Pienso un número
Lo que vas a aprender
- Encontrar un número desconocido al que se le hicieron dos operaciones, deshaciéndolas en orden inverso.
- Describir el procedimiento con palabras y como una secuencia de pasos de ida y de vuelta.
- Comprobar el número encontrado haciendo otra vez las operaciones en el orden original.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Seguro has jugado a las adivinanzas de números: «piensa un número, multiplícalo por tres, súmale cuatro y dime cuánto te dio». Con la respuesta, quien pregunta adivina el número que pensaste. No es magia: solo deshace las operaciones, una por una, en el orden correcto.
Lo mismo pasa fuera del juego. Si sabes cuánto pagaste en total por varios cuadernos iguales y un lápiz, puedes averiguar el precio de un cuaderno. Si conoces el resultado final de una receta que se duplicó y a la que se le agregó algo, puedes saber con cuánto se empezó. En esta lección vas a aprender a deshacer dos operaciones seguidas y a explicar cómo lo hiciste.
Antes de empezar necesitas saber cuál es la operación inversa de cada operación: la resta deshace la suma, la división deshace la multiplicación, y al revés.
Explicación
La ida: lo que le pasa al número pensado
En una adivinanza de dos pasos, al número pensado le hacen dos operaciones, una después de la otra. Esa es la ida. Escrita como una secuencia de pasos, la adivinanza «pienso un número, lo multiplico por 3, le sumo 4 y da 19» queda así:
número pensado → multiplicar por 3 → sumar 4 → 19
Con la letra $x$ en lugar del número pensado, la misma adivinanza es la ecuación $3x + 4 = 19$. Fíjate en que la ecuación guarda el orden: primero se multiplica la $x$ y después se suma.
La vuelta: deshacer en orden inverso
Piensa en cómo te vistes: primero las medias y después los zapatos. Para quitártelos lo haces al revés: primero los zapatos y después las medias. Nadie se quita las medias con los zapatos puestos.
Con las operaciones pasa lo mismo. Para volver al número pensado se parte del resultado y se deshace primero lo último que se hizo. La vuelta de la adivinanza anterior es:
19 → restar 4 → dividir entre 3 → número pensado
Cada flecha de la vuelta es la operación inversa de una flecha de la ida, y las flechas van en el orden contrario.
La ida y la vuelta de una adivinanza de dos pasos: las operaciones de regreso son las inversas, y van en el orden contrario.
Ejemplo resuelto
Multiplicar y después sumar
Pienso un número, lo multiplico por 3, le sumo 4 y me da 19. ¿Qué número pensé?
Ver la solución paso a paso
Escribimos la ida con la letra $x$: primero se multiplicó por 3 y después se sumó 4. $3x + 4 = 19$
Lo último que se hizo fue sumar 4, así que es lo primero que se deshace: restamos 4 a los dos lados. $3x = 19 - 4$
Antes de sumar 4, el número ya multiplicado valía 15: $3x = 15$
Ahora deshacemos la multiplicación por 3: dividimos entre 3. $x = 15 \div 3$
El número pensado es: $x = 5$
Comprobamos haciendo la ida con el 5: cinco por tres es quince, y quince más cuatro es diecinueve. $5 \cdot 3 + 4 = 19$
Otra manera de verlo es hacer la ida con varios números y anotar lo que da cada uno:
Número pensado 1 2 3 4 5 6 Resultado 7 10 13 16 19 22 Las cuentas de la tabla son $1 \cdot 3 + 4 = 7 \quad\text{y}\quad 2 \cdot 3 + 4 = 10 \quad\text{y}\quad 3 \cdot 3 + 4 = 13 \quad\text{y}\quad 4 \cdot 3 + 4 = 16 \quad\text{y}\quad 5 \cdot 3 + 4 = 19 \quad\text{y}\quad 6 \cdot 3 + 4 = 22$. El 19 solo aparece debajo del 5; la gráfica de abajo muestra la misma tabla.
Respuesta: Pensé el 5.
La máquina multiplica por 3 y suma 4, y salió 19. Hazla andar al revés: primero resta 4 y después divide entre 3.
Cada punto es un número pensado y lo que da al multiplicarlo por 3 y sumarle 4. El resultado 19 está sobre el 5, y solo sobre él.
El orden de la ida cambia la vuelta
No es lo mismo «multiplico por 2 y después sumo 6» que «sumo 6 y después multiplico por 2». En el segundo caso la suma se hace primero, y para escribirlo con símbolos hacen falta paréntesis: $(x + 6) \cdot 2$. Los paréntesis dicen «esto se hace antes».
Como la ida cambió de orden, la vuelta también cambia: ahora lo último que se hizo fue multiplicar, así que lo primero que se deshace es la multiplicación.
