Ángulos
Lo que vas a aprender
- Estimar la medida de un ángulo comparándolo con el ángulo recto y medirlo con el transportador.
- Clasificar un ángulo como agudo, recto, obtuso o llano.
- Hallar el complemento y el suplemento de un ángulo.
- Calcular el ángulo que falta en un triángulo usando que sus tres ángulos suman 180°.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Piensa en un partido de microfútbol en el patio. Un jugador va a patear al arco. Desde donde está, traza con la vista una línea hasta cada palo. Entre esas dos líneas queda una abertura: es el ángulo de tiro. Si la abertura es grande, el balón tiene más espacio para entrar. Si el jugador está pegado a la esquina, la abertura se cierra y el gol se vuelve difícil.
Esa abertura es un ángulo. En esta lección vas a estimarlos, a medirlos y a calcularlos. Al final podrás decir, con números, desde qué posición conviene patear.
Antes de empezar necesitas recordar qué es una semirrecta: una línea que empieza en un punto y sigue sin fin en una sola dirección.
Explicación
¿Qué es un ángulo?
Un ángulo se forma con dos semirrectas que salen del mismo punto. Ese punto es el vértice y las semirrectas son los lados del ángulo. Lo que se mide no es el largo de los lados, sino cuánto se abren. Por eso un ángulo dibujado con lados cortos puede ser más grande que otro con lados largos.
Los ángulos se miden en grados (°). Una vuelta completa tiene 360°. Media vuelta tiene 180°. Un cuarto de vuelta, como la esquina de una hoja de cuaderno, tiene 90°.
Cuatro clases de ángulos
- Agudo: mide menos de 90°. Es más cerrado que la esquina de la hoja.
- Recto: mide exactamente 90°. Se marca con un cuadradito en el vértice.
- Obtuso: mide más de 90° y menos de 180°. Es más abierto que la esquina de la hoja.
- Llano: mide 180°. Sus dos lados forman una línea recta.
Las cuatro clases de ángulos: agudo, recto (con su cuadradito), obtuso y llano. El arco marca la abertura que se mide.
Primero estimar, después medir
Antes de sacar el transportador, estima. Compara el ángulo con la esquina de una hoja: ¿es más cerrado o más abierto? Si doblas la esquina por la mitad, obtienes la mitad de un recto, que sirve como otra referencia. Con esas dos referencias ya puedes decir algo como «es un poco más que medio recto».
Para medir con el transportador:
- Pon el centro del transportador justo sobre el vértice.
- Haz coincidir la línea del cero con uno de los lados.
- Lee el número por donde pasa el otro lado, en la escala que empieza en cero sobre el primer lado.
El transportador trae dos escalas, una por fuera y otra por dentro, que van en sentidos contrarios. Leer la escala equivocada es el error más común: un ángulo agudo termina anotado como obtuso. Aquí la estimación te salva. Si estimaste «agudo» y leíste un número mayor que 90, leíste la otra escala. Otras causas de error son no poner el centro justo en el vértice y usar un lado tan corto que no alcanza la escala: en ese caso, prolonga el lado con la regla.
Complementarios y suplementarios
Dos ángulos son complementarios si juntos forman un recto, es decir, si suman 90°. A cada uno se le llama el complemento del otro. Dos ángulos son suplementarios si juntos forman un llano, es decir, si suman 180°. Cada uno es el suplemento del otro.
Para hallar el complemento se resta de 90°, y para hallar el suplemento se resta de 180°.
Ejemplo resuelto
El complemento y el suplemento
Un ángulo mide 35°. ¿Cuánto miden su complemento y su suplemento?
Ver la solución paso a paso
El complemento es lo que le falta para llegar a 90°:
$$90 - 35$$
El complemento mide $55$°.
El suplemento es lo que le falta para llegar a 180°:
$$180 - 35$$
El suplemento mide $145$°.
Comprobamos sumando: el ángulo y su complemento forman un recto, $35 + 55 = 90$
y el ángulo y su suplemento forman un llano, $35 + 145 = 180$
Fíjate en que el suplemento es 90° más grande que el complemento: $145 - 55 = 90$. Pasa con todo ángulo que tenga complemento, es decir, que mida menos de 90°; un ángulo obtuso tiene suplemento, pero no complemento.
Respuesta: El complemento mide 55° y el suplemento mide 145°.
