El MCD y el mcm al operar fracciones
Lo que vas a aprender
- Simplificar una fracción hasta su forma irreducible dividiendo entre el MCD del numerador y el denominador.
- Sumar y restar fracciones y números mixtos usando como denominador común el mcm de los denominadores.
- Comparar el denominador común que da el mcm con el que da el producto de los denominadores.
- Resolver repartos y medidas con fracciones y explicar el procedimiento.
Para qué
¿Para qué sirve esto?
En la tienda del barrio, doña Rosa vende queso por partes de libra. Un cliente pide tres cuartos de libra y otro, cinco sextos. ¿Cuánto queso vendió en total? Para responder hay que sumar fracciones con denominadores distintos, y eso pide encontrar un denominador que les sirva a las dos.
En sexto aprendiste a hallar el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (mcm) de dos números. En esta lección los vas a usar como herramientas: el MCD para simplificar fracciones de un solo golpe, y el mcm para sumar y restar fracciones con los números más pequeños posibles. También vas a operar con números mixtos, como «dos tazas y un tercio», que aparecen en recetas, en medidas de tela y en repartos.
Antes de empezar recuerda que dos fracciones son equivalentes cuando valen lo mismo, y que se obtienen multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número.
Explicación
Un repaso corto: MCD y mcm
El MCD de dos números es el mayor número que los divide a los dos sin dejar residuo. Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12; los de 18 son 1, 2, 3, 6, 9 y 18. Los comunes son 1, 2, 3 y 6, y el mayor es 6.
El mcm de dos números es el menor múltiplo, distinto de cero, que tienen en común. Los múltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16…; los de 6 son 6, 12, 18… El primero que se repite es 12.
Con números grandes conviene la descomposición en factores primos. El MCD se arma con los primos que están en los dos números, cada uno con el exponente menor; el mcm, con todos los primos que aparecen, cada uno con el exponente mayor.
Simplificar con el MCD
Simplificar una fracción es dividir el numerador y el denominador entre un mismo divisor común. La fracción cambia de aspecto, pero no cambia de valor.
Se puede simplificar poco a poco, primero entre 2, luego entre 3, y así. Pero si divides entre el MCD, llegas en un solo paso a la fracción irreducible: la que ya no tiene ningún divisor común distinto de 1. Si el MCD del numerador y el denominador es 1, la fracción ya es irreducible.
Sumar y restar con el mcm
Dos fracciones con el mismo denominador se suman sumando los numeradores: tres octavos más dos octavos son cinco octavos, porque se cuentan partes del mismo tamaño.
Si los denominadores son distintos, las partes no son del mismo tamaño y no se pueden contar juntas. Primero se amplifican las dos fracciones hasta un denominador común, que tiene que ser múltiplo de los dos denominadores. El más pequeño de todos es el mcm. Para amplificar cada fracción, divides el mcm entre su denominador y multiplicas el numerador y el denominador por ese resultado.
Un detalle importante: aunque uses el mcm, el resultado puede salir simplificable. Al final, revisa siempre si el numerador y el denominador tienen un divisor común.
¿Y si multiplico los denominadores?
El producto de los denominadores siempre es un múltiplo común, así que también sirve como denominador común. El problema es que muchas veces es más grande de lo necesario: los números crecen y al final hay que simplificar más. Cuando los dos denominadores no tienen divisores comunes distintos de 1, como 5 y 8, el mcm es el producto. Pero con 4 y 6 el producto es 24, el doble del mcm.
Números mixtos
Un número mixto, como dos y un tercio, es un entero más una fracción: $2\tfrac{1}{3} = 2 + \tfrac{1}{3}$. Para operar con mixtos hay dos caminos:
- Pasarlos a fracción impropia: se multiplica el entero por el denominador y se suma el numerador; ese es el nuevo numerador, y el denominador se queda igual. Así, dos y un tercio son $2 \cdot 3 + 1 = 7$ tercios: siete tercios.
- Operar por separado los enteros y las fracciones. En una resta, si la fracción de arriba es menor que la de abajo, se presta un entero y se convierte en fracción, como cuando prestas una decena al restar.
Los dos caminos dan lo mismo; escoge el que te resulte más claro.
Tres cuartos y cinco sextos quedan cerca de 1; su suma, diecinueve doceavos, pasa de 1.
Ejemplo resuelto
Simplificar de un solo golpe
Simplifica $\tfrac{36}{48}$ hasta la fracción irreducible.
Ver la solución paso a paso
Descomponemos el numerador en factores primos:
$$36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$$
Y el denominador:
$$48 = 2^{4} \cdot 3$$
Los primos comunes, cada uno con su menor exponente, son $2^2$ y $3$. Así que el MCD es $2^2 \cdot 3 = 12$:
$$\operatorname{MCD}\left(36;\ 48\right) = 2^{2} \cdot 3$$
Partimos de la fracción.
$$\frac{36}{48}$$
Dividimos el numerador y el denominador entre $12$.
$$\frac{3}{4}$$
Comprobamos que ya no se puede simplificar: el MCD de $3$ y $4$ es $1$.
$$\operatorname{MCD}\left(3;\ 4\right) = 1$$
Respuesta: $\frac{3}{4}$
Ejemplo resuelto
El queso de doña Rosa
Doña Rosa vende $\tfrac{3}{4}$ de libra de queso a un cliente y $\tfrac{5}{6}$ de libra a otro. ¿Cuánto queso vende en total?
