Gráficas de covariación
Lo que vas a aprender
- Distinguir cuándo una situación se representa con una gráfica de puntos, con una gráfica continua o con una gráfica formada por segmentos.
- Calcular el costo de una tarifa por tramos para un peso dado y leerlo en la gráfica.
- Comparar tres ofertas en una misma gráfica y decidir cuál conviene para un peso dado.
- Hallar un valor desconocido, como el peso transportado, a partir del costo.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Cuando una familia se trastea, pide precios a varias empresas de mudanzas. Cada una cobra distinto: todas tienen un precio fijo hasta cierto peso y otro valor por cada kilo de más, pero con números diferentes. ¿Cuál conviene? La respuesta cambia según cuánto pesen las cosas.
Una gráfica permite ver de un vistazo cómo cambia una cantidad cuando cambia otra: el costo según el peso, el agua de un tanque según el tiempo o el precio según el número de cuadernos. Con las tres ofertas dibujadas en el mismo plano, la más barata para cada peso es la que va más abajo.
En esta lección vas a reconocer tres clases de gráficas, a calcular costos de tarifas por tramos con datos inventados, a graficarlos y a decidir cuál oferta conviene.
Antes de empezar necesitas ubicar puntos en el plano cartesiano y hacer operaciones con naturales grandes.
Explicación
Tres clases de gráficas
Para dibujar cómo cambia una cantidad según otra, se pone la que tú escoges en el eje horizontal y la que resulta en el eje vertical. Lo que cambia es cómo se dibuja:
- Gráfica de puntos. Si en una papelería inventada cada cuaderno cuesta 2000 pesos, se pueden comprar 1, 2 o 3 cuadernos, pero no dos y medio. Por eso se dibujan puntos sueltos y no se unen: entre un punto y otro no hay nada que representar.
- Gráfica continua. Un tanque tiene 10 litros de agua y una manguera le echa 5 litros cada minuto. El tiempo pasa sin saltos: también hay agua a los dos minutos y medio. Por eso la gráfica es una línea seguida.
- Gráfica formada por segmentos. Es una gráfica continua, de trazo seguido, pero cuando la regla cambia de un tramo a otro la línea cambia de inclinación: queda armada con segmentos que se empalman. Es lo que pasa con las tarifas de las mudanzas.
La pregunta clave es: ¿tiene sentido un valor intermedio? Si sí, se une; si no, se dejan los puntos sueltos.
Gráfica de puntos: el precio de 1 a 5 cuadernos de 2000 pesos, en miles de pesos. Los puntos no se unen porque no se compran pedazos de cuaderno.
Gráfica continua: los litros del tanque según los minutos. Empieza en 10 litros y sube 5 litros por minuto.
Ejemplo resuelto
Leer las dos gráficas
¿Cuánto cuestan 4 cuadernos de 2000 pesos? ¿Cuántos litros tiene el tanque, que empieza con 10 litros y recibe 5 litros por minuto, a los 4 minutos?
Ver la solución paso a paso
Cuatro cuadernos: $2000 \cdot 4$
Cuestan $8000$ pesos; en la gráfica es el punto (4; 8), en miles de pesos.
En el tanque, a los 10 litros del comienzo se suman 5 litros por cada minuto: $10 + 5 \cdot 4$
A los 4 minutos tiene $30$ litros; en la gráfica es el punto (4; 30).
Respuesta: Los 4 cuadernos cuestan 8000 pesos, y a los 4 minutos el tanque tiene 30 litros.
La recta es el tanque: empieza con 10 litros y recibe 5 por minuto. Lee los litros a los 4 minutos. Después mueve los deslizadores: uno cambia lo que tenía al empezar y el otro, lo que recibe cada minuto.
Tres empresas de mudanzas
Una familia inventada, los Rojas, va a trastearse y pide precios a tres empresas, también inventadas. Cada una cobra por tramos:
| Empresa | Primer tramo | Después |
|---|---|---|
| A | 150 000 pesos por cualquier peso hasta 200 kg | 1000 pesos más por cada kilo por encima de 200 kg |
| B | 260 000 pesos por cualquier peso hasta 400 kg | 800 pesos más por cada kilo por encima de 400 kg |
| C | 300 000 pesos por cualquier peso hasta 300 kg | 300 pesos más por cada kilo por encima de 300 kg |
Para calcular un costo, primero miras en qué tramo está el peso. Si está en el primer tramo, el costo es el precio fijo. Si se pasa, cuentas los kilos de más (el peso menos el límite del tramo), los multiplicas por lo que cuesta cada uno y le sumas el precio fijo.
En la gráfica, cada tarifa es un segmento horizontal mientras el precio es fijo, y después un segmento que sube. Entre más cobre cada kilo de más, más empinado sube. Para un peso dado, la empresa que conviene es la que tiene la gráfica más abajo en ese peso.
