El plano cartesiano
Lo que vas a aprender
- Ubicar y leer puntos del plano cartesiano escritos como parejas ordenadas de enteros.
- Decir en qué cuadrante o sobre qué eje está un punto a partir de los signos de sus coordenadas.
- Calcular la distancia horizontal o vertical entre dos puntos restando sus coordenadas.
- Describir un recorrido en un mapa cuadriculado con parejas ordenadas y medir su longitud.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Piensa en cómo encuentras tu puesto en un teatro: la boleta dice la fila y el número de la silla. Con dos datos sabes exactamente dónde sentarte. En un tablero de ajedrez pasa lo mismo: cada casilla tiene una letra y un número.
El plano cartesiano es esa misma idea, pero con números en las dos direcciones. Sirve para ubicar un punto en un mapa, para decirle a un amigo por dónde caminar, para mover a un personaje en un videojuego o para dibujar una gráfica. Los mapas y los sistemas de ubicación de los celulares usan dos números para decir dónde está cada lugar.
En esta lección vas a ubicar puntos con dos números, a reconocer las cuatro regiones del plano, a medir distancias contando unidades y a describir el recorrido de una persona en un mapa de un barrio.
Antes de empezar necesitas ubicar enteros en la recta numérica y restar enteros, como $4 - (-3)$.
Explicación
Dos rectas que se cruzan
El plano cartesiano se arma con dos rectas numéricas:
- el eje x, que es horizontal. También se llama eje de las abscisas;
- el eje y, que es vertical. También se llama eje de las ordenadas.
Las dos rectas se cruzan en ángulo recto en el punto cero de cada una. Ese punto de cruce se llama origen y se escribe $O(0;\ 0)$.
En el eje x, los números positivos quedan a la derecha del origen y los negativos a la izquierda. En el eje y, los positivos quedan arriba y los negativos abajo. Es la misma recta numérica que ya conoces, una acostada y otra de pie.
La pareja ordenada
Cada punto del plano se nombra con dos números entre paréntesis, separados por punto y coma: $(x;\ y)$.
- El primer número, la abscisa, dice cuánto te mueves desde el origen en horizontal: a la derecha si es positivo, a la izquierda si es negativo.
- El segundo número, la ordenada, dice cuánto te mueves en vertical: hacia arriba si es positivo, hacia abajo si es negativo.
Una manera de recordarlo: primero caminas por el piso y después subes o bajas la escalera. El orden importa mucho. El punto $(2;\ 3)$ queda dos a la derecha y tres arriba; el punto $(3;\ 2)$ queda tres a la derecha y dos arriba. Son puntos distintos, aunque usen los mismos números. Por eso se llama pareja ordenada.
Los cuatro cuadrantes
Los dos ejes parten el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. Se numeran con números romanos, empezando arriba a la derecha y girando en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Para saber en cuál está un punto, basta mirar los signos de sus coordenadas:
| Cuadrante | Abscisa | Ordenada | Dónde queda |
|---|---|---|---|
| I | positiva | positiva | arriba a la derecha |
| II | negativa | positiva | arriba a la izquierda |
| III | negativa | negativa | abajo a la izquierda |
| IV | positiva | negativa | abajo a la derecha |
Cuidado con los puntos que tienen un cero. El punto $(0;\ -4)$ está sobre el eje y y el punto $(-3;\ 0)$ está sobre el eje x. Los puntos que están sobre un eje no pertenecen a ningún cuadrante.
P(2; 3) y Q(3; 2) usan los mismos números, pero son puntos distintos. R está en el cuadrante II, S en el III y T en el IV.
Ejemplo resuelto
Leer un punto y su cuadrante
En la figura, el punto R está 4 unidades a la izquierda del origen y 1 unidad hacia arriba. ¿Cuáles son sus coordenadas y en qué cuadrante está?
Ver la solución paso a paso
Hacia la izquierda es negativo, así que la abscisa es $-4$. Hacia arriba es positivo, así que la ordenada es $1$. Primero va la abscisa: $\left(-4;\ 1\right)$
Miramos los signos: $-4 \text{ es negativo} \quad\text{y}\quad 1 \text{ es positivo}$. Abscisa negativa y ordenada positiva son los signos del cuadrante II.
Respuesta: $\left(-4;\ 1\right)$
Distancias horizontales y verticales
Cuando dos puntos tienen la misma ordenada, están a la misma altura y los une un segmento horizontal. Su distancia es lo que hay de una abscisa a la otra: la abscisa mayor menos la abscisa menor.
Cuando dos puntos tienen la misma abscisa, los une un segmento vertical, y su distancia es la ordenada mayor menos la ordenada menor.