Los ángulos de un triángulo
Dibuja un triángulo en una hoja, del tamaño que quieras, y recórtalo. Rasga sus tres esquinas y pégalas una al lado de la otra, con los vértices juntos. Siempre pasa lo mismo: las tres esquinas forman un ángulo llano. Por eso, en cualquier triángulo:
$$\text{la suma de los tres ángulos} = 180°$$
Gracias a esto, si conoces dos ángulos de un triángulo, puedes calcular el tercero sin medirlo: le restas a 180° los dos que conoces.
Un triángulo ABC con un ángulo de 48° en A y uno de 67° en B. El ángulo en C se calcula en el ejemplo.
Ejemplo resuelto
El ángulo que falta
En el triángulo ABC, el ángulo en A mide 48° y el ángulo en B mide 67°. ¿Cuánto mide el ángulo en C?
Ver la solución paso a paso
Los tres ángulos suman 180°. Le restamos a 180° los dos que conocemos:
$$180 - 48 - 67$$
Primero restamos 48:
$$132 - 67$$
El ángulo en C mide $65$°.
Comprobamos que los tres suman lo que deben: $48 + 67 + 65 = 180$
Los tres ángulos son agudos. Un triángulo con sus tres ángulos agudos se llama acutángulo.
Respuesta: El ángulo en C mide 65°.
El ángulo de tiro
Volvamos al arco. El jugador y los dos palos forman un triángulo. El ángulo que está en el jugador es el ángulo de tiro. En una cancha de verdad es difícil medirlo, pero en un dibujo a escala sí se pueden medir con el transportador los ángulos de los palos, y el de tiro se calcula con la suma de 180°.
El jugador A patea de frente al arco y el jugador B, desde un costado. Las líneas van del pie de cada jugador a los dos palos.
Ejemplo resuelto
¿Desde dónde conviene patear?
En un dibujo a escala con medidas inventadas, el triángulo del jugador A tiene ángulos de 70° y 80° en los palos. El del jugador B, que está a un costado, tiene ángulos de 25° y 143° en los palos. ¿Cuál de los dos tiene el ángulo de tiro más grande?
Ver la solución paso a paso
El ángulo de tiro de A es lo que les falta a los ángulos de los palos para sumar 180°:
$$180 - 70 - 80$$
El de A mide $30$°.
Hacemos lo mismo con B:
$$180 - 25 - 143$$
El de B mide $12$°.
Comparamos los dos ángulos de tiro: $30 > 12$
El ángulo de tiro de A es más grande: desde A, el arco se ve más abierto y el balón tiene más espacio para entrar. B está tan de lado que uno de los ángulos de su triángulo, el de 143°, es obtuso.
Respuesta: A tiene el ángulo de tiro más grande: 30° contra 12° de B.
Práctica
¿Cuál es el complemento de un ángulo de 62°?
El complemento se resta de 90°: 90 − 62 = 28°. 118° es el suplemento (180 − 62), 38° es un error al restar y 152° es sumar 90 + 62.
¿Cuántos grados mide el suplemento de un ángulo de 74°?
El suplemento se resta de 180°: 180 − 74 = 106°. Comprueba: 74 + 106 = 180.
Un triángulo tiene un ángulo de 90° y otro de 35°. ¿Cuántos grados mide el tercero?
Los tres suman 180°: 180 − 90 − 35 = 55°. En un triángulo rectángulo, los dos ángulos agudos son complementarios.
Los tres ángulos de un triángulo equilátero son iguales. ¿Cuántos grados mide cada uno?
Los tres suman 180° y son iguales, así que cada uno es 180 ÷ 3 = 60°.
Mateo dice que 100°, 50° y 40° pueden ser los ángulos de un triángulo. ¿Es verdad que $100 + 50 + 40 = 180$?
100 + 50 + 40 = 190, que se pasa de 180. Con esos tres ángulos no se puede cerrar un triángulo.
El suplemento de un ángulo de 40° es obtuso. ¿Es verdad que $180 - 40 > 90$?
180 − 40 = 140°, que es mayor que 90° y menor que 180°: es obtuso. El suplemento de un ángulo agudo siempre es obtuso.
Pones el centro del transportador en el vértice y un lado sobre el 0 de la escala de afuera. El otro lado pasa por el 40 de esa escala y por el 140 de la de adentro. A simple vista, el ángulo es más cerrado que la esquina de una hoja. ¿Cuánto mide?
Se lee la escala que empieza en 0 sobre el primer lado, la de afuera: 40°. Además, el ángulo se ve agudo, y 140° sería obtuso. Las dos lecturas suman 180 porque las escalas van en sentidos contrarios: 180 − 140 = 40.
En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos mide 27°. ¿Cuántos grados mide el otro ángulo agudo?