Ver la solución paso a paso
Buscamos el mcm de los denominadores. Los múltiplos de $4$ son $4, 8, 12$…; los de $6$ son $6, 12$… El primero común es $12$:
$$\operatorname{mcm}\left(4;\ 6\right) = 12$$
Planteamos la suma.
$$\frac{3}{4} + \frac{5}{6}$$
Como $12 \div 4 = 3$ y $12 \div 6 = 2$, amplificamos la primera fracción por $3$ y la segunda por $2$:
$$\frac{9}{12} + \frac{10}{12}$$
Ya tienen el mismo denominador: sumamos los numeradores.
$$\frac{19}{12}$$
Como $19$ y $12$ no tienen divisores comunes distintos de 1, es irreducible. En número mixto, doce doceavos forman una libra entera y sobran siete doceavos:
$$1 + \frac{7}{12}$$
Si hubiéramos usado el producto $4 \cdot 6 = 24$, los números serían más grandes y habría que simplificar al final:
$$\frac{18}{24} + \frac{20}{24}$$
Sumamos los numeradores:
$$\frac{38}{24}$$
Y simplificamos entre $2$: el resultado es el mismo.
$$\frac{19}{12}$$
Respuesta: Vende $\tfrac{19}{12}$ de libra, es decir, una libra y $\tfrac{7}{12}$.
Las dos ventas de doña Rosa: 3/4 y 5/6 de libra. Parte las tiras en doceavos, el denominador común, y junta lo sombreado: 9/12 + 10/12 = 19/12 de libra.
Ejemplo resuelto
Restar mixtos prestando un entero
Una modista tiene una cinta de $3\tfrac{1}{4}$ m y corta $1\tfrac{2}{3}$ m para un vestido. ¿Cuánta cinta le queda?
Ver la solución paso a paso
Escribimos cada mixto como entero más fracción.
$$3 + \frac{1}{4} - \left(1 + \frac{2}{3}\right)$$
El mcm de $4$ y $3$ es $12$. Pasamos las fracciones a doceavos:
$$3 + \frac{3}{12} - \left(1 + \frac{8}{12}\right)$$
Tres doceavos es menos que ocho doceavos, así que prestamos un entero de los $3$: queda $2$ y la fracción crece a $\tfrac{15}{12}$.
$$2 + \frac{15}{12} - \left(1 + \frac{8}{12}\right)$$
Ahora restamos enteros con enteros ($2 - 1$) y fracciones con fracciones ($15 - 8 = 7$):
$$1 + \frac{7}{12}$$
Lo comprobamos por el otro camino, con fracciones impropias: $3\tfrac{1}{4} = \tfrac{13}{4}$ y $1\tfrac{2}{3} = \tfrac{5}{3}$.
$$\frac{13}{4} - \frac{5}{3}$$
Con denominador $12$:
$$\frac{39}{12} - \frac{20}{12}$$
Restamos: diecinueve doceavos, que es lo mismo que uno y siete doceavos.
$$\frac{19}{12}$$
Respuesta: Le quedan $1\tfrac{7}{12}$ m de cinta, que son $\tfrac{19}{12}$ m.
Práctica
Calcula $\operatorname{MCD}\left(24;\ 36\right)$.
Divisores comunes de 24 y 36: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. El mayor es 12.
Para simplificar 42/56 en un solo paso hasta la fracción irreducible, ¿entre qué número hay que dividir el numerador y el denominador?
MCD(42; 56) = 14, y 42/56 = 3/4. Con 7 o con 2 también se simplifica, pero no se llega de una vez a la irreducible. 28 no divide a 42.
Vas a sumar 5/8 y 7/12. ¿Cuál es el denominador común más pequeño que puedes usar?
Múltiplos de 12: 12, 24, 36… El primero que también es múltiplo de 8 es 24. El producto 8 · 12 = 96 también sirve, pero es cuatro veces más grande.
Calcula $\frac{5}{8} + \frac{7}{12}$. Escribe el resultado como fracción irreducible.
Con denominador 24: 15/24 + 14/24 = 29/24. Como 29 es primo y no divide a 24, ya es irreducible.
¿Cuánto es $\frac{7}{10} - \frac{1}{6}$?
mcm(10; 6) = 30: 21/30 − 5/30 = 16/30 = 8/15. 3/2 sale de restar numeradores y denominadores (6/4); 1/5, de cambiar solo los denominadores; 13/15, de sumar en vez de restar.
¿Verdadero o falso? $\operatorname{mcm}\left(4;\ 6\right) = 4 \cdot 6$
mcm(4; 6) = 12 y 4 · 6 = 24. El producto es un múltiplo común, pero no el menor, porque 4 y 6 comparten el divisor 2.
