Multiplicación y división de enteros
Lo que vas a aprender
- Explicar el signo de un producto de enteros con desplazamientos repetidos y con un patrón.
- Multiplicar dos o más enteros decidiendo primero el signo del resultado.
- Dividir enteros cuando la división es exacta y comprobar el cociente con una multiplicación.
- Reconocer qué pasa con el cero en la multiplicación y en la división.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En un tanque de agua hay una regla con rayas, y un flotador marca el nivel: la raya $0$ es el nivel normal, las de arriba son positivas y las de abajo, negativas. Si el nivel baja lo mismo cada hora, ¿dónde estará el flotador dentro de varias horas? ¿Y dónde estaba hace unas horas? Si una deuda se reparte en partes iguales entre varios amigos, ¿cuánto le toca a cada uno?
En todos esos casos hay cambios iguales que se repiten o cantidades que se reparten. Para contarlos rápido se multiplica y se divide, pero ahora con números que tienen signo. En esta lección vas a descubrir por qué los signos se comportan como se comportan, en lugar de aprenderte una regla de memoria.
Antes de empezar repasa las tablas de multiplicar y la suma de varios enteros negativos.
Explicación
Multiplicar es repetir un desplazamiento
Con naturales, $4 \cdot 3$ es sumar cuatro veces el $3$. Lo mismo vale si lo que se repite es negativo. Si el flotador baja $3$ rayas cada hora, su desplazamiento por hora es $-3$, y en $4$ horas se desplaza
$$(-3) + (-3) + (-3) + (-3) = 4 \cdot (-3) = -12.$$
Cuatro bajadas de $3$ rayas son una bajada de $12$. Por eso un positivo por un negativo da negativo. Y como el orden de los factores no cambia el producto (propiedad conmutativa), $(-3) \cdot 4$ también es $-12$.
Negativo por negativo
¿Qué significa multiplicar por un número negativo? Piensa en el tiempo: el ahora es el $0$, el futuro es positivo y el pasado, negativo. Si el flotador baja $3$ rayas cada hora y ahora está en la raya $0$, hace $4$ horas (tiempo $-4$) estaba más arriba, porque desde entonces no ha dejado de bajar. Estaba en la raya $12$: $(-4) \cdot (-3) = 12$.
Hay otra manera de verlo, con un patrón. En los productos $3 \cdot (-4)$, $2 \cdot (-4)$, $1 \cdot (-4)$, $0 \cdot (-4)$, el primer factor baja de uno en uno y el producto sube de $4$ en $4$. Si el patrón sigue después del cero, los productos con el primer factor negativo tienen que ser positivos. Lo verás paso a paso en uno de los ejemplos.
La ley de los signos
Juntando todo, para multiplicar dos enteros se multiplican los valores absolutos y el signo se decide así:
- Signos iguales (los dos positivos o los dos negativos): el producto es positivo.
- Signos distintos (uno positivo y uno negativo): el producto es negativo.
Esta ley es de la multiplicación (y, como vas a ver, de la división). No sirve para la suma: $(-4) + (-3)$ es $-7$, porque dos bajadas seguidas son una bajada más grande.
Con varios factores se puede multiplicar de dos en dos. También hay un atajo: si ningún factor es cero, basta contar los factores negativos. Si hay un número par de negativos, el producto es positivo; si hay un número impar, es negativo.
Dividir es la operación contraria
Dividir $a \div b$ es buscar el número que, multiplicado por $b$, da $a$. Por ejemplo, $-12 \div 4 = -3$ porque $(-3) \cdot 4 = -12$. En esta lección solo hacemos divisiones exactas, las que tienen residuo cero. Como la división se apoya en la multiplicación, sus signos siguen la misma ley: signos iguales dan cociente positivo y signos distintos, negativo. Y siempre se puede comprobar el resultado multiplicando el cociente por el divisor.
El cero
- Cualquier entero multiplicado por $0$ da $0$: repetir un desplazamiento cero veces, o repetir un desplazamiento de $0$, no mueve nada.
- $0$ dividido entre un entero distinto de cero da $0$, porque $0$ por ese número da $0$.
- Entre cero no se puede dividir. Para calcular $-5 \div 0$ habría que encontrar un número que multiplicado por $0$ diera $-5$, y no existe ninguno: todo número por $0$ da $0$. Tampoco $0 \div 0$ tiene un resultado, porque cualquier número serviría. Por eso se dice que la división entre cero no está definida.
Ejemplo resuelto
Las cuentas del flotador
El flotador baja 3 rayas cada hora y ahora está en la raya 0. ¿Dónde estará dentro de 4 horas? ¿Dónde estaba hace 4 horas? Si en otro tanque el nivel bajó 12 rayas en 4 horas, lo mismo cada hora, ¿cuánto cambió cada hora?
