Medidas de tendencia central y rango para comparar
Lo que vas a aprender
- Calcular la media, la mediana, la moda y el rango de una lista de datos.
- Explicar por qué la media o la mediana pueden no ser uno de los datos, y por qué la moda puede no existir o ser más de una.
- Distinguir una muestra de la población de la que se tomó.
- Comparar dos grupos usando juntas las medidas de tendencia central y el rango, y tomar una decisión.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Tu familia va a comprar un celular y duda entre dos marcas inventadas, Alfa y Beta. A ti te importa una cosa: que descargue rápido los videos de las tareas. Un grupo de estudiantes hizo una prueba: descargó el mismo video en 10 celulares de cada marca y anotó cuántos segundos tardó cada uno. Ahora hay veinte números en una hoja. ¿Cómo se decide con veinte números?
Para eso sirven las medidas de tendencia central (media, mediana y moda), que dicen alrededor de qué valor están los datos, y el rango, que dice qué tan separados están. Ninguna sola cuenta toda la historia: hay que usarlas juntas. Todos los datos de la lección son inventados.
Explicación
La media
La media, o promedio, se calcula sumando todos los datos y dividiendo entre cuántos datos hay:
$$\text{media} = \frac{\text{suma de los datos}}{\text{número de datos}}$$
Una manera de pensarla: si se juntara todo y se repartiera en partes iguales, la media es lo que le tocaría a cada uno. Si tres amigos tienen 2, 3 y 7 dulces y los reparten por igual, a cada uno le tocan 4, aunque ninguno tenía 4 al principio. Por eso la media no tiene que ser uno de los datos, y puede dar un decimal aunque los datos sean enteros.
La mediana
La mediana es el dato del centro. Primero se ordenan los datos de menor a mayor; si no se ordenan, el del centro no significa nada. Con un número impar de datos hay uno solo en el centro. Con un número par hay dos, y la mediana es la media de esos dos: puede no ser ninguno de los datos.
La mediana tiene una virtud: un dato muy grande o muy pequeño, uno que se sale del grupo, casi no la mueve. La media, en cambio, sí se deja arrastrar por él.
La moda
La moda es el dato que más se repite. Si todos aparecen el mismo número de veces, como en 3, 8, 5, 10, 6, no hay moda. Si dos datos empatan como los que más se repiten, hay dos modas. La moda es la única de las tres medidas que sirve también para datos que no son números, como el juego preferido de un curso.
El rango
El rango es el dato mayor menos el dato menor. No dice dónde están los datos, sino qué tan separados están. Un rango pequeño quiere decir que los datos se parecen entre sí; uno grande, que hay datos muy distintos.
Una forma corta de escribirlas. En los ejemplos y en los retos escribimos media([2; 8]) para decir «la media de los datos 2 y 8». Los corchetes encierran la lista de datos. Lo mismo vale para mediana, moda y rango: rango([4; 11]) es el rango de los datos 4 y 11.
Ejemplo resuelto
Las cuatro medidas de la marca Alfa
Los 10 celulares Alfa tardaron estos segundos en descargar el video: 12, 15, 14, 13, 16, 14, 15, 13, 14, 14. Halla la media, la mediana, la moda y el rango.
Ver la solución paso a paso
Para la media sumamos los diez tiempos y dividimos entre 10: $\left(12 + 15 + 14 + 13 + 16 + 14 + 15 + 13 + 14 + 14\right) \div 10$
$140 \div 10$
$14$ segundos.
Lo mismo, con la forma corta de escribirlo:
$$\operatorname{media}\left(\left[12;\ 15;\ 14;\ 13;\ 16;\ 14;\ 15;\ 13;\ 14;\ 14\right]\right) = 14$$
Para la mediana ordenamos: 12, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 16. Son diez datos, así que hay dos en el centro, el quinto y el sexto, y los dos son 14:
$$\operatorname{mediana}\left(\left[12;\ 15;\ 14;\ 13;\ 16;\ 14;\ 15;\ 13;\ 14;\ 14\right]\right) = 14$$
El 14 aparece cuatro veces, más que cualquier otro: es la moda.
$$\operatorname{moda}\left(\left[12;\ 15;\ 14;\ 13;\ 16;\ 14;\ 15;\ 13;\ 14;\ 14\right]\right) = 14$$
Para el rango restamos el menor del mayor: $\operatorname{rango}\left(\left[12;\ 15;\ 14;\ 13;\ 16;\ 14;\ 15;\ 13;\ 14;\ 14\right]\right)$
$16 - 12$
$4$ segundos.
