Patrones numéricos
Lo que vas a aprender
- Encontrar la regla de una secuencia de números o de figuras y expresarla con palabras.
- Hallar el término siguiente de una secuencia y un término lejano, como el 10.º o el 20.º, con una tabla y contando los saltos.
- Reconocer que unos pocos términos pueden seguir más de una regla.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Si cada semana ahorras la misma cantidad, ¿cuánto tendrás dentro de veinte semanas? Si para armar una fila de triángulos con palillos cada triángulo nuevo pide dos palillos más, ¿cuántos palillos necesitas para una fila larga? Para responder no hace falta hacer la lista completa, semana por semana o triángulo por triángulo. Basta con descubrir el patrón: lo que se repite.
Encontrar patrones es una de las cosas que más hacen los matemáticos, y también los programadores, los músicos y los diseñadores de telas. En esta lección vas a descubrir la regla de una secuencia, a decirla con palabras y a usarla para predecir términos que están muy lejos.
Antes de empezar necesitas sumar, restar y multiplicar naturales con soltura.
Explicación
Secuencias, términos y posiciones
Una secuencia es una lista de números (o de figuras) en un orden. Cada número es un término, y el lugar que ocupa es su posición: el primero, el segundo, el tercero… Una secuencia se escribe con comas entre los términos y unos puntos suspensivos al final, que quieren decir «y así sigue».
Para descubrir la regla, compara cada término con el anterior. Las dos preguntas que más sirven son:
- ¿Cuánto se suma (o se resta) cada vez? Si de un término al siguiente siempre se suma lo mismo, la regla es «empieza en tal número y suma tanto cada vez».
- ¿Por cuánto se multiplica cada vez? Si cada término es el anterior multiplicado por el mismo número, la regla es «empieza en tal número y multiplica por tanto cada vez».
La regla se dice con palabras, completa: con el término con que empieza y con lo que se hace cada vez. «Suma 3» no basta, porque no dice desde dónde.
Ejemplo resuelto
El término siguiente y uno lejano
Encuentra la regla de 5, 8, 11, 14, … Después halla el término siguiente y el término 10.º.
Ver la solución paso a paso
Comparamos cada término con el anterior. Siempre aumenta lo mismo: $8 - 5 = 3 \quad\text{y}\quad 11 - 8 = 3 \quad\text{y}\quad 14 - 11 = 3$
La regla, con palabras: empieza en 5 y suma 3 cada vez.
El término siguiente, el 5.º, es el último que conocemos más 3: $14 + 3 = 17$
Para el 10.º no hace falta escribir toda la lista. Del 1.º al 10.º hay nueve saltos, no diez: del 1.º al 2.º hay uno, del 1.º al 3.º hay dos, y así. Partimos del 5 y sumamos nueve veces 3: $5 + \left(10 - 1\right) \cdot 3$
Nueve veces 3 son 27: $5 + 27$
Y el término 10.º es: $32$
Respuesta: La regla es «empieza en 5 y suma 3». El término siguiente es 17 y el 10.º es 32.
Patrones con figuras
Muchas secuencias aparecen al construir figuras. En la imagen, cada figura es una fila de triángulos hecha con palillos. Para encontrar el patrón no cuentes los triángulos: cuenta los palillos de cada figura y mira cuántos se agregan de una figura a la siguiente. Organizar los conteos en una tabla ayuda a ver la regla y a no perder la cuenta.
Las figuras 1, 2 y 3 de la fila de triángulos. Cada figura nueva reutiliza un palillo de la anterior y agrega otros dos.
Ejemplo resuelto
La fila de triángulos
La figura 1 tiene 3 palillos, la figura 2 tiene 5 y la figura 3 tiene 7. ¿Cuántos palillos necesita la figura 20?
Ver la solución paso a paso
De una figura a la siguiente se agregan siempre dos palillos: $5 - 3 = 2 \quad\text{y}\quad 7 - 5 = 2$
La regla, con palabras: la figura 1 tiene 3 palillos, y cada figura nueva agrega 2.
Con la regla completamos la tabla hasta la figura 6:
Figura 1 2 3 4 5 6 Palillos 3 5 7 9 11 13 Las tres columnas nuevas salen de sumar 2: $7 + 2 = 9 \quad\text{y}\quad 9 + 2 = 11 \quad\text{y}\quad 11 + 2 = 13$
Para la figura 20 contamos los saltos: de la figura 1 a la 20 hay diecinueve. Partimos de 3 palillos y sumamos diecinueve veces 2: $3 + \left(20 - 1\right) \cdot 2$
Diecinueve veces 2 son 38: $3 + 38$
Y la figura 20 necesita: $41$
Respuesta: La figura 20 necesita 41 palillos.
