Suma y resta de enteros
Lo que vas a aprender
- Sumar dos enteros como dos desplazamientos seguidos en la recta numérica.
- Sumar dos enteros con la regla de los signos iguales y la de los signos distintos.
- Restar dos enteros como el desplazamiento que lleva de una posición a otra.
- Escribir la resta de dos enteros como la suma del primero con el opuesto del segundo.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
El corcho de una caldera sube y baja por un tubo marcado con rayas. Un buzo baja y luego sube un poco. El saldo de una cuenta pasa de deber a tener. En todas estas situaciones hay algo que cambia de posición, y queremos saber dónde termina o cuánto se movió.
Sumar y restar enteros sirve justo para eso. En esta lección vas a sumar dos enteros moviéndote por la recta, vas a encontrar reglas para hacerlo sin dibujar y vas a descubrir qué quiere decir restar un número negativo.
Antes de empezar recuerda qué es el opuesto de un número y qué es el valor absoluto.
Explicación
Sumar es desplazarse
Para sumar dos enteros en la recta numérica:
- Te paras en el primer número.
- El segundo número es un desplazamiento: si es positivo te mueves a la derecha, y si es negativo, a la izquierda, tantas marcas como diga su valor absoluto.
- El lugar donde llegas es el resultado.
Por ejemplo, para $-6 + 4$ te paras en $-6$ y avanzas cuatro marcas a la derecha: llegas a $-2$. Para $-2 + (-5)$ te paras en $-2$ y retrocedes cinco marcas: llegas a $-7$.
Dos reglas que salen de la recta
Si haces muchas sumas en la recta, notarás dos reglas que te ahorran el dibujo.
Signos iguales. Si los dos sumandos son positivos, o los dos son negativos, te mueves siempre hacia el mismo lado. Entonces se suman los valores absolutos y se deja el signo que tienen. Así, $-2 + (-5)$ da $-7$.
Signos distintos. Si un sumando es positivo y el otro negativo, uno te lleva hacia un lado y el otro te devuelve. Entonces se resta el valor absoluto menor del mayor, y se deja el signo del que tiene mayor valor absoluto. En $-6 + 4$, el $-6$ «pesa más» que el $4$, así que el resultado es negativo: $-2$.
Un caso especial: un número más su opuesto da cero, porque vas y vuelves la misma distancia. $-15 + 15 = 0$.
Restar es hallar el desplazamiento
Restar también se entiende en la recta. La resta $a - b$ responde a la pregunta: ¿cuánto hay que moverse para ir de $b$ hasta $a$? Por eso se dice que el desplazamiento es posición final menos posición inicial.
Si el corcho de la caldera está en la raya $-23$ y después aparece en la raya $-45$, su desplazamiento es $-45 - (-23)$. En la recta, de $-23$ a $-45$ hay que moverse veintidós marcas hacia la izquierda (hacia abajo en el tubo), así que el desplazamiento es $-22$: el corcho bajó. El signo del resultado te dice hacia dónde fue el movimiento.
Fíjate en que el orden importa. $-23 - (-45)$ es el desplazamiento al revés, de $-45$ hasta $-23$, y da $22$: subir. No es lo mismo ir que volver.
Restar es sumar el opuesto
Mira esta resta: $5 - (-3)$. ¿Cuánto hay que moverse para ir de $-3$ hasta $5$? Tres marcas hasta el cero y cinco más: ocho marcas a la derecha. Así que $5 - (-3) = 8$, que es lo mismo que $5 + 3$.
Eso pasa siempre: restar un número es lo mismo que sumar su opuesto.
$$a - b = a + (\text{opuesto de } b)$$
Por eso $-45 - (-23)$ es lo mismo que $-45 + 23$, y $-4 - 7$ es lo mismo que $-4 + (-7)$. Con esta idea, toda resta de enteros se vuelve una suma, y para la suma ya tienes las dos reglas.
Un error para no cometer
Quizás has oído que «menos con menos da más». En la suma eso no pasa: dos negativos dan un número más negativo, $-6 + (-2) = -8$, porque retrocedes dos veces. Lo único que se le parece es lo que acabas de ver: restar un negativo es sumar su opuesto, y por eso $5 - (-3) = 5 + 3$. Pero en $-4 - 7$ no hay ningún «más» escondido: el primer signo menos es el del $-4$, el segundo dice que se resta 7, y partes de $-4$ para bajar siete más, hasta $-11$. La regla de los signos completa es de la multiplicación, que estudiarás en 7.º.
