Perímetro y área de polígonos

¿Para qué sirve esto?

El salón va a sembrar una huerta en un rincón del colegio. Para encerrarla con una malla hay que saber cuánto mide el borde. Para saber cuánto abono comprar hay que saber cuánto mide la superficie. El borde es el perímetro y la superficie es el área. Son dos preguntas distintas sobre la misma huerta.

En esta lección vas a calcular perímetros y áreas de rectángulos, triángulos, paralelogramos y trapecios, y de figuras armadas con varias de ellas.

Antes de empezar necesitas recordar qué es un ángulo recto y cómo se multiplica y se divide con naturales.

Los elementos de un polígono

Un polígono es una figura plana y cerrada hecha con segmentos. Cada segmento es un lado. Donde se juntan dos lados hay un vértice, y ahí se forma un ángulo interior. Un segmento que une dos vértices que no son vecinos es una diagonal. Los polígonos se nombran por su número de lados: triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono… Un polígono es regular si todos sus lados y todos sus ángulos son iguales.

Los vértices se nombran con letras mayúsculas, y un lado se nombra con las letras de sus dos extremos: el lado AB va del vértice A al vértice B.

Perímetro y área

El perímetro se halla sumando las longitudes de todos los lados. Se mide en unidades de longitud: cm, m.

El área cuenta cuántos cuadrados de una unidad caben dentro. Se mide en unidades cuadradas: cm², m². En un rectángulo de base $b$ y altura $h$ caben $h$ filas de $b$ cuadrados, así que su área es $b \cdot h$. Un cuadrado de lado $l$ tiene área $l \cdot l$.

El triángulo: base por altura, entre dos

Si trazas una diagonal en un rectángulo, quedan dos triángulos iguales. Cada uno tiene la mitad del área. Lo mismo pasa con cualquier triángulo: con dos copias iguales se arma un paralelogramo. Por eso:

$$A_{\text{triángulo}} = \frac{b \cdot h}{2}$$

Aquí está el error más común. La altura no es un lado inclinado: es el segmento que va desde el vértice opuesto hasta la base, formando un ángulo recto con ella. En la figura, la altura es el segmento punteado CH. Los lados inclinados sirven para el perímetro, no para el área.

A veces el pie de la altura cae por fuera del triángulo. Pasa en los triángulos que tienen un ángulo obtuso, cuando la base es uno de los lados que forman ese ángulo: hay que prolongar la base con una línea punteada para que la altura llegue a ella formando el ángulo recto. La base sigue midiendo lo mismo; la prolongación solo sirve para trazar la altura.

Paralelogramo y trapecio

Un paralelogramo tiene dos pares de lados paralelos. Si le cortas el triángulo de un extremo y lo pegas en el otro, se vuelve un rectángulo con la misma base y la misma altura. Por eso su área también es $b \cdot h$, con la altura perpendicular, como DH en la figura.

Un trapecio tiene solo un par de lados paralelos, que son sus dos bases: la mayor $B$ y la menor $b$. Con dos copias del trapecio, una de ellas puesta al revés, se arma un paralelogramo cuya base es $B + b$. El trapecio es la mitad:

$$A_{\text{trapecio}} = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$$

Figuras compuestas

Muchas figuras se pueden partir en rectángulos y triángulos. El área de la figura es la suma de las áreas de las piezas. El perímetro, en cambio, se halla recorriendo solo el borde de afuera: las líneas de corte que trazaste por dentro no cuentan.

Figuras congruentes

Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño: sus lados y sus ángulos miden lo mismo, y al poner una encima de la otra coinciden. Dos figuras congruentes tienen el mismo perímetro y la misma área. Al revés no funciona: dos figuras pueden tener la misma área sin ser congruentes.

Si dos figuras tienen la misma forma pero no el mismo tamaño, como un dibujo y su ampliación, no son congruentes: son semejantes. Las viste en la lección de ampliar y reducir en el plano: sus ángulos son iguales y sus lados cambian todos en la misma razón.

Estimar antes de calcular te ayuda a detectar errores. Si la figura cabe en un rectángulo, su área no puede ser mayor que la de ese rectángulo.

En resumen

• El perímetro es la suma de los lados y se mide en cm o m; el área es la superficie y se mide en cm² o m².

• Rectángulo: b · h. Cuadrado: l · l. Paralelogramo: b · h. Triángulo: b · h / 2. Trapecio: (B + b) · h / 2.

• La altura siempre es perpendicular a la base; el lado inclinado sirve para el perímetro, no para el área.

• El área de una figura compuesta es la suma de sus piezas; su perímetro se halla recorriendo solo el borde de afuera.

• Dos figuras congruentes tienen igual forma y tamaño; tener la misma área no las hace congruentes.

Vocabulario

Polígono

Figura plana cerrada formada por segmentos de recta, que son sus lados.

Perímetro

La longitud del borde de una figura: la suma de las longitudes de sus lados.

Área

La medida de la superficie que encierra una figura: cuántos cuadrados de una unidad caben dentro.

Altura

La distancia perpendicular entre una base y el vértice o el lado opuesto. Forma un ángulo recto con la base.

Figuras congruentes

Figuras que tienen la misma forma y el mismo tamaño: una se puede poner encima de la otra y coinciden.