Respuesta: Alfa tiene media 14 s, mediana 14 s, moda 14 s y rango 4 s: todos sus celulares tardan cerca de 14 segundos.
Ejemplo resuelto
Las cuatro medidas de la marca Beta
Los 10 celulares Beta tardaron: 8, 20, 9, 22, 10, 9, 21, 9, 11, 21 segundos. Halla la media, la mediana, la moda y el rango.
Ver la solución paso a paso
La media: $\left(8 + 20 + 9 + 22 + 10 + 9 + 21 + 9 + 11 + 21\right) \div 10$
$140 \div 10$
$14$ segundos, igual que Alfa. Y ningún celular Beta tardó 14 segundos: la media no es uno de los datos.
Con la forma corta:
$$\operatorname{media}\left(\left[8;\ 20;\ 9;\ 22;\ 10;\ 9;\ 21;\ 9;\ 11;\ 21\right]\right) = 14$$
Ordenamos: 8, 9, 9, 9, 10, 11, 20, 21, 21, 22. Los dos del centro son 10 y 11, y la mediana es su media: $\left(10 + 11\right) \div 2$
$10{,}5$ segundos, que tampoco es uno de los datos.
Con la forma corta:
$$\operatorname{mediana}\left(\left[8;\ 20;\ 9;\ 22;\ 10;\ 9;\ 21;\ 9;\ 11;\ 21\right]\right) = 10{,}5$$
El 9 aparece tres veces y el 21, dos: la moda es 9.
$$\operatorname{moda}\left(\left[8;\ 20;\ 9;\ 22;\ 10;\ 9;\ 21;\ 9;\ 11;\ 21\right]\right) = 9$$
El rango: $\operatorname{rango}\left(\left[8;\ 20;\ 9;\ 22;\ 10;\ 9;\ 21;\ 9;\ 11;\ 21\right]\right)$
$22 - 8$
$14$ segundos.
Respuesta: Beta tiene media 14 s, mediana 10,5 s, moda 9 s y rango 14 s.
Segundos que tardó cada celular en descargar el video (datos inventados). En cada pareja, la barra de la izquierda es un Alfa y la de la derecha, un Beta.
Ejemplo resuelto
¿Alfa o Beta?
Con las medidas de las dos marcas, decide qué celular conviene si lo que quieres es no tener que esperar mucho nunca.
Ver la solución paso a paso
Si miramos solo la media, empatan:
$$\operatorname{media}\left(\left[12;\ 15;\ 14;\ 13;\ 16;\ 14;\ 15;\ 13;\ 14;\ 14\right]\right) = \operatorname{media}\left(\left[8;\ 20;\ 9;\ 22;\ 10;\ 9;\ 21;\ 9;\ 11;\ 21\right]\right)$$
La mediana de Beta es menor: la mitad de los Beta tardó menos de 10,5 segundos, más rápido que cualquier Alfa.
$$\operatorname{mediana}\left(\left[8;\ 20;\ 9;\ 22;\ 10;\ 9;\ 21;\ 9;\ 11;\ 21\right]\right) < \operatorname{mediana}\left(\left[12;\ 15;\ 14;\ 13;\ 16;\ 14;\ 15;\ 13;\ 14;\ 14\right]\right)$$
Pero el rango de Beta es mucho mayor: unos Beta son muy rápidos y otros tardan más de 20 segundos.
$$\operatorname{rango}\left(\left[8;\ 20;\ 9;\ 22;\ 10;\ 9;\ 21;\ 9;\ 11;\ 21\right]\right) > \operatorname{rango}\left(\left[12;\ 15;\ 14;\ 13;\ 16;\ 14;\ 15;\ 13;\ 14;\ 14\right]\right)$$
La diferencia de los rangos es $14 - 4$
$10$ segundos.