Ejemplo resuelto
Sumar y después multiplicar
Pienso un número, le sumo 6 y el resultado lo multiplico por 2. Me da 30. ¿Qué número pensé?
Ver la solución paso a paso
La ida: primero se sumó 6 y después se multiplicó por 2. Los paréntesis guardan ese orden: $\left(x + 6\right) \cdot 2 = 30$
Lo último fue multiplicar por 2: lo deshacemos primero, dividiendo entre 2. $x + 6 = 30 \div 2$
Antes de multiplicar, el número valía 15: $x + 6 = 15$
Deshacemos la suma: restamos 6. $x = 15 - 6$
El número pensado es: $x = 9$
Comprobamos con la ida: nueve más seis es quince, y quince por dos es treinta. $\left(9 + 6\right) \cdot 2 = 30$
Respuesta: Pensé el 9.
Ejemplo resuelto
Lo que pasa si se deshace en el orden equivocado
Pienso un número, lo divido entre 4, le resto 3 y me da 6. ¿Qué número pensé?
Ver la solución paso a paso
La ida: primero se dividió entre 4 y después se restó 3. $\frac{x}{4} - 3 = 6$
Lo último fue restar 3: lo deshacemos sumando 3. $\frac{x}{4} = 6 + 3$
Antes de restar, el número valía 9. Deshacemos la división multiplicando por 4: $x = 9 \cdot 4$
El número pensado es: $x = 36$
Comprobamos: treinta y seis entre cuatro es nueve, y nueve menos tres es seis. $36 \div 4 - 3 = 6$
¿Y si alguien deshace en el orden equivocado, primero la división y después la resta? Multiplica por 4 y después suma 3: $6 \cdot 4 + 3 = 27$
Hace la ida con el 27. Primero lo divide entre 4: $27 \div 4 = 6{,}75$
Y después le resta 3: $6{,}75 - 3 = 3{,}75$. Llega a $3{,}75$, no a $6$: la comprobación delata el error. Por eso se deshace siempre desde lo último que se hizo.
Respuesta: Pensé el 36.
Contar el procedimiento
Cuando resuelvas una adivinanza, cuéntala en tres partes:
- La ida: qué operaciones le hicieron al número y en qué orden.
- La vuelta: las operaciones inversas, empezando por la última de la ida.
- La comprobación: la ida otra vez, con el número que encontraste.
Así cualquier compañero puede seguir tu razonamiento, y tú mismo descubres si te equivocaste en una cuenta. Una comprobación que no cuadra no es un fracaso: es la señal para revisar.
Práctica
Pienso un número, lo multiplico por 5 y le sumo 7. Me da 42. ¿Qué número pensé?
La vuelta empieza por la suma: 42 − 7 = 35. Después la multiplicación: 35 ÷ 5 = 7. Comprobación: 7 · 5 + 7 = 42.
¿Cuál es la solución de $2x + 9 = 25$?
Primero se deshace la suma: 25 − 9 = 16. Después la multiplicación: 16 ÷ 2 = 8. El 16 es lo que vale 2x, no x; el 7/2 sale de dividir primero, en el orden equivocado.
Pienso un número, le resto 8 y el resultado lo multiplico por 3. Me da 36. ¿Qué número pensé?
Lo último fue multiplicar por 3, así que se deshace primero: 36 ÷ 3 = 12. Después se deshace la resta: 12 + 8 = 20. Comprobación: (20 − 8) · 3 = 12 · 3 = 36.
Pienso un número, lo divido entre 4 y luego le sumo 6. Me da 15. ¿Qué número pensé?
Primero se deshace la suma: 15 − 6 = 9. Después la división: 9 · 4 = 36. Comprobación: 36 ÷ 4 = 9, y 9 + 6 = 15.
¿Cuál es la solución de $\left(x + 5\right) \cdot 4 = 48$?
Lo último fue multiplicar por 4: 48 ÷ 4 = 12. Después se deshace la suma: 12 − 5 = 7. El 17 sale de sumar 5 en lugar de restarlo, y el 43/4 de restar primero, en el orden equivocado.
Tomás pensó un número, lo multiplicó por 7, le restó 10 y obtuvo 39. ¿Qué número pensó? Es la solución de $7x - 10 = 39$.
Se deshace la resta sumando 10: 39 + 10 = 49. Después la multiplicación: 49 ÷ 7 = 7. Comprobación: 7 · 7 − 10 = 39. El 49 es lo que valía 7x, y el 29/7 sale de restar 10 en lugar de sumarlo.
¿Verdadero o falso? Si pienso el 3, da lo mismo multiplicarlo por 2 y después sumarle 5 que sumarle 5 y después multiplicarlo por 2. Es decir, $3 \cdot 2 + 5 = \left(3 + 5\right) \cdot 2$.
