Orden, opuesto y valor absoluto
Lo que vas a aprender
- Ubicar enteros en la recta numérica, contando marcas o usando marcas de cinco en cinco o de diez en diez.
- Comparar dos enteros y ordenar una lista de enteros, explicando el criterio usado.
- Hallar el opuesto de un entero.
- Calcular el valor absoluto de un entero como su distancia al cero.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En una heladería hay dos congeladores. Uno marca cuatro grados bajo cero y el otro, nueve grados bajo cero. ¿Cuál está más frío? Muchas personas responden rápido «el de cuatro», porque cuatro es menos que nueve. Pero se equivocan: nueve grados bajo cero es más frío.
Con los números negativos, comparar no funciona igual que con los naturales. En esta lección vas a aprender a decidir cuál de dos enteros es mayor sin confundirte, a ordenar listas de enteros y a medir qué tan lejos del cero está cada uno.
Antes de empezar recuerda qué significa un número negativo y cómo se ubica en la recta numérica.
Explicación
Ubicar enteros en la recta
En la recta numérica, cada entero tiene su lugar: los positivos a la derecha del cero y los negativos a la izquierda, con la misma distancia entre marcas. Hay varias maneras de ubicar un entero:
- Contar marcas desde el cero, hacia la derecha si es positivo y hacia la izquierda si es negativo. Sirve para números pequeños.
- Contar de cinco en cinco o de diez en diez. Para ubicar $-23$, cuentas dos saltos de diez hacia la izquierda (llegas a $-20$) y tres marcas más.
- Ubicar entre dos marcas. En una recta marcada de diez en diez, $-45$ queda justo en la mitad entre $-40$ y $-50$.
¿Cuál es mayor?
En la recta numérica horizontal, un número es mayor que otro si está a su derecha, y menor si está a su izquierda. En una recta de pie, como un termómetro, el mayor es el que está más arriba. Con esa idea salen cuatro criterios para comparar:
- Todo positivo es mayor que cero, porque está a su derecha.
- Cero es mayor que todo negativo, porque los negativos están a su izquierda.
- Todo positivo es mayor que todo negativo.
- Entre dos negativos, es mayor el que está más cerca del cero. El que está más lejos del cero queda más a la izquierda, y por eso es menor.
El cuarto criterio es el que más confunde. Mira $-45$ y $-23$: el $-45$ está más lejos del cero, hacia la izquierda, así que $-45 < -23$. Piénsalo con deudas: deber cuarenta y cinco mil pesos es peor que deber veintitrés mil. O con temperaturas: cuarenta y cinco grados bajo cero es más frío que veintitrés grados bajo cero.
Para no equivocarte, lee los signos de comparación así: la punta pequeña del signo señala al número menor. En $-8 < -3$, la punta señala al $-8$.
El opuesto
El opuesto de un número es el que está a la misma distancia del cero, pero al otro lado. El opuesto de $7$ es $-7$, y el opuesto de $-7$ es $7$. El opuesto de $0$ es el mismo $0$.
Para escribir el opuesto se pone un signo menos delante. Así, el opuesto de $-9$ se escribe $-(-9)$, y vale $9$: si das la vuelta dos veces, vuelves al lado de donde saliste.
El valor absoluto
El valor absoluto de un número es su distancia al cero. Se escribe con dos barras verticales. Como una distancia nunca es negativa, el valor absoluto tampoco:
- $|-7| = 7$, porque $-7$ está a siete marcas del cero.
- $|7| = 7$, porque $7$ también está a siete marcas.
- $|0| = 0$.
Un número y su opuesto tienen siempre el mismo valor absoluto: están a la misma distancia del cero, uno a cada lado.
El valor absoluto ayuda a comparar negativos: entre dos negativos, el de mayor valor absoluto es el menor. $|-45|$ es mayor que $|-23|$, y por eso $-45$ es menor que $-23$.
Ordenar una lista
Para ordenar varios enteros de menor a mayor, conviene separarlos en tres grupos: primero los negativos, del más lejano al cero al más cercano; después el cero, si está; y al final los positivos, del más pequeño al más grande. Al terminar, mira la lista y comprueba que cada número queda a la izquierda del siguiente en la recta.
El tramo marcado va de −8 al cero: 8 marcas. −3 queda dentro de ese tramo, a solo 3 marcas del cero, así que −8 está más a la izquierda: −8 < −3.
