Volumen del cubo y la caja
Lo que vas a aprender
- Explicar el volumen como la cantidad de cubitos de una unidad que caben en un cuerpo.
- Calcular el volumen de un cubo y de una caja (ortoedro) con largo · ancho · alto.
- Convertir entre centímetros cúbicos y metros cúbicos.
- Estimar el volumen de un empaque redondeando sus medidas y comparar el resultado con un dato dado.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Cuando se llena un camión con cajas, cuando se compra arena para una obra o cuando se escoge el empaque de un jugo, la pregunta es la misma: ¿cuánto cabe? El borde de una figura se mide con el perímetro y su superficie con el área. El espacio que ocupa un cuerpo se mide con el volumen.
En esta lección vas a medir volúmenes contando cubitos, vas a descubrir por qué el volumen de una caja es largo por ancho por alto y vas a usarlo para revisar un empaque.
Antes de empezar necesitas recordar cómo se multiplican tres naturales y qué es un cubo y un ortoedro.
Explicación
Medir con cubitos
Para medir una longitud usamos un segmento de unidad, y para medir un área, un cuadrado de unidad. Para medir un volumen usamos un cubo de unidad. Si el cubito tiene 1 cm de arista, su volumen es un centímetro cúbico, 1 cm³. Un dado pequeño mide más o menos eso. Si el cubo tiene 1 m de arista, su volumen es un metro cúbico, 1 m³: es un cajón en el que cabe acurrucado un niño de tu edad.
Medir el volumen de una caja es contar cuántos cubitos caben dentro, sin dejar huecos y sin montar uno sobre otro a medias.
Una caja llena de cubitos de 1 cm de arista: cuatro a lo largo, tres a lo ancho y dos capas de alto.
Por capas: largo · ancho · alto
No hace falta contar los cubitos uno por uno. Mira la capa de abajo: tiene tantas filas como el ancho y tantos cubitos en cada fila como el largo. Así que en una capa caben largo · ancho cubitos. Luego se cuentan las capas, que son tantas como el alto. Por eso:
$$V_{\text{caja}} = \text{largo} \cdot \text{ancho} \cdot \text{alto}$$
Un cubo es una caja con las tres medidas iguales. Si su arista mide $a$:
$$V_{\text{cubo}} = a \cdot a \cdot a = a^3$$
De ahí viene que $a^3$ se lea «$a$ al cubo». Las tres medidas tienen que estar en la misma unidad. Si están en cm, el volumen sale en cm³; si están en m, sale en m³.
Volumen no es área
El área de una caja y su volumen responden preguntas distintas. El área de sus caras dice cuánto cartón o cuánto papel hace falta para hacerla o forrarla: se cuenta en cuadrados, cm². El volumen dice cuánto cabe adentro: se cuenta en cubitos, cm³. Por eso un volumen nunca se escribe en cm², y un área nunca en cm³.
Tampoco van siempre juntos. Dos cajas pueden tener el mismo volumen y necesitar distinta cantidad de cartón. Con los mismos cubitos se pueden armar una caja larga y delgada o una más parecida a un cubo: caben las mismas cosas, pero la forma cambia y con ella el cartón.
Ejemplo resuelto
Contar los cubitos de la figura
En la caja de la figura caben 4 cubitos a lo largo, 3 a lo ancho y 2 capas de alto. Cada cubito tiene 1 cm de arista. ¿Cuál es su volumen?
Ver la solución paso a paso
La capa de abajo tiene 3 filas de 4 cubitos:
$$4 \cdot 3$$
Cada capa tiene $12$ cubitos.
Hay 2 capas iguales:
$$12 \cdot 2$$
En total caben $24$ cubitos.
Es lo mismo que multiplicar las tres medidas de una vez: $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$
Respuesta: Caben 24 cubitos, así que el volumen es de 24 cm³.
Llena la caja capa por capa: 4 de largo, 3 de ancho y 2 de alto. Después pon las medidas del salón, 8, 6 y 3, y mira cuántos cubos caben en cada capa y en todo.
Ejemplo resuelto
El aire de un salón
Un salón de clase inventado mide 8 m de largo, 6 m de ancho y 3 m de alto. ¿Cuántos metros cúbicos de aire tiene?
Ver la solución paso a paso
El salón es un ortoedro. En el piso caben, en una capa:
$$8 \cdot 6$$
Son $48$ cubos de un metro de arista en cada capa.
Y hay tres capas, porque el alto es de 3 m:
$$48 \cdot 3$$
El salón tiene $144$ m³ de aire.
Respuesta: El salón tiene 144 m³ de aire.
De metros cúbicos a centímetros cúbicos
Un metro tiene 100 centímetros. Uno podría pensar que un metro cúbico tiene 100 centímetros cúbicos, pero no es así. Imagina el cubo de un metro lleno de cubitos de un centímetro: a lo largo caben 100, a lo ancho caben 100 y hay 100 capas.