También puedes contar los cuadritos, pero la resta es más rápida y no se equivoca cuando los puntos están lejos. Fíjate en lo que pasa cuando el segmento cruza un eje: para ir de $-3$ a $4$ hay que avanzar 3 unidades hasta el cero y otras 4 después del cero. La resta $4 - (-3)$ da exactamente esa suma.
Ejemplo resuelto
Medir dos segmentos
Los puntos son $A(-3;\ 2)$, $B(4;\ 2)$ y $C(4;\ -3)$. ¿Cuánto miden los segmentos AB y BC?
Ver la solución paso a paso
$A$ y $B$ tienen la misma ordenada, así que $AB$ es horizontal. Restamos las abscisas, la mayor menos la menor: $4 - \left(-3\right)$
El segmento $AB$ mide $7$ unidades.
$B$ y $C$ tienen la misma abscisa, así que $BC$ es vertical. Restamos las ordenadas: $2 - \left(-3\right)$
El segmento $BC$ mide $5$ unidades.
Respuesta: AB mide 7 unidades y BC mide 5 unidades.
Posición y trayectoria en un mapa
Un mapa cuadriculado funciona como un plano cartesiano. En el mapa inventado del barrio de Mateo, cada unidad es una cuadra y la casa de Mateo está en el origen. El parque, la biblioteca y el colegio tienen sus propias coordenadas.
La posición de un lugar se dice con su pareja ordenada. La trayectoria es el camino que se recorre, y se describe tramo por tramo: hacia dónde se mueve y cuántas cuadras. Como en el barrio solo se puede caminar por las calles, cada tramo es horizontal o vertical, y su longitud se calcula con una resta.
El recorrido de Mateo: de su casa M al parque P, de ahí a la biblioteca B y luego al colegio C.
Ejemplo resuelto
El recorrido de Mateo
Mateo sale de su casa $M(0;\ 0)$, va al parque $P(0;\ 3)$, luego a la biblioteca $B(-4;\ 3)$ y por último al colegio $C(-4;\ -2)$. Describe su trayectoria y di cuántas cuadras camina en total.
Ver la solución paso a paso
De $M$ a $P$ la abscisa no cambia: sube por el eje y. Restamos las ordenadas: $3 - 0$
Sube $3$ cuadras.
De $P$ a $B$ la ordenada no cambia: va hacia la izquierda. Restamos las abscisas: $0 - \left(-4\right)$
Camina $4$ cuadras hacia la izquierda.
De $B$ a $C$ la abscisa no cambia: baja. Restamos las ordenadas: $3 - \left(-2\right)$
Baja $5$ cuadras.
Sumamos los tres tramos: $3 + 4 + 5$
En total camina $12$ cuadras, y termina en el cuadrante III, porque las dos coordenadas del colegio son negativas.
Respuesta: Sube 3 cuadras, camina 4 hacia la izquierda y baja 5: en total, 12 cuadras.
Práctica
¿En qué cuadrante está el punto $\left(-5;\ 2\right)$? Responde con el número del cuadrante: 1, 2, 3 o 4.
La abscisa −5 es negativa (a la izquierda) y la ordenada 2 es positiva (arriba): arriba a la izquierda está el cuadrante II.
Un punto está 3 unidades a la derecha del origen y 4 unidades hacia abajo. ¿Cuáles son sus coordenadas?
Primero va el movimiento horizontal (3 a la derecha es +3) y después el vertical (4 hacia abajo es −4): (3; −4).
¿Verdadero o falso? $\left(2;\ 5\right)$ y $\left(5;\ 2\right)$ son el mismo punto, porque usan los mismos números.
(2; 5) está 2 a la derecha y 5 arriba; (5; 2) está 5 a la derecha y 2 arriba. El orden de la pareja cambia el punto.
¿Verdadero o falso? El punto $\left(-4;\ 0\right)$ está en el cuadrante III, porque sus dos coordenadas son negativas.
La ordenada es 0, que no es negativo. El punto (−4; 0) está sobre el eje x, y los puntos de los ejes no están en ningún cuadrante.
Un punto está sobre el eje y, 3 unidades por debajo del origen. ¿Cuáles son sus coordenadas?
Sobre el eje y no hay movimiento horizontal, así que la abscisa es 0. Hacia abajo es negativo: (0; −3). El punto (−3; 0) está sobre el eje x.
¿Cuántas unidades hay del punto A$\left(-6;\ 1\right)$ al punto B$\left(2;\ 1\right)$?
Tienen la misma ordenada, así que el segmento es horizontal: 2 − (−6) = 8. Hay 6 unidades hasta el eje y otras 2 después.
