Operaciones combinadas y propiedades
Lo que vas a aprender
- Resolver expresiones con enteros y paréntesis respetando la jerarquía de las operaciones.
- Quitar un paréntesis precedido de un signo menos cambiando el signo de cada término.
- Usar las propiedades conmutativa, asociativa, modulativa y distributiva para proponer dos caminos para un mismo cálculo.
- Comprobar un resultado haciendo el cálculo por otro camino.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Dos compañeros resuelven la misma cuenta, $-18 + 3 \cdot (5 - 9)$, y les da distinto. Uno dice que el resultado es $-30$ y el otro, que es $60$. ¿Quién tiene razón? Una calculadora puede decirlo, pero no explica por qué. Para que todo el mundo obtenga lo mismo con una expresión, hay un acuerdo sobre el orden en que se hacen las operaciones.
Además, muchas veces un cálculo se puede hacer por varios caminos, y uno de ellos es mucho más corto que los otros. Las propiedades de la suma y de la multiplicación te dicen qué cambios están permitidos: cuándo puedes reordenar, cuándo puedes agrupar distinto y cuándo puedes repartir una multiplicación. Usarlas bien te ahorra cuentas y te da una manera de comprobar tus resultados.
Antes de empezar repasa la ley de los signos y cómo se quitan los paréntesis de un solo número.
Explicación
La jerarquía de las operaciones
Una expresión con varias operaciones se resuelve en este orden:
- Lo que está dentro de los paréntesis. Si hay paréntesis dentro de otros, se empieza por los de adentro.
- Las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
- Las sumas y restas, de izquierda a derecha.
En la cuenta de los dos compañeros, el paréntesis da $5 - 9 = -4$; después va la multiplicación, $3 \cdot (-4) = -12$; y al final la suma, $-18 + (-12) = -30$. Quien obtuvo $60$ sumó primero $-18 + 3$, como si la expresión fuera $(-18 + 3) \cdot (5 - 9)$, que es otra cuenta.
Recuerda que entre un número y un paréntesis puede no aparecer el punto de la multiplicación: $3(5 - 9)$ quiere decir $3 \cdot (5 - 9)$.
Un signo menos delante de un paréntesis
Ya sabes quitar un paréntesis que tiene un solo número. Si adentro hay varios términos, hay dos caminos:
- Resolver primero lo de adentro, y luego restar el resultado.
- Quitar el paréntesis cambiando el signo de cada término de adentro: $-(a - b + c) = -a + b - c$.
El segundo camino funciona porque restar todo el paréntesis es restar cada parte. Un error muy común es cambiar solo el signo del primer término. Si hay un signo más delante del paréntesis, los términos se quedan como están.
Las propiedades
Para la suma y la multiplicación de enteros valen estas propiedades:
- Conmutativa: el orden no cambia el resultado: $a + b = b + a$ y $a \cdot b = b \cdot a$.
- Asociativa: con tres números, se puede agrupar como se quiera: $(a + b) + c = a + (b + c)$ y $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
- Modulativa: el $0$ es el elemento neutro de la suma y el $1$, el de la multiplicación: $a + 0 = a$ y $a \cdot 1 = a$.
- Del inverso (aditivo): todo entero tiene un opuesto, y $a + (-a) = 0$.
- Distributiva: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. Con una resta también: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$.
La resta y la división no son conmutativas ni asociativas: cambiar el orden o la manera de agrupar puede cambiar el resultado. Por eso, antes de reordenar una resta, se lee como la suma de un negativo.
Dos caminos para el mismo cálculo
Las propiedades sirven para buscar el camino más corto. La conmutativa y la asociativa permiten juntar primero las parejas fáciles: en un producto con $-25$ y $4$ conviene multiplicar esos dos primero, porque dan $-100$. La distributiva permite partir un número incómodo: multiplicar por $99$ es multiplicar por $100$ y quitar una vez el otro factor.
Y si haces la cuenta por dos caminos y te da lo mismo, tienes una buena razón para confiar en el resultado. Si te da distinto, en alguno de los dos hay un error.
Ejemplo resuelto
Jerarquía con paréntesis y división
Calcula $-2 \cdot \left(5 - 11\right) - \frac{18}{-3}$.
Ver la solución paso a paso
Partimos de la expresión.
$$-2 \cdot \left(5 - 11\right) - \frac{18}{-3}$$
Primero el paréntesis: $5 - 11 = -6$:
$$-2 \cdot \left(-6\right) - \frac{18}{-3}$$
Ahora la multiplicación y la división, antes que la resta. $(-2) \cdot (-6) = 12$ y $18 \div (-3) = -6$:
$$12 - \left(-6\right)$$
Queda una resta. Restar $-6$ es sumar $6$:
$$12 + 6$$
Sumamos.
$$18$$
Respuesta: $18$
Ejemplo resuelto
Un menos delante de un paréntesis, por dos caminos
Calcula $15 - \left(8 - 12 + 3\right)$ de dos maneras.
