Razones y tablas de proporcionalidad
Lo que vas a aprender
- Escribir y simplificar la razón entre dos cantidades, cuidando el orden.
- Reconocer una tabla de proporcionalidad directa porque sus cocientes son iguales, y una inversa porque sus productos son iguales.
- Completar tablas de proporcionalidad y resolver problemas con la regla de tres simple.
- Explicar por qué una tabla que crece o que decrece no siempre es de proporcionalidad.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Si un cuaderno cuesta cierta cantidad, ¿cuánto cuestan cinco? Si una receta es para cuatro personas y vienen ocho, ¿cuánta harina hay que poner? Si entre más personas se reparten el trabajo, ¿cuánto se demoran? Todos los días hacemos esas cuentas, a veces sin darnos cuenta.
Hay cantidades que crecen juntas: cuando una se duplica, la otra también, como el número de cuadernos y lo que pagas por ellos. Hay otras en las que, cuando una se duplica, la otra queda a la mitad, como el número de pintores y los días que tardan en pintar un muro. Y hay cantidades que cambian juntas pero sin ninguna de esas dos reglas.
En esta lección vas a comparar cantidades con razones, a reconocer en una tabla cuál de las tres cosas pasa, y a calcular valores que faltan con la regla de tres.
Antes de empezar necesitas simplificar fracciones y multiplicar y dividir naturales.
Explicación
La razón entre dos cantidades
Una razón compara dos cantidades dividiendo una entre la otra. Si en un salón hay 12 niñas y 18 niños, la razón de niñas a niños es $\tfrac{12}{18}$, que se lee «12 a 18». Como toda fracción, se puede simplificar.
El orden importa: la razón de niñas a niños no es la misma que la de niños a niñas. La primera cantidad que nombras va arriba.
Ejemplo resuelto
Escribir y simplificar una razón
En un salón hay 12 niñas y 18 niños. ¿Cuál es la razón de niñas a niños? ¿Y la de niños a niñas?
Ver la solución paso a paso
Las niñas van arriba y los niños abajo: $\frac{12}{18}$
Simplificamos dividiendo entre 6: $\frac{2}{3}$. Por cada 2 niñas hay 3 niños.
Al revés, los niños van arriba: $\frac{18}{12}$
Simplificada: $\frac{3}{2}$. Por cada 3 niños hay 2 niñas.
Respuesta: La razón de niñas a niños es 2/3 y la de niños a niñas es 3/2.
Proporcionalidad directa: al doble, el doble
En una papelería inventada, cada cuaderno cuesta 2500 pesos. Esta tabla muestra lo que se paga por varios cuadernos iguales:
| Cuadernos | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| Precio (pesos) | 2500 | 5000 | 7500 | 12 500 |
Si compras el doble de cuadernos, pagas el doble; si compras el triple, pagas el triple. Cuando dos cantidades se comportan así, son directamente proporcionales.
¿Cómo se reconoce en una tabla? Divide cada valor de abajo entre el de arriba. En una tabla de proporcionalidad directa, todos esos cocientes son iguales. Ese cociente que no cambia es el valor que corresponde a una unidad: aquí, el precio de un cuaderno.
Ejemplo resuelto
Reconocer y completar una tabla directa
Con la tabla de los cuadernos (1 cuaderno, 2500 pesos; 2, 5000; 3, 7500; 5, 12 500), comprueba que es de proporcionalidad directa y calcula el precio de 8 cuadernos.
Ver la solución paso a paso
Dividimos cada precio entre su número de cuadernos: $\frac{2500}{1} = 2500$
$\frac{5000}{2} = 2500$
$\frac{7500}{3} = 2500$
$\frac{12\,500}{5} = 2500$. Todos los cocientes son iguales, así que la tabla es de proporcionalidad directa.
Para 8 cuadernos multiplicamos el precio de uno por 8: $2500 \cdot 8$
Ocho cuadernos cuestan $20\,000$ pesos.
Respuesta: Es directa, porque todos los cocientes dan 2500. Ocho cuadernos cuestan 20 000 pesos.
No todo lo que crece es proporcional
Ana tiene 8 años y su hermano tiene 10. El hermano siempre tendrá 2 años más que ella. Cuando Ana cumpla 16, el doble de su edad de hoy, su hermano tendrá 18, y no 20, que sería el doble de 10. Las dos edades crecen juntas, pero no son proporcionales: la edad del hermano es la de Ana más 2, no la de Ana multiplicada por un mismo número.
Para saber si una tabla es de proporcionalidad directa no basta con que los valores crezcan. Hay que hacer los cocientes: si no dan todos lo mismo, no es proporcional.
Proporcionalidad inversa: al doble, la mitad
Unos pintores, que trabajan todos al mismo ritmo, van a pintar un muro. Entre más pintores haya, menos días tardan:
| Pintores | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| Días | 12 | 8 | 6 |
Con el doble de pintores (de 2 a 4) se tarda la mitad de los días (de 12 a 6). Cuando dos cantidades se comportan así, son inversamente proporcionales.
