Potencias y raíces de enteros
Lo que vas a aprender
- Calcular potencias de base entera y exponente natural, y decidir su signo.
- Distinguir entre (−a)ⁿ y −aⁿ.
- Multiplicar y dividir potencias de la misma base sumando o restando los exponentes.
- Calcular raíces cuadradas exactas y estimar una raíz no exacta entre dos enteros y entre dos décimas.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
Juana envía un mensaje a tres amigos, y cada uno lo reenvía a otras tres personas, que también lo reenvían a tres más. ¿Cuántos mensajes salen en la cuarta ronda? Para contarlos hay que multiplicar muchas veces el mismo número, y para eso existe una escritura corta: la potencia.
También pasa al revés. Si una huerta cuadrada tiene $40$ m² de área, ¿cuánto mide cada lado? Hay que buscar un número que multiplicado por sí mismo dé $40$: es la raíz cuadrada. A veces esa raíz no es un número entero, y entonces hay que estimarla: decir entre qué números está y acercarse cada vez más.
Antes de empezar repasa la ley de los signos de la multiplicación y las tablas hasta el $12$.
Explicación
Qué es una potencia
Una potencia es una multiplicación de factores iguales escrita de forma corta:
$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ factores}}$$
El número que se repite, $a$, es la base, y el número pequeño de arriba, $n$, es el exponente: dice cuántas veces se repite la base como factor. En esta lección el exponente es un natural mayor o igual que $1$, y $a^1 = a$. Cuidado con un error frecuente: el exponente no multiplica a la base. $2^3$ es $2 \cdot 2 \cdot 2$, no $2 \cdot 3$.
El signo de una potencia
Si la base es positiva, la potencia es positiva. Si la base es negativa, todos los factores son negativos, y ya sabes contar: un número par de factores negativos da positivo y un número impar da negativo. Por eso:
- con base negativa y exponente par, la potencia es positiva;
- con base negativa y exponente impar, la potencia es negativa.
Hay que mirar con cuidado los paréntesis. En $(-3)^2$ la base es $-3$, y el resultado es $9$. En $-3^2$ no hay paréntesis: la base es solo el $3$, el exponente afecta al $3$ y el signo menos queda afuera, así que $-3^2 = -9$. Son números distintos.
Potencias de la misma base
- Producto: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Si juntas $m$ factores iguales a $a$ con otros $n$, tienes $m + n$ factores.
- Cociente: $a^m \div a^n = a^{m-n}$, con $a \neq 0$. En esta lección, $m$ es mayor que $n$: al dividir, $n$ factores de arriba se cancelan con los $n$ de abajo y quedan $m - n$.
Estas reglas sirven solo cuando la base es la misma. En $2^3 \cdot 3^2$ las bases son distintas y no se pueden juntar sumando exponentes: hay que calcular cada potencia.
En la jerarquía de las operaciones, las potencias van después de los paréntesis y antes de las multiplicaciones y divisiones.
La raíz cuadrada
La raíz cuadrada deshace el cuadrado. Para un número $a$ mayor o igual que cero, $\sqrt{a}$ es el número no negativo cuyo cuadrado es $a$. Por ejemplo, $\sqrt{49} = 7$ porque $7^2 = 49$. Es cierto que $(-7)^2$ también da $49$, pero el símbolo $\sqrt{\ }$ indica siempre la raíz que no es negativa.
Los números como $1, 4, 9, 16, 25, 36, \ldots$ son cuadrados perfectos: su raíz es un natural. Un número negativo, como $-16$, no tiene raíz cuadrada entre los números que conoces, porque cualquier número al cuadrado da positivo o cero.
Estimar una raíz que no es exacta
Si $n$ no es un cuadrado perfecto, $\sqrt{n}$ no es un entero, pero se puede ubicar:
- Busca los dos cuadrados perfectos entre los que está $n$. Si $k^2 < n < (k+1)^2$, entonces $\sqrt{n}$ está entre $k$ y $k + 1$.
- Para afinar, prueba con décimas: eleva al cuadrado $k{,}1$, $k{,}2$, $k{,}3$… hasta que uno se pase de $n$. La raíz está entre la última décima que se queda corta y la primera que se pasa.
Con las potencias también se estima. Por ejemplo, $2^{10} = 1024$: diez duplicaciones seguidas dan un poco más de mil.
Ejemplo resuelto
Paréntesis y signo
Calcula $\left(-2\right)^{4}$, $-2^{4}$ y $\left(-2\right)^{3}$.
