Operaciones inversas
Lo que vas a aprender
- Reconocer la suma y la resta, y la multiplicación y la división, como parejas de operaciones que se deshacen.
- Resolver ecuaciones de un paso con naturales, fracciones y decimales aplicando la operación inversa.
- Comprobar una solución sustituyéndola en la ecuación de partida.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Llegas a casa con una bolsa de mandarinas. Tu hermana dice que se comió unas cuantas en el camino, y tú sabes cuántas quedan. ¿Cuántas había al principio? O piensa en una tienda: la cajera sabe cuánto pagaste en total por varios cuadernos iguales, pero no recuerda el precio de cada uno. En los dos casos falta un número, y lo que sí sabes es qué le pasó a ese número.
Para encontrarlo hay que deshacer lo que le pasó. Si alguien se comió mandarinas, para volver al principio las devuelves. Si algo se multiplicó, para volver atrás divides. Esa idea tan sencilla, deshacer, es la base de las ecuaciones que vas a resolver en el bachillerato.
Antes de empezar necesitas sumar, restar, multiplicar y dividir naturales, sumar y restar fracciones y decimales, multiplicar una fracción por un natural y dividir un decimal entre un natural.
Explicación
Operaciones que se deshacen
Hay operaciones que vienen en parejas, porque una deshace lo que hizo la otra:
- La suma y la resta. Si a un número le sumas 7 y después le restas 7, vuelves al número con el que empezaste. Sumar es avanzar en la recta numérica; restar es devolverse.
- La multiplicación y la división. Si a un número lo multiplicas por 4 y después lo divides entre 4, también vuelves al principio. Multiplicar por 4 es hacer cuatro veces más grande; dividir entre 4 es partir en cuatro partes iguales y quedarse con una.
Cada operación de la pareja es la operación inversa de la otra. Fíjate en que la inversa tiene que usar el mismo número: lo que deshace «sumar 7» es «restar 7», no «restar 5» ni «dividir entre 7».
Sumar 7 lleva del 8 al 15; restar 7 lleva del 15 de vuelta al 8. Es el mismo salto, en sentido contrario.
La ecuación: una igualdad con un número escondido
Una ecuación es una igualdad en la que falta un número. En lugar de dejar un espacio en blanco, se escribe una letra, casi siempre la $x$, que se llama incógnita. Por ejemplo, «un número más siete es quince» se escribe $x + 7 = 15$.
Resolver la ecuación es encontrar el número que va en lugar de la $x$ para que la igualdad sea verdadera. Ese número es la solución.
Dos maneras de escribir que se acostumbran en matemáticas:
- $4x$ quiere decir «cuatro veces $x$», es decir, $4 \cdot x$. No se escribe el punto.
- $\dfrac{x}{3}$ quiere decir «$x$ dividido entre 3».
Resolver es deshacer
En las ecuaciones de esta lección a la $x$ le pasó una sola cosa: le sumaron, le restaron, la multiplicaron o la dividieron. Por eso se llaman ecuaciones de un paso. Para dejar la $x$ sola, aplica la operación inversa a los dos lados de la igualdad. Si haces lo mismo de los dos lados, la igualdad sigue siendo cierta.
| A la $x$ le pasó… | Para deshacerlo… |
|---|---|
| sumar un número | restar ese número |
| restar un número | sumar ese número |
| multiplicar por un número | dividir entre ese número |
| dividir entre un número | multiplicar por ese número |
Ejemplo resuelto
Deshacer una suma
Resuelve $x + 7 = 15$ y comprueba la solución.
Ver la solución paso a paso
Con palabras: «un número más siete da quince». A la $x$ le sumaron 7: $x + 7 = 15$
La inversa de sumar 7 es restar 7. Lo restamos a los dos lados; a la izquierda solo queda la $x$: $x = 15 - 7$
Hacemos la resta: $x = 8$
Comprobamos: ponemos 8 en lugar de la $x$ en la ecuación de partida. Los dos lados dan lo mismo: $8 + 7 = 15$
Respuesta: $x = 8$
Ejemplo resuelto
Deshacer una multiplicación
Cuatro cajas iguales de colores tienen 28 colores en total. ¿Cuántos colores trae cada caja?
Ver la solución paso a paso
Llamamos $x$ a los colores de una caja. Cuatro cajas son cuatro veces $x$: $4x = 28$
A la $x$ la multiplicaron por 4. La inversa es dividir entre 4, a los dos lados: $x = 28 \div 4$
Hacemos la división: $x = 7$
Comprobamos: cuatro cajas de 7 colores son $4 \cdot 7 = 28$
Respuesta: Cada caja trae 7 colores.
