Frecuencias observadas y esperadas
Lo que vas a aprender
- Enumerar los resultados posibles de lanzar un dado de 6 caras, uno de 4 caras o una moneda.
- Calcular la frecuencia esperada de un resultado en un número dado de lanzamientos.
- Registrar los resultados de un experimento en una tabla y un gráfico de barras, y calcular la frecuencia relativa.
- Comparar lo observado con lo esperado y juzgar si un dicho sobre un juego de azar es razonable.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En el descanso, Tomás y Lina inventaron un juego: cada uno escoge un dado, lo lanza 120 veces y gana quien saque más unos. Hay dos dados: uno de 6 caras, el de siempre, y uno de 4 caras, con forma de pirámide. Tomás dice: «Yo me quedo con el de 4 caras, porque con ese saco más unos». ¿Tiene razón? ¿Está seguro de ganar?
Para responder no basta con jugar una vez. Hay que pensar qué se espera que pase y compararlo con lo que pasa de verdad. En esta lección aprendes a hacer las dos cosas. Los juegos, los lanzamientos y los resultados son inventados.
Explicación
Experimentos aleatorios y sus resultados
Lanzar un dado es un experimento aleatorio: antes de lanzarlo no sabes qué va a salir, pero sí sabes qué puede salir. Lo primero es enumerar los resultados posibles:
- un dado de 6 caras: 1, 2, 3, 4, 5 o 6;
- un dado de 4 caras: 1, 2, 3 o 4;
- una moneda: cara o sello.
Si el dado es justo, ninguna cara tiene ventaja. Con el de 6 caras, cada cara tiene una oportunidad de cada seis; con el de 4 caras, una de cada cuatro.
Lo que se espera
Si lanzas 60 veces un dado justo de 6 caras, ¿cuántos unos deberían salir? Si todo se repartiera por igual, las 60 veces se dividirían en seis partes iguales. Esa cantidad es la frecuencia esperada:
$$\text{frecuencia esperada} = \text{lanzamientos} \cdot \frac{1}{\text{número de caras}}$$
La frecuencia esperada es una predicción, no una promesa. Dice alrededor de qué valor debería quedar el resultado, no el número exacto que va a salir.
Ejemplo resuelto
Frecuencias esperadas de los dos dados
Si se lanza 60 veces un dado justo de 6 caras, ¿cuántas veces se espera cada cara? ¿Y si se lanza 60 veces uno de 4 caras?
Ver la solución paso a paso
El dado de 6 caras tiene 6 resultados posibles. Cada uno se espera $60 \cdot \frac{1}{6}$
$10$ veces.
Comprobamos: seis caras de 10 veces cada una son los 60 lanzamientos.
$$6 \cdot 10 = 60$$
El dado de 4 caras tiene 4 resultados posibles. Cada uno se espera $60 \cdot \frac{1}{4}$
$15$ veces.
Con el mismo número de lanzamientos, cada cara del dado de 4 se espera más veces, porque los lanzamientos se reparten entre menos caras.
$$15 > 10$$
Respuesta: Con el dado de 6 caras se espera cada cara 10 veces; con el de 4 caras, 15 veces.
Lo que se observa
Ahora toca hacer el experimento de verdad. Mariana lanzó 60 veces un dado de 6 caras y anotó cada resultado en una tabla de conteo. Al final contó cuántas veces salió cada cara: esa es la frecuencia observada.
| Cara | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Frecuencia observada | 8 | 11 | 9 | 12 | 10 | 10 |
| Frecuencia esperada | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
Ninguna cara se alejó mucho de 10, pero solo dos dieron exactamente 10. Eso es lo normal. El azar no reparte en partes exactas: lo observado se acerca a lo esperado, pero casi nunca coincide del todo, y menos con pocos lanzamientos.
Para comparar experimentos con distinto número de lanzamientos se usa la frecuencia relativa: las veces que salió el resultado divididas entre los lanzamientos. Dice qué parte de las veces salió. Como es una parte de las veces, la frecuencia relativa siempre queda entre 0 y 1.
Cuidado con dos nombres parecidos. La frecuencia esperada es un número de veces: 10 unos en 60 lanzamientos. La frecuencia relativa esperada es una parte de las veces: 1/6 en un dado justo de 6 caras, la misma para 60 lanzamientos que para 600. Esa parte que se espera se llama la probabilidad del resultado.
Las 60 veces que Mariana lanzó el dado (datos inventados): cada barra es la frecuencia observada de una cara, y la línea punteada es la frecuencia esperada, 10.
Ejemplo resuelto
Comparar lo observado con lo esperado
Con la tabla de Mariana (en 60 lanzamientos, la cara 1 salió 8 veces, la 2 salió 11, la 3 salió 9, la 4 salió 12, y la 5 y la 6 salieron 10 cada una), comprueba el total y compara la cara 1 con lo esperado.
Ver la solución paso a paso
Las frecuencias observadas tienen que sumar los lanzamientos: $8 + 11 + 9 + 12 + 10 + 10$
$60$. No se perdió ningún lanzamiento.
Para la cara 1 se esperaban 10 veces y salió 8. La diferencia es $10 - 8$
$2$ veces menos de lo esperado.