Ver la solución paso a paso
Primer camino: partimos de la expresión.
$$15 - \left(8 - 12 + 3\right)$$
Resolvemos lo de adentro, $8 - 12 + 3 = -1$:
$$15 - \left(-1\right)$$
Restar $-1$ es sumar $1$:
$$15 + 1$$
Resultado del primer camino:
$$16$$
Segundo camino: quitamos el paréntesis cambiando el signo de cada término de adentro.
$$15 - \left(8 - 12 + 3\right)$$
El $8$ pasa a $-8$, el $-12$ pasa a $+12$ y el $+3$ pasa a $-3$:
$$15 - 8 + 12 - 3$$
Positivos: $15 + 12 = 27$. Negativos: $-8 - 3 = -11$.
$$27 - 11$$
Los dos caminos dan lo mismo.
$$16$$
Respuesta: $16$
Ejemplo resuelto
La distributiva para calcular mentalmente
Calcula $\left(-8\right) \cdot 99$ sin hacer la multiplicación larga.
Ver la solución paso a paso
El $99$ es incómodo, pero está muy cerca de $100$.
$$\left(-8\right) \cdot 99$$
Escribimos $99$ como $100 - 1$:
$$\left(-8\right) \cdot \left(100 - 1\right)$$
Por la distributiva, multiplicamos $-8$ por cada término:
$$\left(-8\right) \cdot 100 - \left(-8\right) \cdot 1$$
$(-8) \cdot 100 = -800$, y restar $-8$ es sumar $8$:
$$-800 + 8$$
Signos distintos: $800 - 8 = 792$, con el signo del $-800$.
$$-792$$
Respuesta: $-792$
Ejemplo resuelto
Buscar la pareja fácil
Calcula $\left(-25\right) \cdot 13 \cdot 4$ juntando primero la pareja fácil, y comprueba de izquierda a derecha.
Ver la solución paso a paso
Partimos del producto.
$$\left(-25\right) \cdot 13 \cdot 4$$
Por la conmutativa, cambiamos de lugar el $13$ y el $4$; por la asociativa, multiplicamos primero $(-25) \cdot 4$:
$$\left(-25\right) \cdot 4 \cdot 13$$
$(-25) \cdot 4 = -100$:
$$\left(-100\right) \cdot 13$$
Multiplicar por $100$ es fácil.
$$-1300$$
Comprobación de izquierda a derecha. Partimos otra vez del producto:
$$\left(-25\right) \cdot 13 \cdot 4$$
$(-25) \cdot 13 = -325$:
$$\left(-325\right) \cdot 4$$
Y $(-325) \cdot 4$ da el mismo resultado, con una cuenta más larga.
$$-1300$$
Respuesta: $-1300$
Práctica
Calcula $-5 + 3 \cdot \left(-4\right)$.
La multiplicación va primero: 3 · (−4) = −12. Después, −5 − 12 = −17.
¿Cuánto es $20 - 4 \cdot \left(-2 + 7\right)$?
Paréntesis: −2 + 7 = 5. Multiplicación: 4 · 5 = 20. Resta: 20 − 20 = 0. Si se resta primero, 16 · 5 = 80; si se olvida el paréntesis, 20 + 8 + 7 = 35.
Calcula $\frac{-36}{4} - 2 \cdot \left(-5\right)$.
La división y la multiplicación van antes que la resta: −36 ÷ 4 = −9 y 2 · (−5) = −10. Queda −9 − (−10) = −9 + 10 = 1.
Calcula $-\left(6 - 14\right) + \left(-3\right) \cdot \left(2 - 5\right)$.
Primero los paréntesis: 6 − 14 = −8 y 2 − 5 = −3. Queda −(−8) + (−3) · (−3) = 8 + 9 = 17.
¿Verdadero o falso? $-18 + 3 \cdot \left(5 - 9\right) = \left(-18 + 3\right) \cdot \left(5 - 9\right)$
A la izquierda la multiplicación va primero: −18 + 3 · (−4) = −18 − 12 = −30. A la derecha el paréntesis obliga a sumar primero: (−15) · (−4) = 60. Son dos cuentas distintas.
¿Verdadero o falso? $-\left(4 - 9 + 2\right) = -4 - 9 + 2$
El menos cambia el signo de cada término de adentro: −(4 − 9 + 2) = −4 + 9 − 2 = 3. A la derecha solo cambió el primero, y da −11.
¿Verdadero o falso? $\left(-6\right) \cdot \left(10 + 3\right) = \left(-6\right) \cdot 10 + \left(-6\right) \cdot 3$
Es la propiedad distributiva. Los dos lados dan −78: a la izquierda (−6) · 13, a la derecha −60 − 18.