Las cuatro cajas iguales pesan lo mismo que 28 colores. Parte los dos platos en 4 y mira cuántos colores equilibran una caja.
Ejemplo resuelto
Deshacer una división
Resuelve $\frac{x}{3} = 5$ y comprueba la solución.
Ver la solución paso a paso
Con palabras: «un número dividido entre tres da cinco». A la $x$ la dividieron entre 3: $\frac{x}{3} = 5$
La inversa de dividir entre 3 es multiplicar por 3, a los dos lados: $x = 5 \cdot 3$
Hacemos la multiplicación: $x = 15$
Comprobamos: si repartes 15 en tres partes iguales, a cada parte le tocan 5. $\frac{15}{3} = 5$
Respuesta: $x = 15$
Con fracciones y decimales, la misma idea
Las operaciones inversas no cambian porque los números tengan coma o raya de fracción. Si a la $x$ le restaron una fracción, se le suma esa misma fracción; si le restaron un decimal, se le suma ese decimal. Lo único que cambia es la cuenta, que debes hacer con cuidado: alinear la coma de los decimales, o buscar fracciones con el mismo denominador.
Con la multiplicación y la división pasa igual. Para multiplicar una fracción por un natural se multiplica solo el numerador: $3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$. Para dividir un decimal entre un natural se divide como siempre y se pone la coma en el cociente al bajar la primera cifra que está después de la coma: $3{,}5 \div 5 = 0{,}7$.
Ejemplo resuelto
La jarra de jugo
De una jarra de jugo se sirvieron 0,35 litros y quedaron 1,15 litros. ¿Cuánto jugo tenía la jarra?
Ver la solución paso a paso
Llamamos $x$ a los litros que había. Al servir, a la $x$ le restaron 0,35: $x - 0{,}35 = 1{,}15$
La inversa de restar 0,35 es sumar 0,35, a los dos lados. Es como devolver a la jarra lo que se sirvió: $x = 1{,}15 + 0{,}35$
Sumamos alineando la coma: 1,15 + 0,35 = 1,50, que es lo mismo que 1,5. $x = 1{,}5$
Comprobamos en la ecuación de partida: $1{,}5 - 0{,}35 = 1{,}15$
Respuesta: La jarra tenía 1,5 litros de jugo.
La máquina le quita 0,35 litros a la jarra y salen 1,15. Hazla andar al revés, sumando 0,35, para saber cuánto jugo había.
Comprobar siempre, y no dejarse engañar por el signo
Comprobar es poner la solución en lugar de la $x$ en la ecuación de partida y hacer la cuenta. Si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta. Si no, hay un error, y es mejor descubrirlo tú que el profesor.
El error más común es mirar el signo que aparece y hacer esa operación, en lugar de su inversa. En $x - 9 = 14$ aparece una resta, pero para encontrar la $x$ hay que sumar: el número es 23, porque 23 menos 9 da 14. Quien resta y responde 5 se equivoca, y la comprobación lo delata: 5 menos 9 no da 14. Pregúntate siempre: ¿qué le hicieron a la $x$? Y después haz lo contrario.
Práctica
¿Cuál es la solución de $x + 9 = 23$?
A la x le sumaron 9; se deshace restando 9: 23 − 9 = 14. Comprobación: 14 + 9 = 23. Si te dio 32, sumaste en lugar de restar.
¿Cuál es la solución de $x - 12 = 30$?
A la x le restaron 12; se deshace sumando 12: 30 + 12 = 42. Comprobación: 42 − 12 = 30. El 18 sale de restar, que es la operación que ya se había hecho.
¿Cuál es la solución de $6x = 42$?
A la x la multiplicaron por 6; se deshace dividiendo entre 6: 42 ÷ 6 = 7. Comprobación: 6 · 7 = 42. El 36 sale de restar 6, y el 252 de multiplicar otra vez.
¿Cuál es la solución de $\frac{x}{4} = 9$?
A la x la dividieron entre 4; se deshace multiplicando por 4: 9 · 4 = 36. Comprobación: 36 ÷ 4 = 9.
¿Cuál es la solución de $x + \frac{2}{7} = \frac{6}{7}$?
A la x le sumaron 2/7; se deshace restando 2/7. Con el mismo denominador, se restan los numeradores: 6/7 − 2/7 = 4/7. Comprobación: 4/7 + 2/7 = 6/7.
¿Cuál es la solución de $\frac{x}{3} = \frac{2}{5}$?
A la x la dividieron entre 3; se deshace multiplicando por 3: 3 · 2/5 = 6/5. Comprobación: 6/5 dividido entre 3 es 2/5. El 2/15 sale de dividir otra vez en lugar de multiplicar.