La frecuencia relativa observada de la cara 1 es $\frac{8}{60}$
$\frac{2}{15}$, un poco menos que la frecuencia relativa esperada.
La frecuencia relativa esperada es diez de cada sesenta, lo mismo que una de cada seis:
$$\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$$
Y la observada es menor:
$$\frac{8}{60} < \frac{10}{60}$$
Una diferencia de 2 en 60 lanzamientos no dice que el dado esté mal hecho. Si se repite el experimento, la cara 1 puede salir 11 veces o 9: el azar cambia de un intento a otro.
Respuesta: Las frecuencias suman 60. La cara 1 salió 8 veces, 2 menos que las 10 esperadas; su frecuencia relativa es 8/60, un poco menos que 10/60.
¿Y si se lanza muchas más veces?
Con pocas repeticiones, lo observado puede quedar lejos de lo esperado. Si lanzas un dado 6 veces, nada obliga a que salga cada cara una vez: puede salir el 4 tres veces y no salir el 1. Cuando las repeticiones son muchas, la frecuencia relativa suele quedar cada vez más cerca de la frecuencia relativa esperada. Suele, no está obligada: no hay ninguna regla que haga «compensar» al dado. El dado no recuerda lo que salió antes.
Ejemplo resuelto
Más lanzamientos, más cerca
Mariana anotó cuántos unos salieron en tres experimentos: en 6 lanzamientos salieron 2, en 60 salieron 8 y en 600 salieron 97. Compara cada uno con lo esperado.
Ver la solución paso a paso
Las frecuencias esperadas de la cara 1 son $6 \cdot \frac{1}{6} = 1 \quad\text{y}\quad 60 \cdot \frac{1}{6} = 10 \quad\text{y}\quad 600 \cdot \frac{1}{6} = 100$
Las diferencias entre lo observado y lo esperado son $2 - 1 = 1 \quad\text{y}\quad 10 - 8 = 2 \quad\text{y}\quad 100 - 97 = 3$
¡La diferencia creció! Pero hay que verla como parte de los lanzamientos: 1 de 6, 2 de 60 y 3 de 600. Cada una es una parte más pequeña que la anterior:
$$\frac{1}{6} > \frac{2}{60} > \frac{3}{600}$$
En este experimento, al lanzar más veces la frecuencia relativa quedó más cerca de la frecuencia relativa esperada, aunque la diferencia en número de veces creció. Otro experimento podría dar otros números.
Respuesta: Las diferencias fueron 1, 2 y 3 veces, pero como parte de los lanzamientos son 1/6, 2/60 y 3/600: cada vez más pequeñas.
Ejemplo resuelto
¿Tiene razón Tomás?
Tomás lanza 120 veces el dado de 4 caras y Lina lanza 120 veces el de 6 caras. Gana quien saque más unos. En el juego que hicieron, Tomás sacó 27 unos y Lina 23. ¿Tiene razón Tomás al decir que con el dado de 4 caras se sacan más unos?
Ver la solución paso a paso
Con el dado de 4 caras se esperan $120 \cdot \frac{1}{4}$
$30$ unos.
Con el de 6 caras se esperan $120 \cdot \frac{1}{6}$
$20$ unos.
Se esperan más unos con el dado de Tomás: $30 - 20$
$10$ más.
En su juego, Tomás ganó, aunque ninguno de los dos sacó lo esperado:
$$27 > 23 \quad\text{y}\quad 27 \ne 30 \quad\text{y}\quad 23 \ne 20$$
Conclusión. El dicho de Tomás es razonable: con el dado de 4 caras se esperan más unos. Pero no le asegura ganar cada juego. Por azar, Lina podría sacar más unos alguna vez, sobre todo si lanzan pocas veces.
Respuesta: Con el dado de 4 caras se esperan 30 unos y con el de 6, 20: Tomás tiene razón en lo que se espera, y en su juego ganó 27 a 23, pero no tiene asegurado ganar siempre.
Práctica
¿Cuáles son todos los resultados posibles al lanzar el dado de 4 caras?
El dado de 4 caras tiene una cara con cada número del 1 al 4: esos son sus cuatro resultados posibles.
Se lanza 120 veces un dado justo de 6 caras. ¿Cuántas veces se espera que salga el 5?
Cada cara se espera una de cada seis veces: 120 · 1/6 = 20.
Se lanza 80 veces un dado justo de 4 caras. ¿Cuántas veces se espera que salga el 3?
Con 4 caras, cada una se espera una de cada cuatro veces: 80 · 1/4 = 20.
Un dado de 6 caras se lanzó 60 veces. Las caras 1 a 5 salieron 8, 11, 9, 12 y 10 veces. ¿Cuántas veces salió el 6?
Las frecuencias observadas suman los lanzamientos: 60 − 8 − 11 − 9 − 12 − 10 = 10. El 50 es la suma de las cinco conocidas.
Al lanzar 40 veces un dado de 4 caras, el 1 salió 12 veces. ¿Cuál es la frecuencia relativa del 1? Escríbela como decimal.
