Problemas con enteros
Lo que vas a aprender
- Reconocer si un problema es de transformación (un estado que cambia) o de comparación (dos estados que se comparan).
- Elegir la suma o la resta que resuelve un problema con enteros y justificar la elección.
- Interpretar el signo del resultado en el contexto del problema.
- Resolver problemas con varios desplazamientos iguales escribiéndolos como una suma repetida.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En el torneo intercursos, la tabla de posiciones trae una columna con la diferencia de gol, y a veces tiene números negativos. En la cuenta de ahorros del curso para la excursión, el saldo puede quedar en rojo. El termómetro de un congelador sube cuando se va la luz.
En esta lección vas a resolver problemas como esos. Lo más importante no es hacer la cuenta, que ya sabes, sino decidir qué cuenta hay que hacer y explicar qué quiere decir el resultado: ¿el signo menos significa que bajó, que se debe o que se perdió?
Antes de empezar repasa cómo se suman dos enteros y por qué restar es sumar el opuesto.
Explicación
Dos clases de problemas
Casi todos los problemas de esta lección son de una de estas dos clases.
Problemas de transformación. Hay un estado inicial, un cambio y un estado final. Una temperatura que sube, un saldo que recibe una consignación, un corcho que baja. Siempre se cumple:
$$\text{estado inicial} + \text{cambio} = \text{estado final}$$
De esa igualdad salen tres preguntas posibles:
- Si conoces el estado inicial y el cambio, sumas: inicial + cambio.
- Si conoces el estado inicial y el final, el cambio es una resta: final − inicial.
- Si conoces el estado final y el cambio, el inicial también es una resta: final − cambio.
Problemas de comparación. Hay dos estados al mismo tiempo, y se pregunta cuánto más o cuánto menos tiene uno que otro. Por ejemplo, ¿cuántos grados más frío está un congelador que otro? La comparación también es una resta: el mayor menos el menor, que nunca da negativo y dice cuántas marcas los separan en la recta.
Antes de la cuenta: representar
Para no perderte, sigue estos pasos:
- Escoge el cero de la situación: el cero del termómetro, el saldo en el que no se debe nada, la raya cero del corcho.
- Escribe cada cantidad con su signo: lo que está por debajo, se debe o se pierde va con signo menos.
- Decide la clase de problema y escribe la operación.
- Haz la cuenta y compruébala en la recta numérica.
- Interpreta el signo del resultado con palabras: si un cambio da negativo, la cantidad bajó; si un saldo da negativo, se debe dinero.
Elegir la operación y justificarla
Elegir mal la operación es el error más común. Fíjate en las palabras del problema, pero no te quedes solo con ellas: «perdió» no siempre quiere decir restar. Si Andrés perdió 4 puntos y quedó en $-10$, ¿cuántos tenía antes? El estado inicial es final menos cambio: $-10 - (-4) = -10 + 4 = -6$. Aunque el problema dice «perdió», la cuenta termina sumando 4. Si en cambio se pregunta cuánto cambió la temperatura al pasar de $-2$ °C a $-9$ °C, la cuenta es final menos inicial: $-9 - (-2) = -7$. El signo menos dice que la temperatura bajó siete grados, no que subió.
Una buena manera de justificar una operación es comprobarla al revés: si el cambio que calculaste es correcto, entonces inicial + cambio tiene que dar el estado final.
Varios desplazamientos iguales
A veces un mismo cambio se repite varias veces: el corcho baja quince rayas, y otra vez, y otra vez. Cada bajada es un desplazamiento de $-15$, y todas juntas forman una suma repetida: $(-15) + (-15) + (-15) + (-15)$. Como todos los sumandos tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos: el corcho baja en total $4 \cdot 15 = 60$ rayas, así que el desplazamiento total es $-60$. Después, ese desplazamiento total se suma a la posición inicial, como en cualquier problema de transformación.
Ejemplo resuelto
El congelador cuando se va la luz
Un congelador de una heladería marca −5 °C. Se va la luz y la temperatura sube 9 °C. Cuando vuelve la luz, el congelador enfría hasta −12 °C. ¿Hasta qué temperatura llegó sin luz y cuánto cambió después, cuando volvió la luz?