¿Cuál es la solución de $5x = 3{,}5$?
Se deshace dividiendo entre 5: 3,5 ÷ 5 = 0,7. Comprobación: 5 · 0,7 = 3,5. El 7 y el 0,07 tienen la coma corrida; el 17,5 sale de multiplicar.
Valentina tenía algunas canicas. En el recreo ganó 18 y ahora tiene 45. ¿Cuántas canicas tenía antes del recreo?
La ecuación es x + 18 = 45. Para deshacer la suma de 18 se resta 18: 45 − 18 = 27. Comprobación: 27 + 18 = 45.
Tres amigos pagaron una pizza por partes iguales, y a cada uno le tocó poner 12 500 pesos. ¿Cuántos pesos costó la pizza?
Si el precio se dividió entre 3 y dio 12 500, la ecuación es x/3 = 12 500. Para deshacer la división se multiplica por 3: 12 500 · 3 = 37 500 pesos.
¿Verdadero o falso? Julián quiere saber si 9 es la solución de $7x$ = 56. Pone 9 en lugar de la x, hace la cuenta y le da 56.
7 · 9 = 63, no 56. Por eso 9 no es la solución de 7x = 56. La solución es 8, porque 56 ÷ 7 = 8 y 7 · 8 = 56.
¿Cuál es la operación inversa de «multiplicar por 6»?
La inversa deshace lo que se hizo, con el mismo número: si multiplicas por 6 y después divides entre 6, vuelves al número del principio. Restar 6 no lo deshace: 5 · 6 = 30, y 30 − 6 = 24, no 5.
Reto
Completa la solución de cada ecuación.
Toca cada hueco y elige la solución. Piensa qué le hicieron a la x y haz lo contrario.
Reto
¿Cuál no da un número natural?
Cada número es la cuenta que resuelve una ecuación de un paso, ya escrita como inversa. Calcula y toca el único que NO da un número natural.
Cierre
En resumen
La suma y la resta se deshacen una a la otra, y lo mismo la multiplicación y la división.
La operación inversa usa el mismo número; restar 7 deshace sumar 7.
Una ecuación de un paso se resuelve aplicando la operación inversa a los dos lados de la igualdad.
Con fracciones y decimales el método es el mismo; solo cambia la cuenta.
Toda solución se comprueba poniéndola en lugar de la x en la ecuación de partida.
Vocabulario
- Operación inversa
La operación que deshace a otra. Restar 7 deshace sumar 7; dividir entre 4 deshace multiplicar por 4.
- Ecuación
Una igualdad en la que hay un número desconocido, representado por una letra.
- Incógnita
La letra de una ecuación, casi siempre la x, que ocupa el lugar del número que se busca.
- Solución
El número que, puesto en lugar de la incógnita, hace que la igualdad sea verdadera.
- Comprobar
Poner la solución en lugar de la letra y hacer la cuenta para ver si los dos lados dan lo mismo.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee de viva voz «tenía unas mandarinas, me comí tres y me quedan cinco: ¿cuántas tenía?» y pida que expliquen cómo lo supieron.
- Explicación · 15 min — Las parejas de operaciones en la recta; la tabla de inversas en el tablero; los cuatro ejemplos, con la comprobación escrita siempre.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas: uno resuelve y el otro comprueba sustituyendo; los huecos y el intruso se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante inventa una ecuación de un paso para su compañero y revisa la comprobación que él escriba.
Preguntas para el salón
- En x − 9 = 14 aparece una resta. ¿Por qué hay que sumar para encontrar la x?
- ¿Restar 4 deshace multiplicar por 4? Pruébenlo con un número.
- Si una solución no pasa la comprobación, ¿qué pudo haber salido mal?
Errores típicos
- Hacer la operación que aparece en la ecuación en lugar de su inversa (restar en x − 9 = 14). Pida que lean la ecuación con palabras y digan qué le hicieron a la x antes de operar; exija la comprobación.
- Deshacer con otra operación o con otro número (restar 6 para deshacer multiplicar por 6). Haga la ida y la vuelta con un número concreto en el tablero, para que vean que no se vuelve al principio.
- Correr la coma al dividir un decimal entre un natural (3,5 ÷ 5 = 7). Pida estimar antes: 3,5 es menos que 5, así que el resultado tiene que ser menor que 1.
Tarea sugerida
Resolver y comprobar seis ecuaciones de un paso (dos con naturales, dos con fracciones y dos con decimales) e inventar una situación de la casa que lleve a una de ellas.