¿Cuántas unidades hay del punto A$\left(3;\ 4\right)$ al punto B$\left(3;\ -5\right)$?
Tienen la misma abscisa, así que el segmento es vertical: 4 − (−5) = 9.
Una hormiga sale del punto $\left(-2;\ -1\right)$, camina 5 unidades hacia la derecha y luego 4 unidades hacia arriba. ¿A qué punto llega?
Hacia la derecha, la abscisa pasa de −2 a 3; hacia arriba, la ordenada pasa de −1 a 3. Llega a (3; 3). (5; 4) son solo los pasos, no el punto de llegada.
El punto B está a la misma altura que A$\left(-2;\ 4\right)$, 6 unidades a su derecha. ¿Cuál es la abscisa de B?
A la misma altura, la ordenada no cambia. Desde −2, seis unidades a la derecha llegan a 4: B es (4; 4).
Un robot va del punto $\left(1;\ 1\right)$ al punto $\left(1;\ 6\right)$, y de ahí al punto $\left(-3;\ 6\right)$. ¿Cuántas unidades recorre en total?
El primer tramo es vertical: 6 − 1 = 5. El segundo es horizontal: 1 − (−3) = 4. En total, 5 + 4 = 9 unidades.
Un punto tiene la abscisa positiva y la ordenada negativa. ¿Dónde está?
Abscisa positiva es a la derecha y ordenada negativa es abajo: abajo a la derecha está el cuadrante IV.
Reto
Abre el candado del mapa del tesoro.
Cada pista da un dígito de la clave. Para los cuadrantes, escribe su número: 1, 2, 3 o 4.
Reto
Une cada resta con la distancia que da.
Cada ficha de la izquierda es la resta de dos abscisas o de dos ordenadas. Toca una y luego la distancia que le corresponde.
Cierre
En resumen
El plano cartesiano tiene un eje x horizontal y un eje y vertical que se cruzan en el origen (0; 0).
Un punto se escribe (x; y). Primero va la abscisa, el movimiento horizontal; después la ordenada, el vertical. (2; 3) y (3; 2) son puntos distintos.
Los signos de las coordenadas dicen el cuadrante; un punto con una coordenada cero está sobre un eje y no en un cuadrante.
La distancia entre dos puntos a la misma altura es la resta de sus abscisas; entre dos puntos en la misma vertical, la resta de sus ordenadas.
Un recorrido por calles se describe tramo por tramo, y su longitud es la suma de las longitudes de los tramos.
Vocabulario
- Plano cartesiano
Superficie con dos rectas numéricas que se cruzan en ángulo recto: el eje x, horizontal, y el eje y, vertical.
- Origen
El punto donde se cruzan los dos ejes. Sus coordenadas son (0; 0).
- Pareja ordenada
Los dos números (x; y) que ubican un punto. El primero es la abscisa y el segundo es la ordenada; el orden importa.
- Cuadrante
Cada una de las cuatro regiones en que los ejes dividen el plano. Se numeran I, II, III y IV.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pida a un estudiante que explique cómo encontrar una silla en un teatro con la boleta, y relacione la fila y el número con los dos ejes.
- Explicación · 20 min — Trace los ejes en el tablero, ubique (2; 3) y (3; 2) con dos colores y complete con el grupo la tabla de signos de los cuadrantes. Resuelva los tres ejemplos.
- Práctica · 15 min — Preguntas en parejas con papel cuadriculado; el candado y el dominó se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante dicta a un compañero las coordenadas de tres puntos para que los ubique, y comparan los dibujos.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué (2; 3) y (3; 2) no son el mismo punto, si tienen los mismos números?
- ¿En qué cuadrante está un punto que tiene la abscisa cero? ¿Por qué?
- Para ir de −3 a 4 en el eje x, ¿cuántas unidades hay? ¿Cómo se ve eso con una resta?
Errores típicos
- Escribir la pareja al revés: primero la ordenada y después la abscisa. Pida que digan en voz alta «primero horizontal, después vertical» y que señalen con el dedo el camino desde el origen antes de escribir.
- Ubicar los puntos de los ejes dentro de un cuadrante. Ubique (0; 4) y (−3; 0) en el tablero y pregunte en qué región quedan: se ve que están sobre la línea, no dentro de una región.
- Restar mal cuando el segmento cruza un eje, por ejemplo dar 1 en lugar de 7 entre −3 y 4. Que cuenten los cuadritos a cada lado del eje y comparen con la resta 4 − (−3).
Tarea sugerida
Dibujar en papel cuadriculado el mapa inventado de un barrio con su casa en el origen y cuatro lugares en cuadrantes distintos, escribir sus coordenadas y calcular cuántas cuadras camina para visitarlos todos por las calles.