Ejemplo resuelto
Dos sumas en la recta
Calcula $-6 + 4$ y $-2 + \left(-5\right)$.
Ver la solución paso a paso
Partimos de $-6$ y avanzamos 4 marcas a la derecha.
$$-6 + 4$$
Los signos son distintos: restamos los valores absolutos ($6 - 4$) y dejamos el signo del $-6$, que tiene mayor valor absoluto:
$$-\left(6 - 4\right)$$
Llegamos a:
$$-2$$
Ahora partimos de $-2$ y retrocedemos 5 marcas, porque el segundo sumando es negativo.
$$-2 + \left(-5\right)$$
Los signos son iguales: sumamos los valores absolutos y dejamos el signo menos.
$$-\left(2 + 5\right)$$
Llegamos a:
$$-7$$
Respuesta: −6 + 4 = −2 y −2 + (−5) = −7.
Ejemplo resuelto
El corcho de la raya −23 a la raya −45
El corcho de una caldera está en la raya −23 y después aparece en la raya −45. ¿Cuál fue su desplazamiento?
Ver la solución paso a paso
El desplazamiento es la posición final menos la posición inicial:
$$-45 - \left(-23\right)$$
Restar $-23$ es sumar su opuesto, que es $23$:
$$-45 + 23$$
Los signos son distintos: $45 - 23 = 22$, con el signo del $-45$:
$$-\left(45 - 23\right)$$
El desplazamiento es negativo, así que el corcho bajó 22 rayas:
$$-22$$
Lo comprobamos: si partimos de $-23$ y nos desplazamos $-22$, llegamos a $-45$.
$$-23 + \left(-22\right) = -45$$
Si el corcho hiciera el camino al revés, de $-45$ hasta $-23$, el desplazamiento tendría el signo contrario: subiría 22 rayas.
$$-23 - \left(-45\right) = 22$$
Respuesta: El desplazamiento fue de −22 rayas: el corcho bajó 22 rayas.
La recta está marcada de 5 en 5. De la raya −23 a la raya −45 hay 22 rayas hacia la izquierda (hacia abajo en el tubo): el desplazamiento es −22.
El corcho está en la raya −23. Dale un salto de −22, hacia la izquierda, y mira que cae en −45: ese salto es el desplazamiento.
Ejemplo resuelto
Restar un negativo
Calcula $5 - \left(-3\right)$ y explica por qué el resultado es mayor que 5.
Ver la solución paso a paso
Partimos de la resta.
$$5 - \left(-3\right)$$
Restar $-3$ es sumar su opuesto, $3$:
$$5 + 3$$
Los dos son positivos:
$$8$$
En la recta: para ir de $-3$ hasta $5$ hay que avanzar 8 marcas a la derecha. Por eso la resta da 8, más que 5.
$$-3 + 8 = 5$$
Respuesta: $8$
Práctica
Calcula $-9 + 4$.
Signos distintos: 9 − 4 = 5, con el signo del −9, que tiene mayor valor absoluto. El resultado es −5.
Calcula $-7 + \left(-6\right)$.
Signos iguales: 7 + 6 = 13, con el signo menos. Desde −7 se retroceden 6 marcas hasta −13.
¿Cuánto es $8 - \left(-5\right)$?
Restar −5 es sumar su opuesto: 8 + 5 = 13. Si se resta 5 en lugar de sumarlo, sale 3.
¿Cuánto es $-4 - 9$?
Se parte de −4 y se bajan 9 más: −4 + (−9) = −13. Los dos signos menos no se vuelven un más: el primero es el del −4 y el segundo dice que se resta 9. Solo restar un negativo, como en 8 − (−5), se vuelve una suma.
¿Verdadero o falso? $-6 + \left(-2\right) = 8$
Los dos sumandos son negativos: se suman los valores absolutos y se deja el signo menos. −6 + (−2) = −8.
¿Verdadero o falso? $-10 - \left(-7\right) = -10 + 7$
Restar −7 es sumar su opuesto, 7. Los dos lados dan −3.