Ver la solución paso a paso
En $(-2)^4$ la base es $-2$, repetida cuatro veces: $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$. Multiplicamos de dos en dos, y cada pareja da $4$.
$$\left(-2\right)^{4}$$
Quedan dos factores $4$:
$$4 \cdot 4$$
Exponente par: el resultado es positivo.
$$16$$
En $-2^4$ no hay paréntesis: el exponente es solo del $2$ y el menos queda afuera, $-(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)$.
$$-2^{4}$$
Por eso da el opuesto de $16$:
$$-16$$
En $(-2)^3$ hay tres factores negativos:
$$\left(-2\right)^{3}$$
La primera pareja da $4$ y queda un factor $-2$:
$$4 \cdot \left(-2\right)$$
Exponente impar: el resultado es negativo.
$$-8$$
Respuesta: (−2)⁴ = 16, −2⁴ = −16 y (−2)³ = −8.
Ejemplo resuelto
Producto y cociente de potencias de la misma base
Escribe $3^{2} \cdot 3^{3}$ y $\frac{\left(-5\right)^{6}}{\left(-5\right)^{4}}$ como una sola potencia y calcúlalas.
Ver la solución paso a paso
En $3^2 \cdot 3^3$ hay $2 + 3$ factores iguales a $3$.
$$3^{2} \cdot 3^{3}$$
Sumamos los exponentes:
$$3^{5}$$
Y calculamos: $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$.
$$243$$
En el cociente, cuatro factores $-5$ de abajo se cancelan con cuatro de arriba.
$$\frac{\left(-5\right)^{6}}{\left(-5\right)^{4}}$$
Quedan $6 - 4 = 2$ factores:
$$\left(-5\right)^{2}$$
Exponente par: el resultado es positivo.
$$25$$
Respuesta: 3² · 3³ = 3⁵ = 243 y (−5)⁶ ÷ (−5)⁴ = (−5)² = 25.
Ejemplo resuelto
El lado de la huerta
Una huerta cuadrada tiene 40 m² de área. Su lado mide √40 m. ¿Entre qué enteros está ese número? ¿Y entre qué décimas?
Ver la solución paso a paso
$40$ no es un cuadrado perfecto: está entre $6^2 = 36$ y $7^2 = 49$.
$$6^{2} < 40 < 7^{2}$$
Por lo tanto, el lado está entre $6$ m y $7$ m:
$$6 < \sqrt{40} < 7$$
Probamos con décimas. El cuadrado de $6{,}3$ todavía se queda corto:
$$\left(6{,}3\right)^{2} = 39{,}69$$
El de $6{,}4$ ya se pasa de $40$:
$$\left(6{,}4\right)^{2} = 40{,}96$$
Así que $\sqrt{40}$ está entre $6{,}3$ y $6{,}4$:
$$\left(6{,}3\right)^{2} < 40 < \left(6{,}4\right)^{2}$$
Si hay que quedarse con una sola cifra decimal, miramos la mitad, $6{,}35$. Su cuadrado ya se pasa de $40$, así que $\sqrt{40}$ está antes de la mitad y se aproxima a $6{,}3$:
$$\left(6{,}35\right)^{2} = 40{,}3225$$
Respuesta: El lado mide entre 6 m y 7 m; más exactamente, entre 6,3 m y 6,4 m, y con una cifra decimal, unos 6,3 m.
√40 en la recta: entre 6,3 y 6,4, antes de la mitad.
Práctica
Calcula $\left(-3\right)^{4}$.
(−3)⁴ = (−3) · (−3) · (−3) · (−3) = 9 · 9 = 81. Base negativa con exponente par: positivo.
¿Cuánto es $-3^{4}$?
Sin paréntesis, el exponente es solo del 3: −3⁴ = −(3 · 3 · 3 · 3) = −81. 81 sería (−3)⁴, y −12 sale de multiplicar la base por el exponente.
Marca todas las potencias cuyo resultado es positivo.
Marca todas las que apliquen.
(−4)² = 16 y (−2)⁶ = 64 tienen base negativa y exponente par. −4² = −16 y −(−3)² = −9 tienen el menos afuera. (−1)⁷ = −1 y (−10)³ = −1000 tienen exponente impar.
¿Cuál de estas potencias es igual a $2^{3} \cdot 2^{4}$?
Misma base: se suman los exponentes, 3 + 4 = 7. 2¹² sale de multiplicarlos, y 4⁷ de multiplicar también las bases.
Calcula $\frac{7^{9}}{7^{7}}$.
Misma base: se restan los exponentes, 9 − 7 = 2, y 7² = 49.
¿Verdadero o falso? $2^{3} \cdot 3^{2} = 6^{5}$
Las bases son distintas, así que no se suman los exponentes. 2³ · 3² = 8 · 9 = 72, mientras que 6⁵ = 7776.