3 · 2 + 5 = 11, mientras que (3 + 5) · 2 = 16. El orden de las operaciones cambia el resultado, y por eso también cambia la vuelta.
¿Verdadero o falso? Si pienso el 6, lo multiplico por 4 y le sumo 3, obtengo $6 \cdot 4 + 3 = 27$.
6 · 4 = 24 y 24 + 3 = 27. Así se comprueba que 6 es la solución de la adivinanza «lo multiplico por 4, le sumo 3 y da 27».
Si a la edad de Sara le sacas el doble y le sumas 7, te da 31. ¿Cuántos años tiene Sara?
La ida es «multiplicar por 2 y sumar 7». La vuelta: 31 − 7 = 24 y 24 ÷ 2 = 12. Comprobación: el doble de 12 es 24, y 24 + 7 = 31.
Don Álvaro compró 3 cuadernos iguales y un lápiz de 1500 pesos, y pagó 13 500 pesos en total. ¿Cuántos pesos costó cada cuaderno?
La ida: el precio de un cuaderno por 3, más el lápiz. La vuelta: 13 500 − 1500 = 12 000, y 12 000 ÷ 3 = 4000 pesos. Comprobación: 3 · 4000 + 1500 = 13 500.
Para adivinar el número en «pienso un número, lo multiplico por 6, le resto 2 y me da 40», ¿qué se hace primero?
Lo último que se hizo fue restar 2, así que es lo primero que se deshace, con su inversa: 40 + 2 = 42. Después se divide: 42 ÷ 6 = 7. Comprobación: 7 · 6 − 2 = 40.
Reto
Abre el candado con los números pensados.
Cada pista es una adivinanza. El número pensado es una cifra del candado.
Reto
Une cada vuelta con el número pensado.
Cada ficha de la izquierda es la vuelta de una adivinanza, ya escrita como cuenta. Calcúlala y únela con su resultado.
Cierre
En resumen
En una adivinanza de dos pasos, al número pensado se le hacen dos operaciones en un orden; esa es la ida.
Para encontrar el número se parte del resultado y se deshace primero lo último que se hizo; esa es la vuelta.
Cada paso de la vuelta usa la operación inversa del paso correspondiente de la ida.
Si cambia el orden de la ida, cambia el orden de la vuelta; los paréntesis indican qué se hizo primero.
Toda respuesta se comprueba haciendo otra vez la ida con el número encontrado.
Vocabulario
- Orden inverso
El orden contrario: lo último que se hizo es lo primero que se deshace.
- Ida
Las operaciones que se le hicieron al número pensado, en el orden en que se hicieron.
- Vuelta
Las operaciones inversas, aplicadas desde el resultado y en el orden contrario, hasta llegar al número pensado.
- Comprobar
Hacer otra vez la ida con el número encontrado y ver si se llega al mismo resultado.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Juegue en voz alta «pienso un número, lo multiplico por 3, le sumo 4 y me da 19» y pida que lo adivinen; después pregunte cómo lo hicieron.
- Explicación · 15 min — La ida y la vuelta con la analogía de las medias y los zapatos; los tres ejemplos en el tablero, insistiendo en el tercero, donde el orden equivocado no pasa la comprobación.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas: uno escribe la vuelta y el otro la comprobación; el candado y el dominó se pueden proyectar.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante inventa una adivinanza de dos pasos, se la plantea a un compañero y revisa su procedimiento contado en tres partes.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué no se empieza la vuelta deshaciendo la primera operación de la ida?
- «Multiplico por 2 y sumo 6» y «sumo 6 y multiplico por 2»: ¿dan lo mismo? Pruébenlo con un número.
- Si la comprobación no da el resultado de la adivinanza, ¿dónde buscarían el error?
Errores típicos
- Deshacer en el mismo orden de la ida (dividir primero en 3x + 4 = 19). Use la analogía de las medias y los zapatos y pida que la comprobación se escriba siempre; con el orden equivocado no cuadra.
- Detenerse a mitad de la vuelta y dar como respuesta el valor de 3x (15 en lugar de 5). Pida que lean en voz alta qué representa cada número que obtienen: «esto es el número ya multiplicado».
- Ignorar los paréntesis y leer (x + 6) · 2 como si primero se multiplicara. Lea la adivinanza en palabras y pregunte qué se hizo primero; pida que escriban la secuencia de pasos con flechas.
Tarea sugerida
Inventar tres adivinanzas de dos pasos con naturales (una con paréntesis), escribir para cada una la ida, la vuelta y la comprobación, y plantearlas en casa a alguien de la familia.