La frecuencia relativa es la observada entre los lanzamientos: 12 ÷ 40 = 0,3. Lo esperado era 0,25, una de cada cuatro; salió un poco más.
Al lanzar 60 veces un dado justo de 6 caras, el 4 salió 12 veces. ¿Cuántas veces más de lo esperado salió?
Se esperaban 60 · 1/6 = 10 veces y salió 12: 12 − 10 = 2 veces más. Una diferencia así es normal en 60 lanzamientos.
¿Verdadero o falso? Si se lanza 100 veces un dado justo de 4 caras, la frecuencia esperada del 1 es 25.
100 · 1/4 = 25. Es lo que se espera, no lo que tiene que salir: en un experimento real puede salir 22 o 28.
¿Verdadero o falso? En 120 lanzamientos se esperan más unos con el dado de 6 caras que con el de 4 caras.
Con el de 6 caras se esperan 120 · 1/6 = 20 unos y con el de 4, 120 · 1/4 = 30. Entre menos caras, más veces se espera cada una.
Sofía lanzó 60 veces un dado de 6 caras, y el 3 salió 9 veces en lugar de las 10 esperadas. ¿Qué se puede concluir?
La frecuencia esperada es una predicción, no una obligación. Una diferencia de 1 en 60 lanzamientos es normal. Y el dado no recuerda: nada lo obliga a compensar después.
Si el dado de 4 caras es justo, ¿qué frecuencia relativa se espera para el 2? Escríbela como decimal.
Cada cara sale una de cada cuatro veces: 1/4 = 0,25.
Reto
Abre el candado con las frecuencias esperadas.
Cada pista da un dígito. Todos los dados y monedas son justos, y los datos son inventados.
Reto
¿Cuál no es como las demás?
En las dos primeras rondas, toca la frecuencia esperada que no da un número entero. En la última, el número que no puede ser una frecuencia relativa.
Cierre
En resumen
Un experimento aleatorio tiene resultados posibles que se pueden enumerar, aunque no se sabe cuál va a salir.
La frecuencia esperada de una cara de un dado justo es lanzamientos · 1/número de caras; es una predicción, no una obligación.
La frecuencia observada es lo que salió de verdad; las observadas suman el número de lanzamientos.
La frecuencia relativa es la observada dividida entre los lanzamientos, y sirve para comparar experimentos de distinto tamaño.
Con muchas repeticiones, la frecuencia relativa suele acercarse a la frecuencia relativa esperada (la probabilidad), pero con pocas puede alejarse, y el dado no compensa lo que salió antes.
Vocabulario
- Experimento aleatorio
Una acción que se puede repetir y cuyo resultado no se sabe antes de hacerla, aunque sí se saben los resultados posibles, como lanzar un dado.
- Dado justo
Un dado bien hecho, en el que ninguna cara tiene más facilidad de salir que otra.
- Frecuencia observada
Las veces que salió de verdad un resultado al repetir el experimento.
- Frecuencia esperada
Las veces que se espera que salga un resultado si todo se repartiera por igual. Con un dado justo de 6 caras lanzado n veces, es n · 1/6.
- Frecuencia relativa
La frecuencia observada dividida entre el número de repeticiones: qué parte de las veces salió el resultado.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Presente el juego de Tomás y Lina y pida que voten, antes de calcular, cuál dado escogerían.
- Explicación · 15 min — Resultados posibles y frecuencia esperada; luego la tabla de Mariana y la comparación con lo esperado.
- Experimento · 15 min — Cada pareja lanza 30 veces un dado y anota la tabla de conteo. Junte en el tablero los resultados de todas las parejas y compare la frecuencia relativa de una pareja con la del salón entero.
- Práctica y cierre · 15 min — Preguntas individuales, el candado y el intruso en parejas. Cierre volviendo al dicho de Tomás.
Preguntas para el salón
- Si en 6 lanzamientos no salió ningún 1, ¿el dado está mal hecho?
- Si el 3 no ha salido en los últimos diez lanzamientos, ¿es más fácil que salga en el próximo?
- ¿Por qué los resultados de todo el salón juntos suelen parecerse más a lo esperado que los de una pareja?
Errores típicos
- Creer que la frecuencia observada tiene que coincidir con la esperada. Compare los resultados de varias parejas en el tablero: pocas dan exactamente lo esperado y la mayoría queda cerca. Si alguna coincide, es por azar, no porque tenga que pasar.
- Creer que el dado «compensa» lo que no ha salido. Pregunte si el dado sabe lo que salió antes; cada lanzamiento empieza de nuevo.
- Dividir entre el número de lanzamientos al revés (lanzamientos entre caras observadas). Recuerde que la frecuencia relativa es una parte del total y tiene que quedar entre 0 y 1.
- Pensar que con el dado de 4 caras se gana siempre. Distinga «se espera» de «va a pasar»: el ejemplo de Tomás muestra que la ventaja es en lo esperado.
Tarea sugerida
Lanzar una moneda 40 veces y anotar cara o sello en una tabla de conteo; calcular la frecuencia esperada y la relativa de cara, hacer el gráfico de barras y escribir si lo observado coincidió con lo esperado.