Ver la solución paso a paso
Dentro de $4$ horas habrá bajado cuatro veces $3$ rayas. La suma repetida es una multiplicación:
$$\left(-3\right) + \left(-3\right) + \left(-3\right) + \left(-3\right) = 4 \cdot \left(-3\right)$$
Positivo por negativo da negativo: estará en la raya $-12$.
$$4 \cdot \left(-3\right) = -12$$
Hace $4$ horas es el tiempo $-4$. Desde entonces bajó $12$ rayas, así que estaba más arriba. Negativo por negativo da positivo:
$$\left(-4\right) \cdot \left(-3\right) = 12$$
En el otro tanque, el cambio total $-12$ se reparte en $4$ horas iguales. Se comprueba con $(-3) \cdot 4 = -12$:
$$\frac{-12}{4} = -3$$
Respuesta: Dentro de 4 horas estará en la raya −12; hace 4 horas estaba en la raya 12; en el otro tanque, el nivel cambió −3 rayas cada hora.
Ejemplo resuelto
Seis bajadas iguales
Un flotador marca la raya −20 de la regla de un tanque. Durante 6 horas, el nivel del agua baja 7 rayas cada hora. ¿En qué raya queda el flotador?
Ver la solución paso a paso
El desplazamiento de cada hora es $-7$. Seis desplazamientos iguales son $6 \cdot (-7)$, y se suman a la raya de partida:
$$-20 + 6 \cdot \left(-7\right)$$
Multiplicar es repetir: son seis bajadas de $7$ rayas después de la raya $-20$.
$$-20 + \left(-7\right) + \left(-7\right) + \left(-7\right) + \left(-7\right) + \left(-7\right) + \left(-7\right)$$
Las seis bajadas juntas son una bajada de $42$ rayas, es decir, $6 \cdot (-7) = -42$:
$$-20 - 42$$
Los dos términos son negativos: se suman los valores absolutos y queda el signo menos.
$$-62$$
Respuesta: El flotador queda en la raya −62.
Las seis bajadas de 7 rayas en la recta: de −20 a −27, −34, −41, −48, −55 y por último −62.
El flotador sale de −20 y baja 7 rayas cada hora. Haz saltar la ranita seis veces y mira dónde para: −20 + 6 · (−7) = −62.
Ejemplo resuelto
El patrón que sigue después del cero
Calcula $3 \cdot (-4)$, $2 \cdot (-4)$, $1 \cdot (-4)$ y $0 \cdot (-4)$, y sigue el patrón para hallar $(-1) \cdot (-4)$ y $(-2) \cdot (-4)$.
Ver la solución paso a paso
Tres veces $-4$:
$$3 \cdot \left(-4\right) = -12$$
Dos veces $-4$. El primer factor bajó $1$ y el producto subió $4$:
$$2 \cdot \left(-4\right) = -8$$
Una vez $-4$. Otra vez sube $4$:
$$1 \cdot \left(-4\right) = -4$$
Cero veces $-4$ es cero. Sigue subiendo de $4$ en $4$:
$$0 \cdot \left(-4\right) = 0$$
Si el patrón continúa, al bajar el primer factor a $-1$ el producto sube otros $4$:
$$\left(-1\right) \cdot \left(-4\right) = 4$$
Y al bajar a $-2$, sube $4$ más:
$$\left(-2\right) \cdot \left(-4\right) = 8$$
Respuesta: Los productos son −12, −8, −4 y 0; siguiendo el patrón, (−1) · (−4) = 4 y (−2) · (−4) = 8. Negativo por negativo da positivo.
Ejemplo resuelto
Varios factores y una división
Calcula $\left(-2\right) \cdot \left(-3\right) \cdot 5 \cdot \left(-1\right)$. Después calcula $\frac{-72}{-8}$ y comprueba el cociente.
Ver la solución paso a paso
Multiplicamos de dos en dos, de izquierda a derecha.
$$\left(-2\right) \cdot \left(-3\right) \cdot 5 \cdot \left(-1\right)$$
$(-2) \cdot (-3) = 6$: signos iguales, producto positivo.
$$6 \cdot 5 \cdot \left(-1\right)$$
$6 \cdot 5 = 30$:
$$30 \cdot \left(-1\right)$$
Signos distintos: el producto es negativo.
$$-30$$
Atajo para comprobar: hay tres factores negativos, un número impar, así que el signo es menos; y $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1 = 30$. Coincide.
Ahora la división. El dividendo y el divisor son negativos:
$$\frac{-72}{-8}$$
Signos iguales: el cociente es positivo. Como $72 \div 8 = 9$, queda:
$$9$$
Comprobamos: el cociente por el divisor tiene que dar el dividendo.
$$9 \cdot \left(-8\right) = -72$$
Respuesta: El producto es −30 y el cociente es 9.
Práctica
Calcula $\left(-9\right) \cdot 7$.
9 · 7 = 63 y los signos son distintos, así que el producto es −63.
Calcula $\left(-6\right) \cdot \left(-8\right)$.
6 · 8 = 48 y los dos factores son negativos: signos iguales, producto positivo.
¿Cuánto es $\frac{-56}{7}$?
56 ÷ 7 = 8 y los signos son distintos: el cociente es −8. Se comprueba: (−8) · 7 = −56. −49 y −63 salen de restar o sumar en lugar de dividir.
Calcula $\frac{-90}{-15}$.
90 ÷ 15 = 6, y dividendo y divisor tienen el mismo signo: el cociente es positivo. Comprobación: 6 · (−15) = −90.