Ver la solución paso a paso
Es un problema de transformación. Primero: estado inicial $-5$, cambio $+9$. Se suma:
$$-5 + 9$$
Signos distintos: $9 - 5 = 4$, con el signo del $9$, que es positivo.
$$4$$
Ahora conocemos el estado inicial, $4$ °C, y el final, $-12$ °C. El cambio es final menos inicial:
$$-12 - 4$$
Restar $4$ es sumar su opuesto:
$$-12 + \left(-4\right)$$
Signos iguales: se suman los valores absolutos y queda el signo menos.
$$-16$$
Lo comprobamos al revés: inicial + cambio tiene que dar el final.
$$4 + \left(-16\right) = -12$$
Respuesta: Sin luz llegó a 4 °C. Después la temperatura cambió −16 °C: bajó 16 grados.
El tramo marcado es la subida sin luz, de −5 °C a 4 °C: 9 grados. Después, con luz, el congelador baja de 4 °C hasta el punto −12 °C: 16 grados.
Ejemplo resuelto
¿Cuánto más tiene Sara que Camilo?
En la tienda del colegio, Camilo tiene un saldo de −3000 pesos y Sara uno de 2500 pesos. ¿Cuánto dinero más tiene Sara que Camilo?
Ver la solución paso a paso
Es un problema de comparación. Primero vemos quién tiene más: un positivo es mayor que un negativo.
$$2500 > -3000$$
La comparación es el mayor menos el menor:
$$2500 - \left(-3000\right)$$
Restar $-3000$ es sumar su opuesto:
$$2500 + 3000$$
Los dos son positivos:
$$5500$$
Tiene sentido: Camilo necesita 3000 pesos solo para llegar a cero, y 2500 más para tener lo de Sara.
$$3000 + 2500 = 5500$$
Respuesta: Sara tiene 5500 pesos más que Camilo.
Ejemplo resuelto
Cuatro bajadas iguales del corcho
El corcho de una caldera está en la raya −20. Después baja 4 veces seguidas, y cada vez baja 15 rayas. ¿En qué raya queda?
Ver la solución paso a paso
Cada bajada es un desplazamiento de $-15$. Las cuatro forman una suma repetida:
$$\left(-15\right) + \left(-15\right) + \left(-15\right) + \left(-15\right)$$
Todos los sumandos son negativos: se suman los valores absolutos y queda el signo menos.
$$-60$$
Los valores absolutos suman lo mismo que una multiplicación de naturales:
$$4 \cdot 15 = 60$$
Ahora es un problema de transformación: estado inicial $-20$, cambio $-60$.
$$-20 + \left(-60\right)$$
Signos iguales:
$$-80$$
¿Y si alguien hubiera restado el desplazamiento? Le daría un corcho que sube, lo contrario de lo que pasó:
$$-20 - \left(-60\right) = 40$$
Respuesta: El corcho queda en la raya −80. La operación correcta es −20 + (−60), porque las bajadas se suman a la posición inicial.
Práctica
Por la mañana, el termómetro de un cuarto frío marcaba −7 °C. Al mediodía marcaba 3 °C. ¿Cuántos grados subió la temperatura?
Cambio = final − inicial = 3 − (−7) = 3 + 7 = 10. Sube 7 grados hasta el cero y 3 más.
La cuenta del curso para la excursión tenía un saldo de −15 000 pesos. Los padres consignan 40 000 pesos. ¿Cuál es el saldo ahora, en pesos?
Estado inicial −15 000, cambio +40 000. Signos distintos: 40 000 − 15 000 = 25 000, con el signo positivo. La cuenta queda con 25 000 pesos a favor.
En el torneo intercursos, un equipo marcó 7 goles y le marcaron 11. ¿Cuál es su diferencia de gol?
Diferencia de gol = a favor − en contra = 7 − 11 = −4. Es negativa porque el equipo recibió más goles de los que marcó.
Un buzo está a 18 m bajo la superficie del mar y sube 7 m. ¿En qué posición queda, en metros, si el cero es la superficie?
Estado inicial −18, cambio +7: −18 + 7 = −11. Sigue debajo de la superficie, a 11 m. Si se resta la subida, sale −25, que sería bajar.
Dos congeladores marcan −4 °C y −19 °C. ¿Cuántos grados más frío está el segundo que el primero?
Es una comparación: el mayor menos el menor. −4 − (−19) = −4 + 19 = 15. El de −19 °C está 15 grados más frío.
La temperatura de un cuarto frío pasa de −2 °C a −9 °C. ¿Cuánto cambió, en °C?
Cambio = final − inicial = −9 − (−2) = −9 + 2 = −7. El signo menos dice que la temperatura bajó 7 grados.