Ejemplo resuelto
¿Cuántos centímetros cúbicos tiene un metro cúbico?
Halla cuántos cm³ hay en 1 m³, y úsalo para pasar 2 m³ a cm³ y 350 000 cm³ a m³.
Ver la solución paso a paso
Una capa del cubo de un metro tiene 100 filas de 100 cubitos, y hay 100 capas:
$$100 \cdot 100 \cdot 100$$
En 1 m³ caben $1\,000\,000$ cm³: un millón.
Para pasar de m³ a cm³ se multiplica por un millón:
$$2 \cdot 1\,000\,000$$
Son $2\,000\,000$ cm³.
Para pasar de cm³ a m³ se divide entre un millón:
$$\frac{350\,000}{1\,000\,000}$$
Son $0{,}35$ m³, algo más de la tercera parte de un metro cúbico.
Respuesta: 1 m³ = 1 000 000 cm³; 2 m³ son 2 000 000 cm³ y 350 000 cm³ son 0,35 m³.
Estimar y revisar un empaque
Antes de multiplicar, estima: redondea cada medida a un número cómodo y multiplica de cabeza. Así sabes más o menos qué resultado esperar, y si la cuenta exacta se aleja mucho, te equivocaste en algo.
La estimación también sirve para revisar lo que dice un empaque. El volumen que calculas con las medidas de afuera es el de la caja completa. Lo que trae adentro puede ser menos, porque el cartón tiene grosor y casi siempre queda un poco de aire.
Ejemplo resuelto
La caja de jugo
Una caja de jugo mide por fuera 6 cm de largo, 4 cm de ancho y 10 cm de alto (medidas inventadas). Su etiqueta, también inventada, dice que trae 200 cm³ de jugo. ¿Cuál es el volumen de la caja y cuánto espacio no ocupa el jugo?
Ver la solución paso a paso
El volumen de la caja es largo por ancho por alto:
$$6 \cdot 4 \cdot 10$$
La caja tiene $240$ cm³.
Comparamos con la etiqueta: la caja es más grande que el jugo que trae, $240 > 200$
La diferencia es el espacio que ocupan el cartón y el aire:
$$240 - 200$$
Son $40$ cm³. Que la caja sea un poco más grande que lo que dice la etiqueta es razonable; si fuera más pequeña, el dato de la etiqueta no cuadraría.
Respuesta: La caja tiene 240 cm³; el jugo no ocupa 40 cm³, que son el cartón y el aire.
Práctica
Una caja se llena con cubitos de 1 cm de arista: 5 en cada fila, 3 filas en cada capa y 4 capas. ¿Cuál es su volumen, en cm³?
Cada capa tiene 5 · 3 = 15 cubitos, y hay 4 capas: 15 · 4 = 60 cm³.
Una caja de lápices mide 12 cm de largo, 5 cm de ancho y 3 cm de alto. ¿Cuál es su volumen, en cm³?
V = 12 · 5 · 3 = 60 · 3 = 180 cm³.
Un cubo tiene aristas de 4 cm. ¿Cuál es su volumen, en cm³?
V = 4 · 4 · 4 = 64 cm³. Si te dio 12, sumaste las tres medidas en vez de multiplicarlas; si te dio 16, calculaste el área de una cara.
¿Cuántos centímetros cúbicos son 3 m³?
1 m³ = 100 · 100 · 100 = 1 000 000 cm³, así que 3 m³ = 3 000 000 cm³. 300 sale de multiplicar por 100, como en las longitudes, y 30 000, de multiplicar por 100 · 100, como en las áreas.
¿Cuántos metros cúbicos son 500 000 cm³? Escribe el número con coma decimal.
Se divide entre un millón: 500 000 ÷ 1 000 000 = 0,5 m³, medio metro cúbico.
Juan dice que en un metro cúbico caben 100 cubitos de 1 cm de arista, porque un metro tiene 100 cm. ¿Es verdad que $100 \cdot 100 \cdot 100 = 100$?
En el cubo de un metro caben 100 cubitos a lo largo, 100 a lo ancho y 100 capas: 100 · 100 · 100 = 1 000 000. Juan solamente contó una fila.
Una caja de cereal inventada mide 19 cm por 11 cm por 29 cm. Si redondeas cada medida a la decena más cercana, ¿cuál es la mejor estimación de su volumen, en cm³?
Redondeando, 20 · 10 · 30 = 6000 cm³. Las otras opciones tienen ceros de más o de menos: una caja de cereal no cabe en la mano (60 o 600) ni es del tamaño de una maleta (60 000).