Decisión. En esta prueba, un Beta podía tocar con suerte y descargar en 8 o 9 segundos, o con mala suerte y tardar 22. Los Alfa tardaron siempre entre 12 y 16. Si quieres no esperar mucho nunca, según esta muestra conviene Alfa: su rango pequeño dice que fue parejo. Si te arriesgas por la posibilidad de ser más rápido, Beta. La media sola no lo habría dicho.
Respuesta: Las medias empatan en 14 s, pero el rango de Alfa es 4 s y el de Beta 14 s, 10 s más. Según esta muestra, para no esperar mucho nunca conviene Alfa, que fue más parejo.
Muestra y población
Los estudiantes no probaron todos los celulares Alfa que existen: probaron 10. Todos los celulares Alfa son la población, el grupo del que se quiere saber algo. Los 10 que se probaron son una muestra, una parte de esa población.
Casi siempre se trabaja con muestras, porque estudiar toda la población es imposible o muy costoso: no se pueden probar todos los celulares, ni preguntarle a todos los niños del país. Lo que se calcula con la muestra se parece a lo que pasa en la población, pero no es exactamente igual. Si se probaran otros 10 celulares Alfa, la media podría salir 13,8 o 14,3 en lugar de 14.
Por eso una conclusión sacada de una muestra se dice con cuidado: «en esta prueba, los Alfa fueron más parejos». Y por eso una muestra pequeña o mal escogida (solo los celulares de la vitrina, que tal vez son los nuevos) puede engañar.
Para comparar dos grupos
- Calcula las medidas de cada grupo con el mismo cuidado.
- Mira la media o la mediana para saber alrededor de qué valor está cada grupo.
- Mira el rango para saber qué tan parejo es cada grupo.
- Decide según lo que te importa, y di que la decisión sale de una muestra.
Práctica
Sara anotó los minutos que leyó cada día de una semana escolar: 6, 8, 7, 9 y 10. ¿Cuál es la media?
La suma es 6 + 8 + 7 + 9 + 10 = 40, y 40 ÷ 5 = 8 minutos.
¿Cuál es la mediana de los datos 15, 9, 20, 12 y 11?
Ordenados quedan 9, 11, 12, 15, 20, y el del centro es 12. El 20 es el del centro sin ordenar, y 13,4 es la media.
¿Cuál es la mediana de 4, 9, 6 y 7?
Ordenados son 4, 6, 7, 9. Hay dos datos en el centro, 6 y 7, y la mediana es su media: (6 + 7) ÷ 2 = 6,5. No es uno de los datos.
¿Cuál es la moda de los datos 2, 5, 5, 7, 7, 9?
El 5 y el 7 aparecen dos veces cada uno, más que los demás: hay dos modas, 5 y 7. El 6 es la mediana.
Las estaturas de cuatro amigos son 131, 125, 140 y 128 centímetros. ¿Cuál es el rango, en centímetros?
El mayor menos el menor: 140 − 125 = 15 cm.
¿Verdadero o falso? La media de 3, 4 y 8 es 5.
La suma es 15 y 15 ÷ 3 = 5. Ninguno de los datos es 5, y no importa: la media no tiene que ser uno de los datos.
Tres amigos tienen 2, 3 y 7 dulces, y los juntan para repartirlos por igual. ¿Cuántos dulces le tocan a cada uno?
Juntos tienen 2 + 3 + 7 = 12 dulces, y 12 ÷ 3 = 4. Eso es la media: ninguno tenía 4 al principio.
¿Verdadero o falso? Como las marcas Alfa y Beta tienen la misma media, sus celulares son igual de parejos: tienen el mismo rango.
La misma media no dice nada de qué tan separados están los datos: el rango de Alfa es 4 s y el de Beta, 14 s.
La media de 4 datos es 6. Tres de los datos son 5, 7 y 8. ¿Cuál es el cuarto dato?
Si la media de 4 datos es 6, los cuatro suman 4 · 6 = 24. Los tres conocidos suman 20, así que falta 24 − 20 = 4.
