado.
¿Verdadero o falso? El cero es un número negativo.
El cero es la referencia: no es positivo ni negativo. Los negativos son los que están por debajo de él.
¿Verdadero o falso? $-7 < 0$
Todo número negativo está a la izquierda del cero en la recta, así que es menor que cero.
El corcho está en la raya −3 y sube hasta la raya +5. ¿Cuántas rayas sube?
Desde −3 sube 3 rayas hasta el cero, y desde el cero sube 5 más hasta +5. En total sube 3 + 5 = 8 rayas.
En un parque, el piso es el cero. Un pozo del parque tiene 20 m de profundidad. ¿Qué número representa la posición del fondo del pozo, en metros?
El fondo del pozo está por debajo del piso, que es el cero. Su posición es −20 m.
En un mapa de un lugar inventado, las alturas se miden desde el nivel del mar. Un punto del mapa dice −25 m. ¿Qué quiere decir?
El signo menos dice que la altura está por debajo del cero, y aquí el cero es el nivel del mar. El número dice cuánto: 25 m.
Reto
¿Positivo, negativo o cero?
Arrastra cada número o situación a su canasta. Pregúntate primero cuál es el cero.
Reto
¿Cuál no es como los demás?
En cada ronda, toca el número que está del otro lado del cero, o que no está de ningún lado.
Reto
Busca las palabras de los números enteros.
Las palabras pueden estar en horizontal o en vertical.
Cierre
En resumen
Para usar números con signo hay que escoger primero un cero, o punto de referencia.
Lo que está por encima o a favor del cero es positivo; lo que está por debajo o en contra es negativo.
El cero no es positivo ni negativo.
Los cambios también llevan signo; subir o recibir es positivo, bajar o gastar es negativo.
En la recta numérica los positivos van a la derecha del cero y los negativos a la izquierda, con la misma distancia entre marcas.
Vocabulario
- Número entero
Cualquiera de los números …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …: los naturales, los negativos y el cero. Su conjunto se escribe ℤ.
- Número negativo
Número menor que cero. Se escribe con el signo menos delante, como −5, y representa lo que está por debajo o en contra del punto de referencia.
- Número positivo
Número mayor que cero. Puede llevar el signo más delante (+5) o no llevar signo (5).
- Punto de referencia
El lugar o el valor que se toma como cero para medir una situación: el nivel del mar, el cero del termómetro o un saldo en el que no se debe ni se tiene nada.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Lea en voz alta el mensaje del saldo de tres mil pesos y pregunte si la amiga tiene o debe. Recoja las respuestas sin corregir todavía.
- Explicación · 15 min — El punto de referencia, los positivos y los negativos, y la recta horizontal y vertical. Resuelva en el tablero el corcho de la caldera dibujando el tubo de pie.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; las canastas y el intruso en parejas, pidiendo que cada estudiante diga en voz alta cuál es el cero de cada situación.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante inventa una situación con un número negativo y su compañero la escribe con el signo.
Preguntas para el salón
- ¿Qué se toma como cero para medir la temperatura? ¿Y para medir lo que tienen en una alcancía?
- Si el cero de un edificio es la calle, ¿qué número tendría un parqueadero que está debajo de la calle?
- ¿Por qué el cero no es positivo ni negativo?
Errores típicos
- Escribir el número sin signo cuando la cantidad está por debajo del cero (decir 6 para «seis grados bajo cero»). Pida dibujar un termómetro de pie y marcar el número; luego pregunte de qué lado del cero quedó.
- Creer que el cero es positivo o negativo. Recuerde que el cero es la referencia: no está por encima ni por debajo de sí mismo.
- Usar el mismo cero para todas las situaciones (medir la profundidad de un pozo desde el nivel del mar sin que el problema lo diga). Antes de cada problema, pida escribir en una línea: «Aquí el cero es…».
Tarea sugerida
Buscar en la casa tres situaciones en las que se pueda hablar de por encima y por debajo, o de a favor y en contra; escribir el cero de cada una e inventar un entero para cada situación, con su significado en palabras.