¿Cuál es el volumen exacto, en cm³, de la misma caja de 19 cm por 11 cm por 29 cm?
19 · 11 = 209 y 209 · 29 = 6061 cm³. Queda muy cerca de la estimación de 6000 cm³, así que el resultado es razonable.
Una caja tiene 240 cm³ de volumen y su fondo es un rectángulo de 8 cm por 6 cm. ¿Cuántos centímetros mide de alto?
En cada capa caben 8 · 6 = 48 cubitos. Para llegar a 240 hacen falta 240 ÷ 48 = 5 capas: la caja mide 5 cm de alto.
¿Cuántos cubos de 2 cm de arista caben en una caja de 10 cm de largo, 6 cm de ancho y 4 cm de alto?
A lo largo caben 10 ÷ 2 = 5, a lo ancho 6 ÷ 2 = 3 y de alto 4 ÷ 2 = 2: 5 · 3 · 2 = 30 cubos.
Una caja mide 4 cm por 3 cm por 2 cm y otra mide 6 cm por 2 cm por 2 cm. ¿Es verdad que tienen el mismo volumen, $4 \cdot 3 \cdot 2 = 6 \cdot 2 \cdot 2$?
Las dos tienen 24 cm³, aunque su forma es distinta. Con los mismos 24 cubitos se pueden armar cajas diferentes.
Lucía calculó que una caja de galletas tiene más volumen que lo que dice la etiqueta de su contenido. ¿Qué es lo más razonable?
El volumen con las medidas de afuera incluye el cartón y el aire. Lo raro sería lo contrario: que la caja tuviera menos volumen que lo que dice traer.
Reto
Abre el candado con volúmenes.
Cada pista da una cifra del código. Escribe solo el número, sin la unidad.
Reto
¿Qué caja tiene otro volumen?
Cada tarjeta es la cuenta del volumen de una caja. En cada ronda, tres cajas tienen el mismo volumen y una no: toca esa.
Reto
Busca las palabras del volumen.
Encuentra en la sopa las seis palabras, sin tildes.
Cierre
En resumen
El volumen mide el espacio que ocupa un cuerpo y se cuenta en cubitos de unidad, como el cm³ o el m³.
En una caja, cada capa tiene largo · ancho cubitos y hay tantas capas como el alto; por eso V = largo · ancho · alto.
El volumen de un cubo de arista a es a · a · a.
1 m³ = 100 · 100 · 100 cm³ = 1 000 000 cm³.
Estimar con medidas redondeadas permite saber qué resultado esperar y revisar el dato de un empaque.
Vocabulario
- Volumen
La medida del espacio que ocupa un cuerpo: cuántos cubitos de una unidad caben en él.
- Centímetro cúbico
El volumen de un cubito de 1 cm de arista. Se escribe cm³.
- Metro cúbico
El volumen de un cubo de 1 m de arista. Se escribe m³.
- Capa
Cada piso de cubitos que llena el fondo de una caja; todas las capas tienen los mismos cubitos.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Muestre dos cajas de forma distinta y pregunte en cuál cabe más. Deje que propongan cómo averiguarlo.
- Explicación · 15 min — Llene una caja con cubos de madera o de papel por capas; deduzca largo · ancho · alto. Arme con doce varillas de un metro (o con 12 m de pita) las doce aristas de un metro cúbico para que vean su tamaño.
- Práctica · 20 min — Preguntas en parejas, exigiendo la unidad. Que midan con regla un empaque real, estimen su volumen y luego lo calculen.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante explica con sus palabras por qué un metro cúbico no son cien centímetros cúbicos.
Preguntas para el salón
- ¿Pueden dos cajas de forma distinta tener el mismo volumen? Den un ejemplo con cubitos.
- Si una caja tiene una medida en metros y otra en centímetros, ¿qué hay que hacer antes de multiplicar?
- ¿Por qué una caja tiene más volumen que lo que dice traer su etiqueta?
Errores típicos
- Sumar las tres medidas en vez de multiplicarlas. Vuelva a la caja de cubitos y cuente por capas: una capa de 4 por 3 ya tiene 12 cubitos, más que 4 + 3 + 2.
- Convertir m³ a cm³ multiplicando por 100. Que piensen en el cubo de un metro: cien a lo largo, cien a lo ancho y cien capas.
- Escribir el volumen en cm o en cm². Pregunte qué se cuenta: segmentos, cuadrados o cubitos. El volumen cuenta cubitos, por eso lleva el ³.
- Multiplicar medidas que están en unidades distintas. Pida escribir las tres medidas con su unidad antes de calcular y pasarlas todas a la misma.
Tarea sugerida
Medir con regla tres empaques de la casa en forma de caja, estimar su volumen redondeando las medidas, calcularlo con largo · ancho · alto y ordenar los empaques del más grande al más pequeño.