¿Verdadero o falso? Si el corcho pasa de la raya 12 a la raya −5, su desplazamiento se calcula así: $-5 - 12 = -17$
Desplazamiento = final − inicial = −5 − 12 = −17. El corcho bajó 17 rayas: 12 hasta el cero y 5 más.
El corcho está en la raya −30. Baja 3 veces seguidas, 10 rayas cada vez. ¿En qué raya queda?
Las tres bajadas forman la suma repetida (−10) + (−10) + (−10) = −30. Luego −30 + (−30) = −60. Si las bajadas se restaran, el corcho subiría hasta 0.
En un juego de preguntas, Andrés tiene −6 puntos. Responde mal y pierde 4 puntos más. ¿Cuántos puntos tiene ahora?
Perder 4 puntos es un cambio de −4: −6 + (−4) = −10. Andrés queda más en contra que antes.
La temperatura de un congelador bajó 6 °C y quedó en −14 °C. ¿Qué temperatura marcaba antes, en °C?
Inicial = final − cambio = −14 − (−6) = −14 + 6 = −8. Comprobación: −8 + (−6) = −14.
¿Verdadero o falso? Lucía debe 8000 pesos y Tomás debe 2000 pesos, así que el saldo de Lucía es mayor que el de Tomás.
Los saldos son −8000 y −2000. Entre dos negativos, es mayor el más cercano al cero: −2000 > −8000. Lucía debe más, así que su saldo es menor.
Juan dice: «Si la temperatura pasa de −2 °C a −9 °C, subió 7 grados, porque 9 es mayor que 2». ¿Qué está mal en su razonamiento?
−9 está más lejos del cero, hacia abajo, que −2: hace más frío. El cambio es final − inicial = −9 − (−2) = −7, y el signo menos dice que la temperatura bajó.
Reto
Sigue al buzo.
Elige en cada espacio el valor correcto. El cero es la superficie del mar.
Reto
¿Subió o bajó?
Cada operación es un cambio calculado como final menos inicial. Si el resultado es positivo, subió; si es negativo, bajó.
Cierre
En resumen
En un problema de transformación, estado inicial + cambio = estado final.
El cambio se calcula como final menos inicial; si es negativo, la cantidad bajó o disminuyó.
En un problema de comparación, la diferencia es el mayor menos el menor.
Varios desplazamientos iguales forman una suma repetida; luego se suman a la posición inicial.
Una operación se justifica comprobándola al revés y diciendo con palabras qué significa el signo del resultado.
Vocabulario
- Estado
El valor de una cantidad en un momento: la temperatura que marca un termómetro, el saldo de una cuenta o la raya en que está un corcho.
- Cambio
Lo que aumenta o disminuye una cantidad. Es positivo si aumenta y negativo si disminuye. Se calcula como estado final menos estado inicial.
- Diferencia de gol
Los goles a favor menos los goles en contra de un equipo. Es negativa si el equipo recibió más goles de los que marcó.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre una tabla de posiciones inventada de un torneo intercursos con diferencias de gol negativas y pregunte qué significan.
- Explicación · 15 min — Problemas de transformación y de comparación, los cinco pasos y la suma repetida. Resuelva el congelador y el corcho en el tablero, dibujando la recta.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; antes de cada cuenta, cada pareja escribe si el problema es de transformación o de comparación. Los huecos y las canastas se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante inventa un problema de transformación cuya respuesta sea −3, y su compañero lo resuelve.
Preguntas para el salón
- Si un cambio de temperatura da −5, ¿subió o bajó? ¿Cuánto?
- ¿Por qué la palabra «perdió» no siempre quiere decir que hay que restar?
- ¿Cómo pueden comprobar que el cambio que calcularon es el correcto?
Errores típicos
- Calcular el cambio como inicial menos final y obtener el signo al revés. Pida comprobar siempre que inicial + cambio da el final. Si no da, el orden de la resta está invertido.
- Decidir la operación solo por una palabra clave (restar cada vez que dice «perdió» o «bajó»). Pida escribir primero cada cantidad con su signo y la igualdad inicial + cambio = final; la operación sale de ahí.
- Comparar dos saldos negativos como si fueran naturales (creer que −8000 es mayor que −2000). Ubique los dos saldos en la recta y pregunte quién debe más.
Tarea sugerida
Inventar dos problemas de transformación y uno de comparación con temperaturas, saldos o puntos de un juego, resolverlos, comprobarlos al revés y explicar con una frase qué significa el signo de cada resultado.