Sumas y restas de varios enteros
Lo que vas a aprender
- Escribir la resta de un entero como la suma de su opuesto.
- Quitar los paréntesis de una expresión según el signo que tienen delante.
- Calcular expresiones de varios términos agrupando los positivos y los negativos.
- Resolver problemas de puntos, saldos, temperaturas y alturas con sumas y restas de enteros.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En un concurso del colegio, un equipo gana puntos cuando acierta y los pierde cuando se equivoca. Un buzo baja y sube varias veces antes de salir del agua. El termómetro de un congelador sube cuando se va la luz y baja cuando vuelve. En todos esos casos hay varios cambios seguidos, unos hacia arriba y otros hacia abajo, y lo que interesa es dónde se termina.
Los números positivos y negativos sirven justo para eso: el signo dice hacia qué lado va el cambio y el número dice cuánto. En 6.º aprendiste a sumar y restar dos enteros en la recta. Ahora vas a calcular expresiones largas, con muchos términos y con paréntesis, sin perderte en los signos.
Antes de empezar recuerda qué es el valor absoluto de un entero y cómo se suman dos enteros de signos distintos.
Explicación
Positivos y negativos: cantidades relativas
Un número con signo siempre se mide desde un punto de referencia, que hace de cero: el nivel del mar, los $0$ °C del termómetro, el saldo en el que no se debe ni se tiene nada. Lo que está por encima o a favor se escribe con signo positivo; lo que está por debajo o en contra, con signo negativo. Por eso se dice que son cantidades relativas: «$-5$ m» solo tiene sentido si sabes desde dónde se mide.
Restar es sumar el opuesto
El opuesto de un número está a la misma distancia del cero, pero al otro lado: el opuesto de $8$ es $-8$, y el opuesto de $-8$ es $8$. Con el opuesto, toda resta se puede escribir como una suma:
$$a - b = a + (\text{opuesto de } b)$$
Piensa en una deuda. Si alguien te quita una deuda de $8$ mil pesos, quedas igual que si te regalaran $8$ mil pesos. Restar un negativo tiene el mismo efecto que sumar un positivo, y restar un positivo, el mismo que sumar un negativo.
Quitar los paréntesis
Cuando un número con signo va entre paréntesis y tiene otro signo delante, se pueden quitar los paréntesis dejando un solo signo:
Aquí $a$ es un número positivo.
- $+(+a)$ se escribe $+a$: sumar un positivo.
- $+(-a)$ se escribe $-a$: sumar un negativo es restar su valor absoluto.
- $-(+a)$ se escribe $-a$: restar un positivo.
- $-(-a)$ se escribe $+a$: restar un negativo es sumar su opuesto.
Cuidado: esta lista habla de un signo delante de un paréntesis con un solo número. No es una regla para «dos signos menos que se encuentran» en cualquier parte. En $-3 - 5$ no hay paréntesis: se parte de $-3$ y se baja $5$ más, así que el resultado es $-8$, no $8$.
Agrupar positivos y negativos
Una vez quitados los paréntesis, la expresión es una lista de términos, y cada término es un número con el signo que tiene delante. En $4 - 7 + 2$, los términos son $4$, $-7$ y $2$.
Toda la expresión es, en el fondo, una suma de esos términos. Y en una suma el orden de los sumandos no cambia el resultado (propiedad conmutativa) ni tampoco la manera de agruparlos (propiedad asociativa). Así que puedes cambiar de lugar los términos, siempre que cada número se lleve su signo. Un buen método tiene tres pasos:
- Sumar todos los términos positivos.
- Sumar todos los términos negativos.
- Juntar los dos resultados: si hay de los dos, tienen signos distintos, así que se resta el valor absoluto menor del mayor y se deja el signo del que tiene mayor valor absoluto.
El otro camino es ir de izquierda a derecha, término por término, como quien avanza y retrocede sobre la recta numérica. Los dos caminos dan lo mismo; agrupar suele ser más rápido cuando hay muchos términos, y recorrer la recta ayuda a ver qué pasa en cada momento. Hacer la cuenta por los dos caminos es una buena manera de comprobarla.
Lo que no se puede hacer es cambiar el orden de una resta sin cuidar el signo: $9 - 4$ y $4 - 9$ no dan lo mismo. Por eso conviene leer cada resta como la suma de un negativo antes de reordenar.
Ejemplo resuelto
Los cuatro casos de un signo delante de un paréntesis
Quita los paréntesis y calcula $7 + (+2)$, $7 + (-2)$, $7 - (+2)$ y $7 - (-2)$.