¿Cuánto es $2 \cdot \left(-3\right)^{2} - 4^{2}$?
Las potencias van antes que la multiplicación: (−3)² = 9 y 4² = 16. Queda 2 · 9 − 16 = 18 − 16 = 2. Si se multiplica 2 · (−3) antes de elevar sale 36 − 16 = 20, y si se toma (−3)² como −9 sale −34.
Calcula $\sqrt{144}$.
12² = 144 y 12 no es negativo, así que √144 = 12.
√75 está entre dos enteros consecutivos. ¿Cuál es el mayor de los dos?
8² = 64 y 9² = 81. Como 64 < 75 < 81, √75 está entre 8 y 9.
√30 está entre dos números de una cifra decimal que se diferencian en 0,1. ¿Cuál es el menor de los dos?
5² = 25 y 6² = 36, así que √30 está entre 5 y 6. Con décimas: 5,4² = 29,16 se queda corto y 5,5² = 30,25 se pasa. √30 está entre 5,4 y 5,5.
Juana envía un mensaje a 3 amigos. Cada uno lo reenvía a otras 3 personas que no lo tenían, y cada persona nueva hace lo mismo. ¿Cuántos mensajes se envían en la cuarta ronda?
En cada ronda los mensajes se multiplican por 3: 3, 9, 27 y 81. Son cuatro factores iguales a 3: 3⁴ = 81.
Andrea dice que √49 = −7, porque (−7)² = 49. ¿Qué le responderías?
Los dos números 7 y −7 elevados al cuadrado dan 49. Por acuerdo, √49 es el que no es negativo, el 7. (−7)² = 49, no −49.
Reto
Une cada potencia o raíz con su valor.
Toca una potencia o una raíz y luego el número que vale lo mismo. Fíjate en los paréntesis.
Reto
¿Cuál no es como los demás?
En cada ronda, toca el que es distinto. Pista: piensa en raíces exactas y en el signo.
Cierre
En resumen
aⁿ es el producto de n factores iguales a la base a; el exponente dice cuántas veces se repite, no multiplica a la base.
Con base negativa, el exponente par da positivo y el impar da negativo; (−3)² = 9, pero −3² = −9.
Con la misma base, el producto suma los exponentes y el cociente los resta; con bases distintas no se juntan.
√a, con a ≥ 0, es el número no negativo cuyo cuadrado es a; los negativos no tienen raíz cuadrada entre los números que conoces.
Una raíz no exacta se encierra entre dos enteros con los cuadrados perfectos y después entre dos décimas elevando al cuadrado.
Vocabulario
- Potencia
Un producto de factores iguales escrito en forma corta: aⁿ es a multiplicado por sí mismo n veces. a es la base y n el exponente.
- Cuadrado perfecto
Un número natural que es el cuadrado de otro natural, como 36 = 6².
- Raíz cuadrada
La raíz cuadrada de un número a mayor o igual que cero es el número b, mayor o igual que cero, tal que b² = a. Se escribe √a.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee la cadena de mensajes y pida contar los de cada ronda hasta la cuarta; luego pregunte cuántos habría en la décima.
- Explicación · 20 min — Potencia, signo con base negativa, (−a)ⁿ frente a −aⁿ, producto y cociente de igual base, raíz cuadrada y estimación; los tres ejemplos en el tablero.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el dominó y el intruso en parejas. Para estimar raíces, permita usar la calculadora solo para elevar al cuadrado, no la tecla de raíz.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante escoge un número entre 50 y 100 que no sea cuadrado perfecto y escribe entre qué enteros y entre qué décimas está su raíz.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué (−2)⁵ es negativo pero (−2)⁶ es positivo?
- ¿Qué diferencia hay entre (−3)² y −3²? ¿Cuál es la base en cada caso?
- ¿Por qué no existe un número cuyo cuadrado sea −16?
Errores típicos
- Multiplicar la base por el exponente (2³ = 6). Pida escribir siempre la potencia como producto de factores antes de calcular, hasta que la idea quede firme.
- Confundir (−3)² con −3². Pida encerrar en un recuadro la base de cada potencia: en −3² el recuadro solo contiene al 3.
- Sumar exponentes con bases distintas (2³ · 3² = 6⁵). Pida calcular los dos lados con números y comparar: 72 frente a 7776.
Tarea sugerida
Calcular (−4)³, −4², 5⁴ · 5² y 10⁶ ÷ 10², y estimar √90 entre dos enteros y entre dos décimas, explicando cada paso.