Ampliar y reducir en el plano

¿Para qué sirve esto?

Cuando haces zoom a una foto en el celular, la imagen crece pero las caras no se deforman. Cuando una fotocopiadora reduce una hoja, el dibujo queda más pequeño pero con la misma forma. Un plano de una casa es una reducción de la casa real, y una maqueta es una reducción de un edificio.

Los artesanos que hacen pulseras y collares también lo usan. Dibujan un diseño pequeño en una cuadrícula y, cuando quieren una pieza más grande, lo amplían sin cambiarle la forma.

En esta lección vas a ampliar y reducir figuras en el plano cartesiano con una regla de multiplicar, vas a comprobar con cuentas que la forma no cambia y vas a ampliar el patrón de un diseño de bisutería.

Antes de empezar necesitas ubicar puntos en el plano cartesiano, calcular la fracción de una cantidad (como la mitad de 8) y calcular el perímetro de un rectángulo.

Multiplicar las coordenadas

Para ampliar o reducir una figura del plano se escoge un número, el factor de escala, y se multiplican por ese número las dos coordenadas de cada vértice. Después se unen los vértices nuevos en el mismo orden. A la imagen de $A$ se le llama $A'$ (se lee «A prima»).

• Si el factor es mayor que 1, la figura crece: es una ampliación.
• Si el factor está entre 0 y 1, como $\tfrac{1}{2}$, la figura se encoge: es una reducción.
• Si el factor es 1, la figura queda igual.

Con un factor 2, cada vértice queda al doble de distancia del origen y sobre la misma línea que lo une con el origen. Por eso la figura crece sin torcerse.

Lo que cambia y lo que se conserva

Al ampliar o reducir, todos los lados cambian en la misma razón: si el factor es 2, cada lado de la figura nueva mide el doble que el lado que le corresponde. El cociente entre un lado nuevo y el lado original siempre da el factor. Los lados horizontales y verticales se miden con una resta, como en el ejemplo de abajo; un lado inclinado, como $BC$, no se mide con una resta, pero también queda al doble, y lo puedes comprobar midiéndolo con la regla en el papel cuadriculado.

En cambio, los ángulos se conservan. En el triángulo del ejemplo, el ángulo en $A$ es recto, porque $AB$ es horizontal y $AC$ es vertical. En la ampliación, $A'B'$ sigue siendo horizontal y $A'C'$ sigue siendo vertical, así que el ángulo en $A'$ también es recto. La figura nueva tiene la misma forma con otro tamaño. Por eso se dice que las dos figuras son semejantes.

Si además tienen el mismo tamaño (factor 1), son congruentes: una se puede poner encima de la otra y coinciden.

Reducir y medir el perímetro

Para reducir se hace lo mismo con un factor menor que 1. Con el factor $\tfrac{1}{2}$, cada coordenada se reemplaza por su mitad, y cada lado queda a la mitad. Como el perímetro es la suma de los lados, el perímetro también queda a la mitad.

Cuando la figura se deforma

Hay que multiplicar las dos coordenadas por el mismo número. Si multiplicas solo las abscisas por 3, la figura se estira hacia los lados: un cuadrado de lados horizontales y verticales se vuelve un rectángulo alargado. Los lados horizontales crecen pero los verticales no, así que los lados no cambian en la misma razón y la forma ya no es la misma. Esa figura no es semejante a la original.

Patrones de bisutería

Para diseñar una pulsera, una artesana inventada, Luisa, pega las cuentas sobre una cuadrícula y anota la posición de cada una con una pareja ordenada. Su diseño en zigzag empieza así: $(1;\ 1)$, $(2;\ 2)$, $(3;\ 1)$, $(4;\ 2)$, …

Si miras las parejas, encuentras el patrón: la abscisa aumenta de 1 en 1 y la ordenada se alterna entre 1 y 2. Las cuentas que están en una abscisa impar van abajo y las que están en una abscisa par van arriba. Con ese patrón Luisa sabe dónde va cualquier cuenta sin dibujarla.

Para un collar quiere el mismo zigzag, pero más grande. Entonces amplía el diseño: multiplica por un mismo factor las coordenadas de todas las cuentas, y el zigzag conserva su forma.

En resumen

• Para ampliar o reducir una figura se multiplican las dos coordenadas de cada vértice por el mismo factor de escala.

• Un factor mayor que 1 amplía, uno entre 0 y 1 reduce, y el factor 1 deja la figura igual.

• Todos los lados cambian en la misma razón, el factor, y el perímetro también se multiplica por el factor.

• Los ángulos se conservan, así que la figura nueva es semejante a la original; si además tiene el mismo tamaño, es congruente.

• Si solo se multiplica una de las coordenadas, la figura se deforma y deja de ser semejante.

Vocabulario

Factor de escala

El número por el que se multiplican las coordenadas. Si es mayor que 1, la figura se amplía; si está entre 0 y 1, se reduce.

Ampliación

Una figura con la misma forma que la original, pero más grande.

Reducción

Una figura con la misma forma que la original, pero más pequeña.

Figuras semejantes

Figuras con la misma forma: los ángulos son iguales y los lados cambian todos en la misma razón.

Figuras congruentes

Figuras con la misma forma y el mismo tamaño.