¿Verdadero o falso? $-15 + 15 = 0$
−15 y 15 son opuestos: se va y se vuelve la misma distancia, y se llega al cero.
El corcho pasa de la raya −8 a la raya 6. ¿Cuál fue su desplazamiento, en rayas?
Desplazamiento = final − inicial = 6 − (−8) = 6 + 8 = 14. Es positivo: el corcho subió 14 rayas.
El corcho pasa de la raya 15 a la raya −9. ¿Cuál fue su desplazamiento, en rayas?
Desplazamiento = −9 − 15 = −9 + (−15) = −24. Es negativo: el corcho bajó 24 rayas, 15 hasta el cero y 9 más.
Marca todas las operaciones cuyo resultado es negativo.
Marca todas las que apliquen.
−8 + 3 = −5; 5 + (−2) = 3; −1 − 4 = −5; 7 − 10 = −3; −6 − (−9) = −6 + 9 = 3; 0 − 3 = −3.
¿Qué suma da lo mismo que $-4 - 7$?
Restar 7 es sumar su opuesto, −7: −4 − 7 = −4 + (−7) = −11. Las otras opciones dan 3, 11 y 3.
Tomás dice que 5 − (−3) tiene que dar menos que 5, «porque restar siempre quita». ¿Qué le responderías?
Para ir de −3 hasta 5 hay que avanzar 8 marcas. Restar un negativo hace crecer el resultado, porque es sumar su opuesto.
Reto
Une cada operación con su resultado.
Toca una operación y luego el número que da. Puedes moverte en la recta o usar las reglas de los signos.
Reto
Abre el candado con cuatro dígitos.
Cada operación da un dígito del 0 al 9.
Cierre
En resumen
Sumar un entero es desplazarse en la recta, a la derecha si es positivo y a la izquierda si es negativo.
Con signos iguales se suman los valores absolutos y se deja el signo; con signos distintos se restan y queda el signo del de mayor valor absoluto.
Un número más su opuesto da cero.
La resta a − b es el desplazamiento para ir de b hasta a, y es igual a sumar a con el opuesto de b.
En una suma, dos negativos dan negativo (−6 + (−2) = −8); lo que se vuelve suma es restar un negativo (5 − (−3) = 5 + 3).
Vocabulario
- Desplazamiento
Un movimiento sobre la recta con signo: hacia la derecha (o hacia arriba) es positivo y hacia la izquierda (o hacia abajo) es negativo.
- Sumando
Cada uno de los números que se suman. En −6 + 4, los sumandos son −6 y 4.
- Diferencia
El resultado de una resta. En la recta, a − b es el desplazamiento que lleva de b hasta a.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Dibuje el tubo del corcho de pie en el tablero y pregunte dónde queda si parte de −6 y sube 4 rayas.
- Explicación · 15 min — Sumar como desplazamiento, las dos reglas, la resta como desplazamiento entre dos posiciones y restar como sumar el opuesto. Resuelva el corcho de −23 a −45 con la recta.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el dominó y el candado en parejas, pidiendo que una persona calcule con las reglas y la otra lo compruebe en la recta.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe una resta de dos enteros cuyo resultado sea mayor que el primer número, y explica por qué.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué −45 − (−23) y −23 − (−45) no dan lo mismo? ¿Qué tienen en común?
- Si sumo dos números negativos, ¿puede salir un positivo?
- ¿Cuándo una resta da un número mayor que el primero?
Errores típicos
- Aplicar «menos con menos da más» a una suma o a una resta (−6 + (−2) = 8 o −4 − 9 = 13). Pida hacer la cuenta en la recta: dos movimientos hacia la izquierda no pueden terminar a la derecha del cero. Aclare que en la resta solo cambia de signo el número que se resta (restar −3 es sumar 3), y que la regla de los signos completa es de la multiplicación.
- En una suma de signos distintos, dejar siempre el signo del primer número. Pregunte cuál de los dos sumandos «pesa más», es decir, cuál tiene mayor valor absoluto, y pida dejar su signo.
- Calcular el desplazamiento como posición inicial menos posición final. Pida comprobar siempre: inicial + desplazamiento tiene que dar la posición final.
Tarea sugerida
Inventar cuatro movimientos del corcho (dos que suban y dos que bajen), escribir cada uno como una resta final − inicial, calcular el desplazamiento y comprobarlo en la recta.