Ver la solución paso a paso
Sumar un positivo: $7 + (+2)$ es $7 + 2$, y se avanza $2$ en la recta.
$$7 + 2 = 9$$
Sumar un negativo es restar su valor absoluto: $7 + (-2)$ es $7 - 2$, y se retrocede $2$.
$$7 + \left(-2\right) = 5$$
Restar un positivo también es retroceder: $7 - (+2)$ es $7 - 2$.
$$7 - 2 = 5$$
Restar un negativo es sumar su opuesto: $7 - (-2)$ es $7 + 2$, y se avanza.
$$7 - \left(-2\right) = 9$$
Respuesta: $7 + (+2) = 9$, $7 + (-2) = 5$, $7 - (+2) = 5$ y $7 - (-2) = 9$.
Ejemplo resuelto
Varios términos por dos caminos
Calcula $-8 + 15 - \left(-6\right) - 9$ agrupando y comprueba el resultado de izquierda a derecha.
Ver la solución paso a paso
Partimos de la expresión.
$$-8 + 15 - \left(-6\right) - 9$$
Quitamos el paréntesis: restar $-6$ es sumar su opuesto, $+6$.
$$-8 + 15 + 6 - 9$$
Juntamos los positivos por un lado y los negativos por el otro. Cada número se lleva su signo.
$$\left(15 + 6\right) + \left(-8 - 9\right)$$
Los positivos suman $21$ y los negativos $-17$:
$$21 - 17$$
Los signos son distintos: restamos los valores absolutos y queda el signo del que tiene mayor valor absoluto, que es positivo.
$$4$$
Ahora el otro camino, de izquierda a derecha. Partimos otra vez de la expresión sin paréntesis:
$$-8 + 15 + 6 - 9$$
Desde $-8$ avanzamos $15$ y llegamos a $7$:
$$7 + 6 - 9$$
Desde $7$ avanzamos $6$ y llegamos a $13$:
$$13 - 9$$
Y desde $13$ retrocedemos $9$. Los dos caminos coinciden.
$$4$$
Respuesta: $4$
El camino de izquierda a derecha en la recta: de −8 se avanza 15 hasta 7, luego 6 hasta 13, y se retrocede 9 hasta 4.
Haz tú el camino de −8 + 15 + 6 − 9. La ranita sale de −8: con +10 y cinco veces +1 avanza 15 y llega a 7; avanza 6 más hasta 13 y retrocede 9. ¿Dónde termina?
Ejemplo resuelto
Borrar una penalización
En un concurso, el equipo de Valentina tenía 12 puntos. Falló dos preguntas y cada una le dio una penalización de −5 puntos. Después ganó 8 puntos. Al revisar, el jurado borró una de las dos penalizaciones. ¿Cuántos puntos tiene el equipo?
Ver la solución paso a paso
Cada penalización suma $-5$. Borrar una penalización es quitarla, es decir, restar $-5$:
$$12 + \left(-5\right) + \left(-5\right) + 8 - \left(-5\right)$$
Quitamos el último paréntesis: restar $-5$ es sumar su opuesto, $5$.
$$12 - 5 - 5 + 8 + 5$$
Agrupamos los positivos y los negativos:
$$\left(12 + 8 + 5\right) + \left(-5 - 5\right)$$
Sumamos cada grupo:
$$25 - 10$$
Y juntamos los dos resultados.
$$15$$
Respuesta: El equipo tiene 15 puntos. Es lo mismo que si solo hubiera fallado una pregunta: borrar una penalización de −5 devuelve los 5 puntos.
Práctica
Calcula $7 - 12 + 3 - 5$.
Positivos: 7 + 3 = 10. Negativos: −12 − 5 = −17. Juntos: 10 − 17 = −7.
¿Cuánto es $-6 - \left(-9\right) + 4 - 10$?
Restar −9 es sumar 9: −6 + 9 + 4 − 10. Positivos: 13; negativos: −16; resultado: −3. Si se deja el −9 como resta sale −21.
¿Verdadero o falso? $-3 - 5 = 8$
No hay paréntesis: se parte de −3 y se baja 5 más, así que da −8. «Dos menos» seguidos en una resta no dan un positivo.
¿Verdadero o falso? $15 - \left(-4\right) = 15 + 4$
Restar −4 es sumar su opuesto, 4. Los dos lados dan 19.
¿Verdadero o falso? $10 - 4 - 3 = 10 - \left(4 - 3\right)$
A la izquierda: 10 − 4 − 3 = 3. A la derecha: 10 − 1 = 9. Las restas no se pueden agrupar como se quiera; primero hay que verlas como sumas de negativos: 10 + (−4) + (−3).
Un congelador marca −18 °C. Se va la luz y la temperatura sube 7 °C; cuando vuelve la luz, baja 4 °C. ¿Qué temperatura marca ahora, en °C?
−18 + 7 = −11, y −11 − 4 = −15. El congelador marca −15 °C.
