Cuerpos geométricos y sus plantillas

¿Para qué sirve esto?

Mira a tu alrededor: la caja del jugo, el tarro de las galletas, el gorro de un cumpleaños. Cada empaque es un cuerpo geométrico, y casi todos empezaron siendo una lámina plana de cartón que alguien recortó y dobló. Esa lámina es la plantilla del cuerpo.

En esta lección vas a reconocer los cuerpos más comunes, a contar sus partes, a escoger la plantilla que arma cada uno y a calcular cuánto papel se necesita para forrar una caja.

Antes de empezar necesitas recordar los nombres de los polígonos y cómo se calcula el área de un rectángulo.

Poliedros y cuerpos redondos

Un poliedro es un cuerpo cuyas caras son todas polígonos planos. Tiene tres clases de elementos:

• Caras: los polígonos que lo encierran.
• Aristas: los segmentos donde se juntan dos caras.
• Vértices: las puntas donde se juntan varias aristas.

Hay dos familias de poliedros que vas a ver todo el tiempo:

• Un prisma tiene dos bases iguales y paralelas, unidas por caras laterales que son paralelogramos. En los prismas rectos, como la caja, son rectángulos, y en esta lección todos los prismas son rectos. Se nombra por su base: prisma de base triangular, cuadrada, pentagonal… La caja de zapatos es un prisma de base rectangular, también llamado ortoedro, y el dado es un cubo.
• Una pirámide tiene una base y caras laterales que son triángulos. Todos esos triángulos se juntan en un vértice de arriba, la cúspide.

El cilindro y el cono no son poliedros, porque tienen una superficie curva: ruedan si los acuestas. Por eso se llaman cuerpos redondos. El cilindro tiene dos bases que son círculos y el cono tiene una sola.

Contar sin perderse

Contar las aristas de un cuerpo dibujado es fácil de enredar. Ayuda pensar en cómo está hecho. Si la base de un prisma tiene $n$ lados:

• tiene $n$ caras laterales más las dos bases;
• cada base aporta $n$ vértices, y son dos bases;
• tiene $n$ aristas en cada base y $n$ aristas laterales que las unen.

En una pirámide de base de $n$ lados hay $n$ triángulos más la base, $n$ vértices en la base más la cúspide, y $n$ aristas en la base más $n$ que suben a la cúspide.

La relación de Euler

Hay una regla que sirve para revisar los conteos. Si a un poliedro convexo, sin partes hundidas ni huecos que lo atraviesen, como los prismas y las pirámides de esta lección, le sumas las caras ($C$) y los vértices ($V$) y le restas las aristas ($A$), siempre da 2:

$$C + V - A = 2$$

Si tu cuenta no da 2 en uno de esos poliedros, te equivocaste contando. Ojo: la regla no sirve para todos. En un poliedro con un hueco que lo atraviesa, como un marco de cuadro de madera, la cuenta no da 2. Y el cilindro y el cono no son poliedros: no tienen aristas ni vértices como los de un poliedro, porque su superficie es curva, así que con ellos no se usa.

Las plantillas

Para escoger la plantilla de un cuerpo, mira sus caras: la plantilla tiene exactamente esas caras, unidas por los bordes que serán aristas.

• La de un cubo tiene seis cuadrados iguales.
• La de una caja tiene seis rectángulos que van en parejas iguales: arriba y abajo, frente y fondo, izquierda y derecha.
• La de una pirámide tiene la base y un triángulo pegado a cada lado de la base.
• La de un cilindro tiene dos círculos y un rectángulo que se enrolla entre ellos.
• La de un cono tiene un círculo y una pieza curva en forma de abanico.

Hay varias plantillas distintas para un mismo cubo. Pero no cualquier arreglo de seis cuadrados sirve: si al doblar dos caras quedan una encima de la otra, falta una cara en otro lado y el cubo no cierra.

Construir la plantilla con regla y compás

Para que la caja cierre, los ángulos tienen que ser rectos y los lados que se pegan tienen que medir lo mismo. El compás ayuda en las dos cosas:

1. Traza una recta larga con la regla. Abre el compás con la medida de la arista y traslada esa medida varias veces sobre la recta, sin volver a medir.
2. Para levantar una perpendicular en un punto, marca con el compás dos puntos a la misma distancia, uno a cada lado. Abre el compás un poco más y, sin cambiar esa abertura, traza un arco desde cada uno de los dos puntos; la recta que une el punto con el cruce de los arcos forma un ángulo recto.
3. Copia cada medida con el compás y cierra los rectángulos. Al final, agrega pestañas pequeñas para pegar.

Papel para forrar una caja

Para forrar una caja hay que cubrir sus seis caras, y la plantilla muestra que son tres parejas de rectángulos iguales. Si la caja mide largo $l$, ancho $a$ y alto $h$:

$$\text{papel} = 2 \cdot l \cdot a + 2 \cdot l \cdot h + 2 \cdot a \cdot h$$

En resumen

• Un poliedro tiene caras planas, aristas y vértices; el prisma tiene dos bases y la pirámide una base y una cúspide.

• El cilindro y el cono son cuerpos redondos, no poliedros, porque tienen una superficie curva.

• En todo poliedro convexo, sin huecos, como los prismas y las pirámides de esta lección, se cumple la relación de Euler, C + V − A = 2, que sirve para revisar los conteos.

• La plantilla de un cuerpo tiene exactamente sus caras; la de una caja son tres parejas de rectángulos iguales.

• El papel para forrar una caja es la suma de las áreas de sus seis caras.

Vocabulario

Poliedro

Cuerpo geométrico cerrado cuyas caras son todas polígonos planos.

Arista

Segmento donde se juntan dos caras de un poliedro.

Vértice

Punto donde se juntan tres o más aristas de un poliedro.

Plantilla

Figura plana que, al doblarla por las líneas indicadas, arma un cuerpo geométrico. También se llama desarrollo plano.

Ortoedro

Prisma cuyas seis caras son rectángulos, como una caja de zapatos. El cubo es un ortoedro con todas las caras cuadradas.