El ángulo recto mide 90°, así que 180 − 90 − 27 = 63°. También sale como el complemento de 27°: 90 − 27 = 63°.
En un dibujo a escala con medidas inventadas, el triángulo de un jugador y los dos palos del arco tiene ángulos de 72° y 81° en los palos. ¿Cuántos grados mide el ángulo de tiro del jugador?
El ángulo de tiro es el tercer ángulo del triángulo: 180 − 72 − 81 = 27°.
La esfera de un reloj está partida en doce horas iguales, y la vuelta completa mide 360°. ¿Cuántos grados forman las dos agujas a las dos en punto?
Cada hora de la esfera abarca 360 ÷ 12 = 30°. A las dos en punto hay dos horas entre las agujas: 2 · 30 = 60°. Es una buena referencia para estimar: a las tres en punto las agujas forman un recto.
Un ángulo es más abierto que la esquina de una hoja, pero sus lados no llegan a formar una línea recta. ¿Qué clase de ángulo es?
La esquina de la hoja es un recto (90°) y la línea recta es un llano (180°). Un ángulo entre los dos es obtuso.
Reto
Abre el candado con ángulos.
Cada pista da una cifra del código. Escribe solo el número de grados, sin el símbolo.
Reto
¿Qué cuenta no da cero?
En la primera ronda cada tarjeta le resta a 90° una pareja de ángulos; en la segunda, se los resta a 180°; en la tercera, le resta a 180° los tres ángulos de un supuesto triángulo. Toca la tarjeta que no da cero: es la pareja que no es complementaria, la que no es suplementaria o el triángulo que no existe.
Reto
El crucigrama de los ángulos.
Lee cada pista y escribe la palabra, sin tildes.
Cierre
En resumen
Un ángulo es la abertura entre dos semirrectas que salen del vértice; se mide en grados, y no depende del largo de sus lados.
Un ángulo agudo mide menos de 90°, uno recto 90°, uno obtuso entre 90° y 180°, y uno llano 180°.
Antes de medir con el transportador conviene estimar; la estimación ayuda a descubrir si se leyó la escala equivocada.
Dos ángulos complementarios suman 90° y dos suplementarios suman 180°.
Los tres ángulos de cualquier triángulo suman 180°, y con eso se calcula el ángulo que falta.
Vocabulario
- Ángulo
La abertura entre dos semirrectas que salen de un mismo punto, el vértice. Se mide en grados (°).
- Transportador
Instrumento con forma de media luna, marcado de 0° a 180°, que sirve para medir y dibujar ángulos.
- Ángulos complementarios
Dos ángulos que juntos suman 90°.
- Ángulos suplementarios
Dos ángulos que juntos suman 180°.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Pregunte desde qué lugar del patio es más fácil meter un gol y por qué. Deje que lo expliquen con las manos abriendo y cerrando los brazos.
- Explicación · 15 min — Clases de ángulos con la esquina de una hoja como referencia; uso del transportador en el tablero; complemento, suplemento y la suma de 180° con el triángulo recortado.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas. Pida que estimen cada ángulo antes de medirlo y que anoten las dos cifras. El candado y el intruso se pueden proyectar y resolver en grupo.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante dibuja un triángulo, mide dos ángulos y calcula el tercero; luego lo mide para comprobar.
Preguntas para el salón
- Si alargo los lados de un ángulo, ¿el ángulo crece? ¿Por qué no?
- ¿Puede un triángulo tener dos ángulos obtusos? ¿Y dos rectos?
- ¿Por qué el suplemento de un ángulo agudo siempre es obtuso?
Errores típicos
- Leer la escala equivocada del transportador y anotar 140° para un ángulo agudo. Exija que escriban la estimación antes de medir y que comparen: si no cuadran, que revisen qué escala empieza en cero sobre el primer lado.
- Creer que el ángulo es más grande porque sus lados son más largos. Dibuje dos ángulos iguales, uno con lados cortos y otro con lados largos, y pídales que los midan.
- Confundir complementario con suplementario. Asocie «complementario» con la esquina (90°) y «suplementario» con la línea recta (180°), dibujando las dos referencias en el tablero.
- Restar solo uno de los ángulos conocidos al buscar el tercero de un triángulo. Pida que siempre comprueben sumando los tres ángulos y viendo si dan 180°.
Tarea sugerida
Dibujar tres triángulos distintos, medir sus tres ángulos con el transportador y sumar. Si alguna suma no da exactamente 180°, escribir qué errores de medición pudieron cometer.