Otro flotador está en la raya −20 y el nivel baja 7 rayas cada hora. ¿Qué expresión da la raya en la que estará dentro de 6 horas?
Se parte de −20 y se suman seis desplazamientos de −7. Restar 6 · (−7) haría subir el flotador 42 rayas, y multiplicar la suma repetiría también la raya de partida.
¿Verdadero o falso? $\left(-2\right) \cdot \left(-5\right) \cdot 3 \cdot \left(-1\right) = 30$
Hay tres factores negativos, un número impar: el producto es negativo. Da −30, no 30.
Marca todas las operaciones cuyo resultado es negativo.
Marca todas las que apliquen.
(−4) · 9 = −36; (−3) · (−7) = 21; 48 ÷ (−6) = −8; (−35) ÷ (−5) = 7; (−1) · (−2) · 3 · (−1) = −6, con tres negativos; 0 · (−12) = 0, que no es negativo ni positivo.
En 4 días, el nivel de una represa bajó 28 cm en total, lo mismo cada día. ¿Cuál fue el cambio de nivel de cada día, en cm? Escribe el cambio con su signo (negativo si el nivel baja).
El cambio total es −28 cm y se reparte en 4 días iguales: −28 ÷ 4 = −7. Cada día el nivel bajó 7 cm. Comprobación: 4 · (−7) = −28.
Un globo baja 5 m cada minuto, es decir, su altura cambia −5 m por minuto. Ahora pasa justo por la altura de un mirador, que tomamos como 0. ¿A qué altura estaba respecto al mirador hace 4 minutos (tiempo −4), en metros?
Hace 4 minutos el globo todavía no había bajado esos 4 · 5 = 20 m, así que estaba 20 m más arriba: (−4) · (−5) = 20.
¿Verdadero o falso? $\frac{0}{-9} = 0$
0 ÷ (−9) = 0, porque 0 · (−9) = 0. Dividir el cero entre un número distinto de cero siempre da cero.
Sebastián dice que −5 ÷ 0 = 0. ¿Qué le responderías?
Si −5 ÷ 0 fuera algún número c, tendría que pasar que c · 0 = −5. Pero c · 0 = 0 para cualquier c. Por eso la división entre cero no está definida.
Reto
¿Cuál tiene el signo distinto?
En cada ronda, toca la operación cuyo resultado tiene un signo distinto al de las demás. Decide el signo antes de calcular.
Reto
Une cada operación con su resultado.
Toca una multiplicación o una división y luego el número que vale lo mismo.
Cierre
En resumen
Multiplicar por un natural es repetir un desplazamiento; varias bajadas iguales son una bajada más grande, por eso positivo por negativo da negativo.
Con signos iguales el producto es positivo y con signos distintos es negativo; esta ley es de la multiplicación y la división, no de la suma.
Si ningún factor es cero, un número par de factores negativos da producto positivo y uno impar, negativo.
Dividir es buscar el número que multiplicado por el divisor da el dividendo; el cociente se comprueba multiplicando.
Todo entero por 0 da 0, 0 entre un número distinto de cero da 0, y la división entre cero no está definida.
Vocabulario
- Factor
Cada uno de los números que se multiplican. En 4 · (−3) los factores son 4 y −3.
- Producto
El resultado de una multiplicación.
- Cociente
El resultado de una división. En una división exacta, el cociente multiplicado por el divisor da el dividendo.
- División exacta
Una división cuyo residuo es cero: el dividendo es un múltiplo del divisor.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Dibuje la regla del tanque en el tablero y pregunte dónde estará el flotador si baja 3 rayas por hora durante 4 horas, y dónde estaba hace 4 horas.
- Explicación · 15 min — Desplazamientos repetidos, el patrón de los productos, la ley de los signos, la división como operación contraria y el cero; los cuatro ejemplos en el tablero.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el intruso y el dominó en parejas, pidiendo que digan el signo en voz alta antes de calcular.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escribe una multiplicación de cuatro factores con resultado positivo y otra con resultado negativo, y explica cómo lo supo.
Preguntas para el salón
- ¿Qué quiere decir multiplicar por −4 en la historia del flotador?
- ¿Por qué la ley de los signos no sirve para sumar (−4) + (−3)?
- ¿Por qué no se puede dividir entre cero, si sí se puede multiplicar por cero?
Errores típicos
- Usar la ley de los signos en una suma ((−4) + (−3) = 7). Pida representar la suma en la recta como dos bajadas seguidas, y contrastarla con (−4) · (−3) en la historia del tiempo.
- Contar mal los factores negativos en un producto largo. Pida subrayar cada factor negativo y escribir el número de subrayados antes de multiplicar.
- Decir que un número dividido entre cero da cero. Pida comprobar con la multiplicación: si −5 ÷ 0 diera 0, entonces 0 · 0 tendría que dar −5.
Tarea sugerida
Calcular (−7) · (−8), 3 · (−4) · (−5) · (−1) y (−144) ÷ 12, comprobar la división con una multiplicación, y escribir una situación del flotador que se resuelva con (−3) · (−6).