La tabla de la fila de triángulos como gráfica: cada punto es una figura y sus palillos. Los puntos suben de dos en dos y quedan alineados.
Patrones que multiplican
No todas las secuencias suman lo mismo cada vez. En una secuencia que duplica, como la de una noticia que cada persona le cuenta a dos amigos, cada término es el anterior multiplicado por 2. Esas secuencias crecen muy rápido: después de pocos pasos los números se vuelven enormes. Para saber si una secuencia multiplica, divide cada término entre el anterior y mira si siempre da lo mismo.
Cuidado: pocos términos pueden seguir varias reglas
Si solo conoces dos o tres términos, puede haber más de una regla que funcione, y cada regla da un término siguiente distinto. Ninguna de las dos está mal: lo que pasa es que faltan datos. Cuando te pase, dilo, escribe las reglas que encontraste y pide más términos o la regla misma. Por eso en un problema bien planteado se da la regla o suficientes términos para que no haya dudas.
Ejemplo resuelto
Dos reglas para los mismos términos
¿Qué número sigue en 1, 2, 4, …?
Ver la solución paso a paso
Primera regla: empieza en 1 y multiplica por 2 cada vez. Funciona con los tres términos: $1 \cdot 2 = 2 \quad\text{y}\quad 2 \cdot 2 = 4$
Con esa regla, el término siguiente es: $4 \cdot 2 = 8$
Segunda regla: empieza en 1, suma 1, después suma 2, después suma 3, y así. También funciona con los tres términos: $1 + 1 = 2 \quad\text{y}\quad 2 + 2 = 4$
Con esa regla, el término siguiente es: $4 + 3 = 7$
Las dos reglas explican el 1, el 2 y el 4, pero dan términos siguientes distintos. Con solo tres términos no se puede decidir: hace falta la regla o un término más. Si el siguiente fuera 8, la primera regla sigue en pie; si fuera 7, la segunda.
Respuesta: Depende de la regla: con «multiplica por 2» sigue el 8; con «suma 1, luego 2, luego 3…» sigue el 7.
Práctica
¿Qué número sigue en la secuencia 4, 9, 14, 19, …?
La regla es «empieza en 4 y suma 5 cada vez». El término siguiente es 19 + 5 = 24.
¿Cuál es el término 10.º de la secuencia 7, 11, 15, 19, …?
La regla es «empieza en 7 y suma 4». Del 1.º al 10.º hay nueve saltos de 4: 7 + 9 · 4 = 7 + 36 = 43.
¿Cuál es el término 20.º de la secuencia 2, 5, 8, 11, …?
La regla es «empieza en 2 y suma 3». Del 1.º al 20.º hay diecinueve saltos: 2 + 19 · 3 = 2 + 57 = 59. Quien cuenta veinte saltos obtiene 62, que es el 21.º.
¿Qué número sigue en la secuencia 3, 6, 12, 24, …?
Cada término es el anterior multiplicado por 2: la regla es «empieza en 3 y multiplica por 2». Sigue 24 · 2 = 48. Los otros salen de sumarle al 24 uno de los saltos que ya aparecieron: 3 (da 27), 6 (da 30) o 12 (da 36). Pero aquí los saltos no son iguales, porque cada término es el doble del anterior.
La secuencia 90, 84, 78, … resta lo mismo cada vez. ¿Cuál es su término 8.º?
La regla es «empieza en 90 y resta 6». Del 1.º al 8.º hay siete saltos: 90 − 7 · 6 = 90 − 42 = 48.
Con palillos se arma una fila de cuadrados: 1 cuadrado usa 4 palillos, 2 cuadrados usan 7 y 3 cuadrados usan 10. ¿Cuántos palillos se necesitan para 10 cuadrados?
Cada cuadrado nuevo comparte un palillo con el anterior y agrega 3. La regla: «el primero usa 4 y cada uno nuevo agrega 3». Para 10 cuadrados hay nueve saltos: 4 + 9 · 3 = 31.
¿Verdadero o falso? Mariana dice que el término 10.º de 5, 8, 11, 14, … es 30, porque «son diez saltos de 3».