Aquí los cocientes no sirven. Lo que se mantiene es el producto: pintores por días da siempre lo mismo, porque es el trabajo total, contado en días de trabajo de un pintor. Cuidado: no toda tabla que decrece es de proporcionalidad inversa. Hay que comprobar que los productos sean iguales.
Y tampoco decide que los valores suban o bajen siempre lo mismo. En la tabla de los cuadernos, de 1 a 2 y de 2 a 3 el precio sube 2500 cada vez, y la tabla es directa; en una tabla que sube de 2 en 2 los cocientes pueden no ser iguales, y entonces no lo es. Lo que decide son los cocientes en la directa y los productos en la inversa.
Ejemplo resuelto
Reconocer y completar una tabla inversa
Con la tabla de los pintores (2 pintores, 12 días; 3 pintores, 8 días; 4 pintores, 6 días), comprueba que es de proporcionalidad inversa y calcula cuántos días tardan 6 pintores.
Ver la solución paso a paso
Multiplicamos pintores por días en cada columna: $2 \cdot 12 = 24$
$3 \cdot 8 = 24$
$4 \cdot 6 = 24$. Todos los productos son iguales, así que la tabla es de proporcionalidad inversa.
Con 6 pintores, el producto tiene que seguir dando 24. Dividimos: $\frac{24}{6}$
Seis pintores tardan $4$ días.
Respuesta: Es inversa, porque todos los productos dan 24. Seis pintores tardan 4 días.
Cada rectángulo tiene 24 cuadritos, como 2 pintores por 12 días. Arrastra la esquina: cuando un lado se vuelve el doble, el otro queda en la mitad. Eso es la proporcionalidad inversa.
La regla de tres simple
Cuando conoces tres valores de dos cantidades proporcionales y te falta el cuarto, puedes usar la regla de tres. Primero decide si la relación es directa o inversa: pregúntate «si una cantidad se duplica, ¿la otra se duplica o se reduce a la mitad?».
- Si es directa, puedes buscar el valor de una unidad y multiplicar, o multiplicar en cruz y dividir.
- Si es inversa, multiplica los dos valores que conoces, que dan el producto que no cambia, y divide ese producto entre el valor nuevo.
Ejemplo resuelto
Regla de tres directa de dos maneras
En una tienda inventada, 4 kg de arroz cuestan 14 000 pesos. ¿Cuánto cuestan 6 kg?
Ver la solución paso a paso
Más kilos, más precio, al mismo ritmo: es directa. Primera manera. Buscamos el precio de un kilo: $\frac{14\,000}{4}$
Un kilo cuesta $3500$ pesos.
Multiplicamos por 6: $3500 \cdot 6$
Seis kilos cuestan $21\,000$ pesos.
Segunda manera. Con la regla de tres, se multiplica en cruz y se divide entre el valor que queda: $\frac{6 \cdot 14\,000}{4}$
Da lo mismo: $21\,000$ pesos.
Respuesta: Los 6 kg de arroz cuestan 21 000 pesos.
Práctica
En una caja hay 10 lápices rojos y 15 lápices azules. ¿Cuál es la razón de lápices rojos a lápices azules?
Los rojos van arriba: 10/15 = 2/3. 3/2 es la razón de azules a rojos, 2/5 compara los rojos con el total y 5 es una resta, no una razón.
Si 3 paquetes iguales de galletas cuestan 4500 pesos, ¿cuántos pesos cuestan 7 paquetes?
Es directa. Un paquete cuesta 4500 ÷ 3 = 1500 pesos, y 7 paquetes cuestan 1500 · 7 = 10 500 pesos.
Para pagar un regalo, 6 amigos ponen 8000 pesos cada uno. Si fueran 4 amigos para el mismo regalo, ¿cuántos pesos pondría cada uno?
Es inversa: menos amigos, más pone cada uno. El regalo cuesta 6 · 8000 = 48 000 pesos, y 48 000 ÷ 4 = 12 000 pesos.
En una frutería inventada, 4 kilos de naranjas cuestan 10 000 pesos y el precio es proporcional al peso. ¿Cuántos pesos cuesta un kilo?
El valor de una unidad es el cociente: 10 000 ÷ 4 = 2500 pesos.
En una tabla de proporcionalidad directa, al 2 le corresponde el 9. ¿Qué número le corresponde al 6?
6 es el triple de 2, así que su valor es el triple de 9: 27. El 13 sale de sumarle al 9 el 4 que se le sumó al 2; en una tabla directa no se suma: se multiplica por el mismo número.
En una tabla, a los valores 1, 2, 3 y 4 les corresponden 5, 7, 9 y 11. ¿Verdadero o falso? Es una tabla de proporcionalidad directa.
Los cocientes no son iguales: 5/1 = 5, 7/2 = 3,5, 9/3 = 3 y 11/4 = 2,75. Que los valores suban de 2 en 2 no basta: 2, 4, 6 y 8 también suben de 2 en 2, y esa tabla sí es directa, porque todos sus cocientes dan 2.