Leer la gráfica de las tres ofertas
Para leer un costo en la gráfica, ubica el peso en el eje horizontal, sube en línea recta hasta tocar la tarifa y mira a qué altura quedaste en el eje vertical. Como el eje vertical está en miles de pesos, el punto $(250;\ 200)$ quiere decir que 250 kg cuestan 200 000 pesos.
Fíjate también en los lugares donde dos gráficas se cruzan. En ese peso, las dos empresas cobran lo mismo. Antes del cruce conviene una y después del cruce conviene la otra. Por eso no hay una empresa que sea la mejor siempre: depende del peso. Una buena decisión se toma con las cuentas en la mano, no por el precio fijo ni por el nombre de la empresa.
Las tres tarifas, en miles de pesos, según el peso. A es la más barata en 250 kg; C, en 600 kg. B queda más abajo que las otras en 350 kg.
Ejemplo resuelto
¿Cuál conviene para 250 kg?
Los Rojas tienen 250 kg de cosas. ¿Cuánto cobra cada empresa y cuál les conviene?
Ver la solución paso a paso
Empresa A. El peso se pasa del primer tramo: $250 > 200$
Sumamos el precio fijo y los kilos de más por 1000 pesos: $150\,000 + 1000 \cdot \left(250 - 200\right)$
A cobra $200\,000$ pesos.
Empresas B y C. El peso está dentro de su primer tramo: $250 \le 400 \quad\text{y}\quad 250 \le 300$. Cobran solo su precio fijo, 260 000 y 300 000 pesos.
Comparamos los tres costos: $200\,000 < 260\,000 < 300\,000$
Respuesta: A cobra 200 000 pesos, B cobra 260 000 y C cobra 300 000: para 250 kg conviene la empresa A.
Ejemplo resuelto
¿Y para 600 kg?
Si fueran 600 kg, ¿cuánto cobraría cada empresa y cuál conviene? ¿Cuántos pesos costaría cada kilo, en promedio, con la que conviene?
Ver la solución paso a paso
Empresa A. Hay 400 kilos por encima de 200: $150\,000 + 1000 \cdot \left(600 - 200\right)$
A cobra $550\,000$ pesos.
Empresa B. Hay 200 kilos por encima de 400: $260\,000 + 800 \cdot \left(600 - 400\right)$
B cobra $420\,000$ pesos.
Empresa C. Hay 300 kilos por encima de 300: $300\,000 + 300 \cdot \left(600 - 300\right)$
C cobra $390\,000$ pesos.
Comparamos: $390\,000 < 420\,000 < 550\,000$. Conviene C, aunque para 250 kg era la más cara.
La razón entre el costo y el peso dice cuánto sale cada kilo, en promedio: $\frac{390\,000}{600}$
Cada kilo sale, en promedio, a $650$ pesos.
Respuesta: A cobra 550 000 pesos, B 420 000 y C 390 000: conviene C, y cada kilo sale en promedio a 650 pesos.
Práctica
La empresa A cobra 150 000 pesos por cualquier peso hasta 200 kg, y 1000 pesos más por cada kilo por encima de 200 kg. ¿Cuántos pesos cobra por 350 kg?
Hay 350 − 200 = 150 kilos de más, que cuestan 150 · 1000 = 150 000 pesos. Con el precio fijo: 150 000 + 150 000 = 300 000 pesos.
La empresa B cobra 260 000 pesos por cualquier peso hasta 400 kg, y 800 pesos más por cada kilo por encima de 400 kg. ¿Cuántos pesos cobra por 350 kg?
350 kg está dentro del primer tramo, así que se paga solo el precio fijo: 260 000 pesos. No hay kilos de más.
Con las tarifas de A (150 000 pesos hasta 200 kg y 1000 pesos por kilo de más) y de B (260 000 pesos hasta 400 kg y 800 pesos por kilo de más), ¿cuántos pesos se ahorran con B en lugar de A para llevar 350 kg?
A cobra 300 000 pesos y B cobra 260 000: con B se ahorran 300 000 − 260 000 = 40 000 pesos. Para 350 kg, B es la gráfica que va más abajo.
La empresa C cobra 300 000 pesos por cualquier peso hasta 300 kg, y 300 pesos más por cada kilo por encima de 300 kg. ¿Cuántos pesos cobra por 500 kg?
Hay 500 − 300 = 200 kilos de más: 200 · 300 = 60 000 pesos. Con el precio fijo: 300 000 + 60 000 = 360 000 pesos.
Con las tarifas de la lección (A: 150 000 pesos hasta 200 kg y 1000 por kilo de más; B: 260 000 hasta 400 kg y 800 por kilo de más; C: 300 000 hasta 300 kg y 300 por kilo de más), ¿verdadero o falso? Para 700 kg, la empresa A es la más barata, porque su precio fijo es el más bajo.
Para 700 kg, A cobra 650 000 pesos, B cobra 500 000 y C cobra 420 000. El precio fijo bajo no basta: A cobra mucho por cada kilo de más y su gráfica sube muy empinada.