Ejemplo resuelto
Ubicar −23 y −45 en una recta de diez en diez
En una recta marcada de diez en diez, ubica −23 y −45.
Ver la solución paso a paso
Para llegar a $-23$ damos dos saltos de diez hacia la izquierda y tres marcas más. Su distancia al cero es:
$$\left|-23\right| = 10 + 10 + 3$$
Así que $-23$ queda entre las marcas $-30$ y $-20$, más cerca de $-20$:
$$-30 < -23 < -20$$
Para $-45$ damos cuatro saltos de diez y cinco marcas más:
$$\left|-45\right| = 4 \cdot 10 + 5$$
Así que $-45$ queda entre $-50$ y $-40$, justo en la mitad:
$$-50 < -45 < -40$$
Respuesta: −23 queda entre −30 y −20, y −45 queda en la mitad entre −50 y −40.
Ejemplo resuelto
¿Por qué −45 < −23?
Compara −45 y −23 y explica tu criterio.
Ver la solución paso a paso
Los dos números son negativos, así que están a la izquierda del cero. Medimos qué tan lejos está cada uno con el valor absoluto:
$$\left|-45\right| > \left|-23\right|$$
El $-45$ está más lejos del cero, y como está del lado izquierdo, queda más a la izquierda que el $-23$. El que está más a la izquierda es el menor:
$$-45 < -23$$
Lo comprobamos con una deuda: deber 45 mil pesos es estar más en contra que deber 23 mil.
Respuesta: −45 < −23: entre dos negativos, es menor el que está más lejos del cero.
Ejemplo resuelto
Ordenar seis temperaturas
Los termómetros de seis cuartos fríos de una planta de alimentos marcan 6 °C, −8 °C, 0 °C, −3 °C, 11 °C y −15 °C. Ordénalos de menor a mayor.
Ver la solución paso a paso
Primero los negativos. Entre ellos, el más lejano al cero es el menor:
$$-15 < -8 < -3$$
Después viene el cero, que es mayor que todo negativo:
$$-3 < 0$$
Al final, los positivos, del más pequeño al más grande:
$$0 < 6 < 11$$
Juntamos los tres grupos y comprobamos que cada número queda a la izquierda del siguiente en la recta:
$$-15 < -8 < -3 < 0 < 6 < 11$$
Respuesta: De menor a mayor: −15 °C < −8 °C < −3 °C < 0 °C < 6 °C < 11 °C. El cuarto más frío es el de −15 °C.
La ranita sale del 0 y baja de a un grado. Cuenta los saltos hasta −3, −8 y −15: el más lejos del cero, a la izquierda, es el cuarto más frío.
Ejemplo resuelto
Opuesto y valor absoluto de −9
Halla el opuesto de −9, su valor absoluto y el valor absoluto de su opuesto.
Ver la solución paso a paso
El opuesto se escribe con un signo menos delante. Está a la misma distancia del cero, al otro lado:
$$-\left(-9\right) = 9$$
El valor absoluto es la distancia al cero: $-9$ está a nueve marcas.
$$\left|-9\right| = 9$$
Su opuesto, $9$, está a la misma distancia del cero:
$$\left|9\right| = 9$$
Un número y su opuesto tienen el mismo valor absoluto:
$$\left|-9\right| = \left|9\right|$$
Respuesta: El opuesto de −9 es 9, y |−9| = |9| = 9.
Práctica
¿Verdadero o falso? $-8 > -3$
−8 está más lejos del cero que −3, hacia la izquierda, así que es menor: −8 < −3. Que 8 sea mayor que 3 no sirve para comparar los negativos.
¿Cuál es el menor de estos números: −45, −23, 7 y 0?
Los negativos son menores que el cero y que los positivos. Entre −45 y −23, el más lejano al cero es −45, así que es el menor.
Calcula $\left|-17\right|$.
−17 está a 17 marcas del cero. El valor absoluto es esa distancia: 17.
¿Cuál es el opuesto de −31?
El opuesto está a la misma distancia del cero, al otro lado: el opuesto de −31 es 31.
Marca todos los números que son mayores que −4.
Marca todas las que apliquen.
Son mayores que −4 los que están a su derecha en la recta: −3, 0 y 2. −5 y −10 están a su izquierda, y −4 no es mayor que sí mismo.