Un buzo está a 6 m bajo la superficie del agua, es decir, a −6 m. Baja 11 m, sube 4 m, baja 2 m y sube 9 m. ¿A qué altura queda respecto a la superficie?
Partida: −6. Bajadas: −11 − 2 = −13. Subidas: 4 + 9 = 13. −6 − 13 + 13 = −6. Subió lo mismo que bajó, así que queda donde empezó: a 6 m bajo la superficie.
En la tienda escolar, Juliana tiene un saldo de −4500 pesos porque debe un almuerzo. Paga 6000 pesos y después saca a crédito un jugo de 2300 pesos. ¿Cuál es su saldo ahora, en pesos?
−4500 + 6000 = 1500 a favor; 1500 − 2300 = −800. Juliana debe 800 pesos.
Marca todas las expresiones cuyo resultado es negativo.
Marca todas las que apliquen.
−9 + 4 + 3 = −2; 5 + 3 − 7 = 1; −1 − 6 + 10 = 3; 8 − 15 + 2 = −5; −4 + 4 − 1 = −1.
Calcula $-25 + 13 - \left(-8\right) - 30 + 14$.
Quitamos el paréntesis: −25 + 13 + 8 − 30 + 14. Positivos: 13 + 8 + 14 = 35. Negativos: −25 − 30 = −55. Resultado: 35 − 55 = −20.
Para calcular −7 + 12 − 5 + 3, Lucas cambia el orden y escribe 12 + 3 − 7 − 5. ¿Por qué puede hacerlo?
−7 + 12 − 5 + 3 es la suma de −7, 12, −5 y 3. Lucas movió cada término con su signo, y en una suma el orden no cambia el resultado. La resta sola no es conmutativa: 9 − 4 no es 4 − 9.
Reto
¿El resultado es positivo o negativo?
Arrastra cada expresión a la canasta del signo de su resultado. Agrupa los positivos y los negativos antes de decidir.
Reto
Une cada expresión con su resultado.
Toca una expresión y luego el número que vale lo mismo.
Cierre
En resumen
El signo de un entero dice hacia qué lado del punto de referencia está la cantidad, y el número dice cuánto.
Restar un número es sumar su opuesto; por eso restar un negativo hace crecer el resultado.
Un signo delante de un paréntesis con un número se resuelve así: +(+a) y −(−a) dan +a; +(−a) y −(+a) dan −a.
Sin paréntesis, cada término se lleva su signo; se suman los positivos, se suman los negativos y se juntan los dos resultados.
Ir de izquierda a derecha da el mismo resultado y sirve para comprobar.
Vocabulario
- Opuesto
El opuesto de un número es el que está a la misma distancia del cero, al otro lado. El opuesto de 6 es −6, y el de −6 es 6. Un número más su opuesto da 0.
- Valor absoluto
La distancia de un número al cero, sin tener en cuenta el signo. El valor absoluto de −9 es 9.
- Término
Cada uno de los números que se suman en una expresión, junto con el signo que tiene delante. En 4 − 7 + 2, los términos son 4, −7 y 2.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Proponga un recorrido de subidas y bajadas (un buzo sobre una recta vertical dibujada en el tablero, con el cero en la superficie) y pida que digan dónde termina.
- Explicación · 15 min — Opuesto, restar como sumar el opuesto, los cuatro casos de paréntesis y la estrategia de agrupar; los tres ejemplos en el tablero.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; las canastas y el dominó en parejas, pidiendo que una persona agrupe y la otra compruebe de izquierda a derecha.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe una expresión de cinco términos, con un paréntesis, cuyo resultado sea −2.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué quitar una deuda es lo mismo que recibir dinero?
- ¿Qué cambia si en 9 − 4 intercambiamos los números? ¿Y en 9 + (−4)?
- ¿Cuándo conviene agrupar y cuándo conviene ir de izquierda a derecha?
Errores típicos
- Aplicar «menos por menos da más» a una resta sin paréntesis (−3 − 5 = 8). Pida representar −3 − 5 en la recta: se parte de −3 y se baja 5 más. Aclare que la regla de los signos es de la multiplicación, que se estudia en la siguiente lección.
- Reordenar los términos y dejar los signos en su sitio (convertir 4 − 7 + 2 en 4 − 2 + 7). Pida encerrar cada término con su signo en un círculo antes de moverlo, como si el signo estuviera pegado al número.
- Olvidar cambiar el signo al quitar −(−a). Use la deuda: quitar una deuda de 5 es ganar 5. Pida escribir primero el opuesto del número de adentro.
Tarea sugerida
Calcular −14 + 6 − (−9) − 3 por los dos caminos, y escribir un problema de temperaturas con cuatro cambios cuyo resultado sea −1 °C.