La empresa A cobra 150 000 pesos hasta 200 kg y 1000 pesos por cada kilo por encima de 200 kg. A una familia le cobró 230 000 pesos. ¿Cuántos kilos llevó?
Se pasó del precio fijo en 230 000 − 150 000 = 80 000 pesos, que son 80 000 ÷ 1000 = 80 kilos de más. Llevó 200 + 80 = 280 kg.
Un tanque tiene 10 litros de agua y una manguera le echa 5 litros por minuto. ¿Cuántos litros tiene a los 6 minutos?
En 6 minutos entran 5 · 6 = 30 litros, que se suman a los 10 del comienzo: 40 litros.
El tanque que empieza con 10 litros y recibe 5 litros por minuto, ¿a los cuántos minutos tiene 45 litros?
Tienen que entrar 45 − 10 = 35 litros, y a 5 litros por minuto eso tarda 35 ÷ 5 = 7 minutos.
Con la empresa B, llevar 600 kg cuesta 420 000 pesos. ¿Cuántos pesos sale cada kilo, en promedio?
La razón entre el costo y el peso es 420 000 ÷ 600 = 700 pesos por kilo. Con C salía a 650, por eso C conviene más.
Un grupo vende boletas para una rifa y anota cuánto dinero ha recogido según el número de boletas vendidas. ¿Qué gráfica conviene?
El número de boletas se cuenta: 1, 2, 3… No tiene sentido un valor intermedio, así que los puntos no se unen.
En la gráfica de la empresa B, ¿por qué el primer tramo, hasta 400 kg, es un segmento horizontal?
Un segmento horizontal quiere decir que, aunque el peso aumente, el costo se queda igual. Eso pasa mientras el peso está dentro del precio fijo.
Reto
¿Cuánto cobra cada empresa por 700 kg?
Mira en qué tramo está el peso y cuenta los kilos de más antes de escoger.
Reto
Une cada cuenta con su resultado.
Cada ficha de la izquierda es un costo por tramos, un nivel del tanque o un precio por kilo. Toca una y luego su resultado.
Cierre
En resumen
Si la cantidad del eje horizontal se cuenta y no tiene valores intermedios, la gráfica es de puntos sueltos; si puede tomar cualquier valor, es continua.
Una tarifa por tramos se grafica con una línea continua formada por segmentos, que cambia de inclinación en cada tramo; un segmento horizontal quiere decir que el costo no cambia.
Para calcular un costo por tramos, se mira en qué tramo está el peso, se cuentan los kilos de más y se suma el precio fijo.
Con varias ofertas en el mismo plano, la que conviene para un peso es la que tiene la gráfica más abajo en ese peso, y puede cambiar de un peso a otro.
Desde el costo se puede volver al peso, deshaciendo las operaciones.
Vocabulario
- Covariación
La forma en que cambia una cantidad cuando cambia otra.
- Gráfica de puntos
Gráfica con puntos sueltos. Se usa cuando la cantidad del eje horizontal se cuenta (1, 2, 3…) y no tiene valores intermedios.
- Gráfica continua
Gráfica de trazo seguido. Se usa cuando la cantidad del eje horizontal puede tomar cualquier valor, como el tiempo.
- Tarifa por tramos
Un cobro que tiene reglas distintas según el intervalo en que esté la cantidad, por ejemplo un precio fijo hasta cierto peso y otro precio por cada kilo de más.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte si alguna vez han visto a una familia pedir precios para un trasteo y qué cosas hacen que cueste más o menos.
- Explicación · 20 min — Las tres clases de gráficas con la pregunta «¿tiene sentido un valor intermedio?»; luego la tabla de las tres empresas y los dos ejemplos, con la gráfica proyectada.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Pida que antes de cada costo digan en qué tramo está el peso. Los huecos y el dominó se pueden proyectar.
- Cierre · 5 min — Que cada pareja busque en la gráfica un peso para el que convenga B y lo justifique con las tres cuentas.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué la empresa que conviene para 250 kg no es la misma que para 600 kg?
- ¿Qué quiere decir que una gráfica sea más empinada que otra en una tarifa?
- ¿Tiene sentido unir los puntos de los cuadernos? ¿Y los del tanque?
Errores típicos
- Multiplicar todo el peso por el precio de cada kilo de más, en lugar de solo los kilos por encima del límite. Pida que escriban primero «kilos de más = peso − límite» y que lo calculen aparte antes de multiplicar.
- Escoger la empresa con el precio fijo más bajo sin mirar el peso. Que comparen las tres gráficas en 250 kg y en 600 kg: la de más abajo cambia.
- Unir siempre los puntos de una gráfica. Pregunte qué significaría el punto que está entre 2 y 3 cuadernos; si no tiene sentido, los puntos van sueltos.
Tarea sugerida
Inventar las tarifas por tramos de dos empresas de domicilios según la distancia, hacer una tabla con los costos para cinco distancias, dibujar las dos gráficas en el mismo plano y escribir para qué distancias conviene cada una.