¿Verdadero o falso? $\left|-6\right| = \left|6\right|$
−6 y 6 son opuestos: los dos están a 6 marcas del cero. Por eso tienen el mismo valor absoluto.
¿Verdadero o falso? $-12 < -5 < 0 < 3$
Primero va −12, que está más lejos del cero que −5; luego el cero, y al final el positivo 3. Cada número está a la izquierda del siguiente.
Tres congeladores de una heladería marcan −2 °C, −7 °C y 1 °C. ¿Cuál es la temperatura más baja?
La temperatura más baja es la del número menor. Entre los negativos, −7 está más lejos del cero que −2, así que −7 °C es la más fría.
¿Cuántos enteros hay entre −4 y 3, sin contar ni el −4 ni el 3?
Entre −4 y 3 están −3, −2, −1, 0, 1 y 2: son 6 enteros. No olvides contar el cero.
Marca todos los números cuyo valor absoluto es 7.
Marca todas las que apliquen.
Los números que están a 7 marcas del cero son dos, uno a cada lado: 7 y −7.
Sofía dice que −8 es mayor que −3, porque 8 es mayor que 3. ¿Qué le responderías?
Entre dos negativos, es mayor el que está más cerca del cero. Deber 8 mil pesos es peor que deber 3 mil: −8 < −3.
Reto
Une cada expresión con su valor.
Toca una expresión y luego el número que vale lo mismo. Las barras son el valor absoluto.
Reto
¿Cuál no es como los demás?
Calcula primero cada opuesto y cada valor absoluto. Luego toca el número que está del otro lado del cero.
Reto
Abre el candado con tres dígitos.
Cada pista da un dígito del 0 al 9.
Cierre
En resumen
En la recta numérica, un número es mayor que otro si está a su derecha.
Todo positivo es mayor que cero, y cero es mayor que todo negativo.
Entre dos negativos, es mayor el que está más cerca del cero, por ejemplo −23 > −45.
El opuesto de un número está a la misma distancia del cero, al otro lado; el opuesto de −9 es 9.
El valor absoluto es la distancia al cero y nunca es negativo; un número y su opuesto tienen el mismo valor absoluto.
Vocabulario
- Opuesto
El número que está a la misma distancia del cero, pero al otro lado. El opuesto de 7 es −7, y el opuesto de −7 es 7. El opuesto de 0 es 0.
- Valor absoluto
La distancia de un número al cero en la recta. Se escribe entre dos barras: |−7| = 7. Nunca es negativo.
- Mayor que
Un número es mayor que otro si en la recta numérica está a su derecha. Se escribe con el signo >.
- Menor que
Un número es menor que otro si en la recta numérica está a su izquierda. Se escribe con el signo <.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte cuál de los dos congeladores está más frío y anote en el tablero cuántos estudiantes eligen cada uno.
- Explicación · 15 min — Ubicar con diferentes estrategias, los cuatro criterios de comparación, el opuesto y el valor absoluto. Trace una recta grande en el piso del salón con cinta y pida a dos estudiantes pararse en −8 y −3.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el dominó, el intruso y el candado en parejas.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe dos negativos, dice cuál es mayor y explica su criterio en una frase.
Preguntas para el salón
- ¿Puede un número negativo ser mayor que otro número negativo? Den un ejemplo.
- ¿Hay algún número que sea igual a su opuesto?
- Si el valor absoluto de un número es 10, ¿qué números pueden ser?
Errores típicos
- Comparar los negativos como si fueran naturales (decir que −8 > −3 porque 8 > 3). Use la recta en el piso: el que está más a la derecha es el mayor. Refuerce con deudas: deber más es estar peor.
- Creer que el valor absoluto vuelve positivo todo lo que tiene cerca y escribir −|−3| = 3. Insista en que el valor absoluto es una distancia. Primero se calcula |−3| = 3 y después se aplica el signo de afuera: −|−3| = −3.
- Olvidar el cero al ordenar o al contar los enteros que hay entre dos números. Pida escribir todos los enteros de la lista, uno por uno, antes de contarlos.
Tarea sugerida
Inventar las temperaturas de cinco congeladores, con al menos tres negativas, ubicarlas en una recta marcada de cinco en cinco y ordenarlas de la más fría a la menos fría.