En una tabla, a los valores 2, 5 y 8 les corresponden 6, 15 y 24. ¿Verdadero o falso? Es una tabla de proporcionalidad directa.
Los tres cocientes dan 3: 6/2 = 15/5 = 24/8 = 3. Cada valor de abajo es el triple del de arriba.
En una tabla, a los valores 1, 2 y 3 les corresponden 10, 8 y 6. ¿Verdadero o falso? Como los valores bajan, es una tabla de proporcionalidad inversa.
Los productos no son iguales: 1 · 10 = 10, 2 · 8 = 16 y 3 · 6 = 18. Que los valores bajen de 2 en 2 no decide nada; lo que decide son los productos. Aquí al doble (de 1 a 2) no le corresponde la mitad (5).
Ana tiene 8 años y su hermano tiene 10. ¿Verdadero o falso? Cuando Ana tenga 16 años, el doble de su edad de hoy, su hermano tendrá el doble de su edad de hoy.
El hermano siempre le lleva 2 años: tendrá 18, no 20. Su edad es la de Ana más 2, no la de Ana multiplicada por un mismo número, así que las edades no son proporcionales.
Un bus que va a 60 km por hora tarda 4 horas en un viaje. ¿Cuántas horas tardaría en el mismo viaje si fuera a 80 km por hora?
Es inversa: más rápido, menos tiempo. El viaje mide 60 · 4 = 240 km, y 240 ÷ 80 = 3 horas.
¿Cuál de estas parejas de cantidades es inversamente proporcional?
Con el doble de trabajadores, la obra tarda la mitad. Los cuadernos y el arroz son directamente proporcionales a su precio, y la edad y la estatura no son proporcionales.
Reto
Completa las dos tablas.
Primero decide si cada relación es directa o inversa; después escoge el número que falta.
Reto
Une cada razón con su forma simplificada.
Toca una razón de la izquierda y luego la fracción irreducible que vale lo mismo.
Cierre
En resumen
Una razón compara dos cantidades con un cociente, se simplifica como una fracción y el orden importa.
En la proporcionalidad directa, al doble le corresponde el doble, y todos los cocientes de la tabla son iguales.
En la proporcionalidad inversa, al doble le corresponde la mitad, y todos los productos de la tabla son iguales.
Que una tabla crezca o decrezca, o que suba o baje siempre lo mismo, no basta. Es directa si todos sus cocientes son iguales, e inversa si todos sus productos son iguales; sumarle un número fijo a cada valor, como en las edades, no es proporcional.
La regla de tres halla el valor que falta; antes hay que decidir si la relación es directa o inversa.
Vocabulario
- Razón
La comparación de dos cantidades por medio de un cociente. La razón de 2 a 3 se escribe 2/3.
- Proporcionalidad directa
Relación entre dos cantidades en la que, al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número. El cociente entre ellas es siempre el mismo.
- Proporcionalidad inversa
Relación entre dos cantidades en la que, al multiplicar una por un número, la otra queda dividida entre ese número. El producto entre ellas es siempre el mismo.
- Regla de tres simple
Procedimiento para hallar un valor desconocido cuando se conocen tres valores de dos cantidades proporcionales.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte cuánto cuestan 2, 3 y 10 cuadernos si uno cuesta 2500 pesos, y luego cuántos días tardarían 4 pintores si 2 tardan 12. Deje que noten que una cuenta multiplica y la otra divide.
- Explicación · 20 min — Razones, tabla directa con sus cocientes, el caso de las edades y la tabla inversa con sus productos; haga los cuatro ejemplos en el tablero.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas; antes de cada problema, que digan en voz alta si es directa, inversa o ninguna de las dos. Los huecos y el dominó se pueden proyectar.
- Cierre · 5 min — Cada pareja inventa una situación directa, una inversa y una que no sea proporcional, y otra pareja las clasifica.
Preguntas para el salón
- Si una tabla crece, ¿ya podemos decir que es de proporcionalidad directa? ¿Qué hay que comprobar?
- ¿Por qué en la tabla de los pintores el producto siempre da lo mismo? ¿Qué cuenta ese producto?
- ¿Es lo mismo la razón de niñas a niños que la de niños a niñas?
Errores típicos
- Creer que toda tabla que crece es de proporcionalidad directa. Muestre la tabla de las edades y pida los cocientes: al ver que no son iguales, se entiende que sumarle un número fijo a cada valor no es multiplicarlo por un número fijo.
- Usar la regla de tres directa en una situación inversa. Antes de calcular, que respondan «si se duplica una, ¿la otra se duplica o se reduce a la mitad?» y que revisen si el resultado tiene sentido (más pintores no pueden tardar más días).
- Invertir el orden de la razón. Que escriban primero las palabras («niñas a niños») y luego pongan cada número debajo de su palabra.
Tarea sugerida
Buscar en casa una receta, escribir las cantidades para 2, 4 y 6 personas en una tabla, comprobar con los cocientes que es directa, e inventar un problema de proporcionalidad inversa con su tabla y sus productos.