La ruta Norte del bus escolar tardó 20, 21, 19, 20 y 20 minutos en cinco días, y la ruta Sur, 10, 30, 12, 28 y 20 (datos inventados). ¿Verdadero o falso? Las dos rutas tienen la misma media, pero la Sur tiene un rango mayor.
Las dos suman 100 minutos en 5 días: media de 20. El rango de la Norte es 21 − 19 = 2 y el de la Sur, 30 − 10 = 20.
Con los tiempos de las rutas Norte y Sur, ¿qué ruta conviene a quien necesita llegar siempre a tiempo a la primera clase?
Para llegar siempre a tiempo importa que el bus sea parejo. La Sur a veces es muy rápida, pero otros días tarda 28 o 30 minutos; la media sola no muestra esa diferencia.
Para saber cuánto tarda en descargar un video un celular de la marca Alfa, se probaron 10 celulares Alfa. ¿Qué son esos 10 celulares?
La población son todos los celulares Alfa; los 10 que se probaron son una parte de ella, una muestra. Con otra muestra los resultados podrían cambiar un poco.
Reto
Une cada medida con su valor.
Calcula cada medida de memoria y búscale la ficha con su valor.
Reto
¿Cuál no es como las demás?
Calcula cada medida. En las dos primeras rondas, toca la que no da un número entero; en la última, la que da cero.
Cierre
En resumen
La media es la suma de los datos entre el número de datos; puede no ser uno de los datos y puede ser decimal.
La mediana es el dato del centro de los datos ordenados; con un número par de datos es la media de los dos del centro.
La moda es el dato que más se repite; puede no haber moda o haber más de una.
El rango es el mayor menos el menor y dice qué tan parejos son los datos.
Para comparar dos grupos se usan juntas una medida de tendencia central y el rango, y se recuerda que una muestra es solo una parte de la población.
Vocabulario
- Media
La suma de todos los datos dividida entre el número de datos. Es lo que le tocaría a cada uno si se repartiera todo en partes iguales.
- Mediana
El dato del centro cuando los datos están ordenados. Si hay un número par de datos, es la media de los dos del centro.
- Moda
El dato que más se repite. Puede no haber moda o haber más de una.
- Rango
El dato mayor menos el dato menor. Dice qué tan separados están los datos.
- Población
Todo el grupo del que se quiere saber algo: todos los celulares de una marca, todos los estudiantes del colegio.
- Muestra
Una parte de la población que se estudia de verdad: los diez celulares que se probaron, los estudiantes de un curso.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee la compra del celular y muestre los veinte tiempos sin organizar. Pregunte cómo decidirían.
- Explicación · 20 min — Media, mediana, moda y rango con los datos de Alfa; luego Beta, con la sorpresa de la misma media. Discuta la decisión y cierre con muestra y población.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el dominó y el intruso en parejas.
- Cierre · 5 min — Que cada estudiante escriba en una frase por qué la media sola no basta para escoger entre Alfa y Beta.
Preguntas para el salón
- ¿Puede la media de unos datos enteros ser un decimal? Den un ejemplo.
- Si a los datos de Alfa se les agrega un celular que tardó 60 segundos, ¿qué medida cambia más, la media o la mediana?
- Si probamos otros 10 celulares Beta, ¿saldría la misma media? ¿Por qué?
Errores típicos
- Buscar la mediana sin ordenar los datos. Pida que reescriban siempre la lista ordenada antes de buscar el centro.
- Creer que la media tiene que ser uno de los datos. Use el reparto de dulces: 2, 3 y 7 dan 4 a cada uno, y nadie tenía 4.
- Decir que la moda es «el número mayor» o escoger una sola cuando hay empate. Pida contar cuántas veces aparece cada dato antes de decidir, y aceptar que puede haber dos o ninguna.
- Decidir con una sola medida. Muestre Alfa y Beta: misma media, decisiones distintas cuando se mira el rango.
Tarea sugerida
Anotar durante cinco días los minutos que se tarda en llegar al colegio y pedirle a un compañero los suyos; calcular media, mediana, moda y rango de los dos y escribir quién llega de manera más pareja.