Del 1.º al 10.º hay nueve saltos, no diez, y además hay que partir del primer término: 5 + 9 · 3 = 32.
¿Cuál es el término 6.º de la secuencia 1, 3, 9, 27, …?
Cada término es el anterior por 3. El 5.º es 27 · 3 = 81 y el 6.º es 81 · 3 = 243. El 81 es el 5.º, y el 729 sería el 7.º.
En una tabla de un patrón, en la posición 1 está el 6, en la posición 2 está el 10 y en la posición 3 está el 14. La tabla suma lo mismo cada vez. ¿Qué número va en la posición 15?
La regla es «empieza en 6 y suma 4». De la posición 1 a la 15 hay catorce saltos: 6 + 14 · 4 = 6 + 56 = 62.
¿Qué regla describe la secuencia 6, 11, 16, 21, …?
De un término al siguiente siempre se suma 5, y el primer término es 6. «Suma 5 cada vez» describe el salto, pero no dice desde dónde empieza: con esa regla también sirve 1, 6, 11…
Juan ve la secuencia 2, 4, … y dice que el término siguiente es seguro el 6. ¿Qué le responderías?
Dos términos caben en muchas reglas. «Empieza en 2 y suma 2» y «empieza en 2 y multiplica por 2» explican el 2 y el 4, y dan 6 y 8. Para decidir hace falta la regla o más términos.
Reto
Completa cada secuencia.
Toca cada hueco y elige el número. Busca primero la regla: ¿suma, resta o multiplica?
Reto
Abre el candado de los patrones.
Cada pista da una cifra del candado. Encuentra la regla antes de responder.
Cierre
En resumen
Una secuencia es una lista ordenada de términos; cada término ocupa una posición.
La regla se encuentra comparando cada término con el anterior, y se dice con palabras completas, con el término inicial y lo que se hace cada vez.
Para un término lejano se cuentan los saltos; del 1.º al 10.º hay nueve.
Una tabla y una gráfica de puntos ayudan a ver el patrón y a no perder la cuenta.
Pocos términos pueden seguir varias reglas; cuando pase, hay que decirlo y pedir más datos.
Vocabulario
- Secuencia
Una lista de números o de figuras puestos en un orden: primero, segundo, tercero…
- Término
Cada uno de los números o figuras de una secuencia.
- Posición
El lugar que ocupa un término en la secuencia: el 1.º, el 2.º, el 10.º…
- Regla
La instrucción que dice cómo se obtiene cada término, por ejemplo «empieza en 5 y suma 3 cada vez».
- Patrón
Lo que se repite o se mantiene en una secuencia y permite predecir los términos que siguen.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Escriba 5, 8, 11, 14 en el tablero y pida que digan el siguiente y cómo lo supieron; anote las reglas que propongan con sus palabras.
- Explicación · 20 min — El primer ejemplo, insistiendo en los nueve saltos; las figuras de palillos armadas de verdad, si hay palillos o lápices, con la tabla y la gráfica; el ejemplo de las dos reglas como discusión.
- Práctica · 15 min — Preguntas en parejas; los huecos y el candado se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante inventa una secuencia de cuatro términos, la pasa a un compañero y este escribe la regla con palabras y el término 10.º.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué del término 1.º al 10.º hay nueve saltos y no diez?
- ¿Qué secuencia crece más rápido, la que suma 10 cada vez o la que multiplica por 2? ¿Siempre?
- Con los términos 1, 2, 4, ¿quién puede proponer una tercera regla distinta de las del ejemplo?
Errores típicos
- Contar tantos saltos como la posición (diez saltos para el 10.º). Pida que escriban los cuatro primeros términos y cuenten con el dedo los saltos entre el 1.º y el 4.º.
- Multiplicar la posición por el salto sin partir del primer término (10 · 3 = 30). Pregunte qué valor tendría el 1.º término con esa cuenta y compárelo con la secuencia.
- Dar la regla incompleta («suma 3») o decidir con pocos términos que solo hay una regla. Muestre dos secuencias distintas con el mismo salto, y el ejemplo de 1, 2, 4 con sus dos reglas.
Tarea sugerida
Diseñar una secuencia de figuras con palillos, fichas o granos, dibujar las cuatro primeras, hacer la tabla de la figura 1 a la 6, escribir la regla con palabras y calcular cuántos elementos tendría la figura 20.