¿Verdadero o falso? $\operatorname{mcm}\left(5;\ 8\right) = 5 \cdot 8$
5 y 8 no tienen divisores comunes distintos de 1, así que su mcm es su producto: 40.
Tres amigos compran una pizza. Juan se come 1/3 y Pedro 2/5. ¿Qué parte de la pizza queda para Sofía?
Juan y Pedro comen 5/15 + 6/15 = 11/15. Queda 15/15 − 11/15 = 4/15. 11/15 es lo que se comieron, no lo que queda; 5/8 sale de sumar mal 1/3 + 2/5 como 3/8.
Para una torta, Marcela usa 2 tazas y 1/3 de harina, y para unas galletas, 1 taza y 3/4. ¿Cuántas tazas de harina usa en total? Escribe el resultado como fracción impropia irreducible.
Enteros: 2 + 1 = 3. Fracciones: 4/12 + 9/12 = 13/12 = 1 + 1/12. En total, 4 tazas y 1/12, que son 49/12.
Un listón de madera mide 4 metros y 1/5. Se cortan 1 metro y 3/4. ¿Cuántos metros quedan? Escribe el resultado como fracción impropia irreducible.
Con denominador 20: 4 + 4/20 − (1 + 15/20). Como 4/20 es menos que 15/20, se presta un entero: 3 + 24/20 − 1 − 15/20 = 2 + 9/20 = 49/20.
Daniel suma 1/6 + 1/3 usando el mcm, que es 6, y obtiene 3/6. ¿Qué le dirías?
1/6 + 2/6 = 3/6, y como MCD(3; 6) = 3, se simplifica a 1/2. Usar el mcm deja los números pequeños, pero no garantiza que el resultado salga irreducible.
Reto
Abre el candado con el MCD y el mcm.
Cada pista da un dígito. Calcula y escríbelo en su casilla.
Reto
Une cada operación con su resultado.
Toca una operación y luego su resultado irreducible.
Cierre
En resumen
El MCD es el mayor divisor común; dividir el numerador y el denominador entre su MCD da la fracción irreducible en un solo paso.
El mcm es el menor múltiplo común distinto de cero; como denominador común deja los números más pequeños al sumar o restar.
El producto de los denominadores también sirve, pero puede ser más grande; coincide con el mcm cuando los denominadores no tienen divisores comunes distintos de 1.
Aunque se use el mcm, el resultado puede quedar simplificable, y hay que revisarlo.
Los mixtos se operan pasándolos a fracción impropia o separando enteros y fracciones; al restar, a veces hay que prestar un entero.
Vocabulario
- Máximo común divisor (MCD)
El mayor número natural que divide exactamente a dos o más números. Por ejemplo, MCD(12; 18) = 6.
- Mínimo común múltiplo (mcm)
El menor número natural distinto de cero que es múltiplo de dos o más números. Por ejemplo, mcm(4; 6) = 12.
- Fracción irreducible
Fracción cuyo numerador y denominador no tienen más divisor común que el 1. Ya no se puede simplificar.
- Número mixto
Un número escrito como un entero más una fracción menor que 1, como 2 y 1/3, que quiere decir 2 + 1/3.
Guía para el docente
Tiempos
- Inicio · 5 min — Plantee la venta de queso de doña Rosa con sus propios números y deje que propongan cómo sumar tres cuartos y cinco sextos.
- Explicación · 15 min — Repaso de MCD y mcm, simplificación con el MCD y suma con el mcm; los tres ejemplos en el tablero, comparando el mcm con el producto.
- Práctica · 20 min — Preguntas individuales; el candado y el dominó en parejas, explicando en voz alta cada amplificación.
- Cierre · 5 min — Cada estudiante inventa una resta de mixtos en la que haya que prestar un entero y la resuelve por los dos caminos.
Preguntas para el salón
- ¿Por qué no se pueden sumar directamente tercios con cuartos?
- ¿En qué casos el mcm de dos números es igual a su producto?
- Si simplifican poco a poco en lugar de usar el MCD, ¿llegan a la misma fracción irreducible?
Errores típicos
- Sumar numeradores con numeradores y denominadores con denominadores (1/2 + 1/3 = 2/5). Pida dibujar las dos fracciones en barras del mismo tamaño y comparar el resultado con 2/5, que es menor que 1/2.
- Cambiar el denominador sin amplificar el numerador. Pida escribir junto a cada fracción el número por el que se multiplica y aplicarlo arriba y abajo.
- Restar mixtos sin prestar: escribir 8/12 − 3/12 cuando la resta es 3/12 − 8/12. Haga resolver la misma resta con fracciones impropias y comparar los dos resultados.
Tarea sugerida
Simplificar 45/60 y 84/126 con el MCD; calcular 5/6 + 4/9 y 3 y 1/8 menos 1 y 5/6; escribir una situación de la casa en la que haya que sumar dos fracciones de denominador distinto.