¿Verdadero o falso? $\left(20 - 8\right) - 5 = 20 - \left(8 - 5\right)$
La izquierda da 12 − 5 = 7 y la derecha 20 − 3 = 17. La resta no es asociativa: agrupar de otra manera cambia el resultado.
¿Qué expresión es igual a $-7 \cdot \left(8 - 3\right)$?
Por la distributiva, (−7) · (8 − 3) = (−7) · 8 − (−7) · 3 = −56 + 21 = −35. Hay que multiplicar el −7 por los dos términos, con su signo.
Calcula $\left(-6\right) \cdot 102$. Pista: piensa en 102 como 100 + 2 y usa la distributiva.
(−6) · 102 = (−6) · 100 + (−6) · 2 = −600 − 12 = −612.
En un juego de preguntas, cada acierto vale 5 puntos y cada error vale −3 puntos. Mariana tuvo 7 aciertos y 9 errores. ¿Cuántos puntos hizo?
Aciertos: 7 · 5 = 35. Errores: 9 · (−3) = −27. Las multiplicaciones van antes que la suma: 35 − 27 = 8.
Para calcular 37 + (−18) + (−37) + 18, Tomás junta 37 con −37 y −18 con 18, y dice que da 0 sin hacer más cuentas. ¿Qué propiedades usó?
Cambiar de lugar los sumandos es la conmutativa y juntarlos en parejas es la asociativa. Cada pareja es un número con su opuesto, y por la propiedad del inverso da 0; luego 0 + 0 = 0.
Reto
Resuelve en orden.
Elige en cada espacio el valor correcto, siguiendo la jerarquía de las operaciones.
Reto
Une cada expresión con otra que vale lo mismo.
Toca una expresión y luego la que se obtiene de ella con una propiedad o quitando un paréntesis.
Cierre
En resumen
Primero los paréntesis (de adentro hacia afuera), luego multiplicaciones y divisiones y al final sumas y restas, cada grupo de izquierda a derecha.
Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de adentro; un signo más los deja igual.
La suma y la multiplicación son conmutativas y asociativas, tienen elemento neutro (0 y 1) y todo entero tiene opuesto; la resta y la división no son conmutativas ni asociativas.
La distributiva reparte una multiplicación sobre una suma o una resta y sirve para calcular mentalmente.
Hacer un cálculo por dos caminos y obtener lo mismo es una manera de comprobarlo.
Vocabulario
- Jerarquía de las operaciones
El orden en que se resuelven las operaciones de una expresión: primero los paréntesis, luego multiplicaciones y divisiones, y al final sumas y restas.
- Propiedad distributiva
a · (b + c) = a · b + a · c: multiplicar por una suma da lo mismo que multiplicar por cada sumando y sumar los resultados. Vale también con una resta.
- Elemento neutro
El número que no cambia a otro al operar con él: el 0 en la suma y el 1 en la multiplicación. Por eso a esta propiedad se le llama modulativa.
- Inverso aditivo
Otro nombre del opuesto: el número que sumado con a da 0. El inverso aditivo de −7 es 7.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Escriba −18 + 3 · (5 − 9) en el tablero, pida que la resuelvan sin calculadora y compare los resultados del grupo.
- Explicación · 20 min — Jerarquía, el menos delante de un paréntesis con varios términos y las propiedades; los cuatro ejemplos en el tablero, insistiendo en los dos caminos.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; los huecos y el dominó en parejas. En el dominó, pida nombrar la propiedad que une cada pareja.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante propone una multiplicación que se pueda hacer mentalmente con la distributiva y la resuelve por dos caminos.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué hace falta un acuerdo sobre el orden de las operaciones?
- ¿Qué le pasa a cada término cuando se quita un paréntesis que tiene un menos delante?
- ¿Por qué la resta no es conmutativa? Den un ejemplo.
Errores típicos
- Operar de izquierda a derecha sin respetar la jerarquía (−18 + 3 · (−4) = −15 · (−4)). Pida subrayar primero los paréntesis y luego las multiplicaciones y divisiones antes de hacer cualquier cuenta.
- Cambiar solo el signo del primer término al quitar −(…). Pida resolver el ejercicio por los dos caminos y comparar; si no coinciden, buscar el término que no cambió de signo.
- Aplicar la distributiva solo al primer término ((−7) · (8 − 3) = −56 − 3). Pida dibujar una flecha desde el factor de afuera hasta cada término del paréntesis antes de multiplicar.
Tarea sugerida
Calcular −4 · (3 − 10) − 24 ÷ (−6) y 30 − (12 − 20 + 5) por dos caminos cada uno, y calcular (−7) · 101 mentalmente con la distributiva.